Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức (Tiết 3)

1. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC IV ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM MAX - MIN 1 Nhắc lại BĐT Cô-si cho 푛 số không âm BĐT Cô-si 풏 ∀ ; ; . . . ; 풏 ≥ , ta có: + +. . . + 풏 ≥ 풏. . . . 풏 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = =. . . = 풏 2 BĐT Cô-si ngược dấu cho 푛 số không âm BĐT Cô-si ngược dấu + + + 풏 ∀ ; ; . . . ; ≥ , ta có: . . . ≤ 풏 풏 풏 풏 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi = =. . . = 풏
2. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 3 ĐỊNH NGHĨA VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cho hàm số 풚 = 풇 풙 xác định trên tập 푫 Giá trị lớn nhất ≤ ∀ ∈ là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số = trên tập nếu ቊ ∃ 표 ∈ : 표 = Giá trị nhỏ nhất ≥ ∀ ∈ là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số = trên tập nếu ቊ ∃ 표 ∈ : 표 =
3. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 풚 = 풙 + trên ; +∞ . 풙 Bài giải 2 > 0 2 2 ∀ ∈ 0; +∞ , Ta có: ൝ 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 2 + ≥ 2 2 . = 4 > 0 2 Dấu “ = ” xảy ra khi 2 = ⇔ 2 = 1 ⇒ = 1 ∈ (0; +∞) Vậy GTNN của hàm số đã cho là 4 khi = 1.
4. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 풚 = (풙 + )( − 풙) trên [−1;5]. Bài giải + 1 ≥ 0 ∀ ∈ [−1;5], ta có: ቊ . 5 − ≥ 0 2 + 1 + 5 − Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ngược dấu, ta được: ( + 1)(5 − ) ≤ = 9 2 Dấu “ = ” xảy ra khi + 1 = 5 − ⇔ 2 = 4 ⇒ = 2 ∈ [−1;5] Vậy GTLN của hàm số đã cho là 9 khi = 2.
5. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 풚 = + 풙 trên [2;+∞) 풙 Nhận xét Bài giải Nếu áp dụng BĐT Cô-si ngay, ta có: ∀ ∈ [2;+∞) ta có: ≥ 1.Khi đó: 2 2 2 2 2 2 + ≥ 2 . = 2 2 = + = + + ≥ 2. . + = 2 + ≥ 3. 2 2 2 2 2 2 = Ở đây dấu “ = ” không xảy ra vì 2 Dấu “ = ” xảy ra khi ቐ ⇔ = 2 ∈ [2;+∞) 2 = 1 = ⇔ 2 = 2 ⇒ = ± 2 ∉ [2; +∞) 2 Do đó ta cần chọn điểm rơi cho bài toán tại Vậy GTNN của hàm số đã cho là 3 khi = 2. = 2.
6. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 풚 = 풙 + trên 0;+∞ . 풙 Bài giải 3 3 3 3 3 1 1 1 > 0 Ta có: = + = + + + + . 2 2 2 2 2 2 2 ∀ ∈ (0; +∞) ta có: ൞ 1 . > 0 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dương, ta được 3 3 1 1 1 5 3 3 1 1 1 5 + + + + ≥ 5 . . . . = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 3 3 1 1 1 Dấu “ = ” xảy ra khi = = = = ⇔ 5 = 2 ⇔ = 5 2 ∈ (0;+∞) 2 2 2 2 2 5 Vậy GTNN của hàm số đã cho là khi = 5 2. 5 4
7. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 풚 = 풙 + trên 0;+∞ . 풙 Bài giải 2−2 +5 4 − 1 > 0 Ta có: = = − 1 + . , ta có 4 . −1 −1 ∀ ∈ (1; +∞) ൝ > 0 −1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được 4 4 = − 1 + ≥ 2 − 1 . = 4 − 1 − 1 4 Dấu “ = ” xảy ra khi − 1 = ⇔ − 1 2 = 4 ⇔ = 3 ∈ 1; +∞ −1 Vậy GTNN của hàm số đã cho là 4 khi = 3
8. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 6 Cho ba số thực không âm , , thỏa + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 푷 = + + . Bài giải Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ; 1; 1 ta được: + 2 + 1 + 1 ≥ 33 . 1.1 = 33 ⇒ 3 ≤ 1 Tương tự ta có: 3 + 2 + 2 + 1 + 1 ≥ 33 ⇒ 3 ≤ 2 + 1 + 1 ≥ 33 ⇒ 3 ≤ 3 3 3 + + + 6 3 + 6 Lấy 1 + 2 + 3 vế theo vế ta được: 푃 = 3 + 3 + 3 ≤ = = 3 3 3 Dấu “ = ” xảy ra khi = = = 1 Vậy GTLN của biểu thức 푃 là 3 khi = = = 1.
9. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 7 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 푷 = + + ( − ) ( − ) ( − ) Bài giải 1 Nhận xét: Ta chọn điểm rơi bài toán tại = = = . 3 3 1− 1− Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ; ; ta được: 1− 2 8 8 3 1 − 1 − 3 3 1 − 1 − 3 + + ≥ 3. . . = (1) (1 − )2 8 8 (1 − )2 8 8 4 Tương tự ta có: 3 1 − 1 − 3 3 1 − 1 − 3 + + ≥ (2) + + ≥ (3) (1 − )2 8 8 4 (1 − )2 8 8 4
10. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 7 Cho , , là các số thực dương thỏa mãn + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 푷 = + + ( − ) ( − ) ( − ) Bài giải 6 − 2 − 2 − 2 3 Lấy 1 + 2 + 3 vế theo vế ta được: 푃 + ≥ ( + + ) 8 4 3 1 3 3 3 1 ⇔ 푃 + − ( + + ) ≥ ( + + ) ⇔ 푃 ≥ + + − = 1 − = 4 4 4 4 4 4 1 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi = = = 3 1 1 Vậy GTNN của biểu thức 푃 là khi = = = . 4 3
11. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 8 Nhà ông A có một mảnh đất trống, ông muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật trên mảnh đất trống đó để trồng rau bằng lưới. Biết rằng một mặt của mảnh đất nhỏ đó đã là tường nhà không cần rào, ông A chỉ cần rào 3 mặt còn lại của mảnh đất nhỏ đó. Em hãy tính diện tích lớn nhất của mảnh đất nhỏ mà ông A có thể rào được từ lưới đó? Bài giải y Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là , (như hình vẽ); 0 < , < 60 x x Vì tấm lưới của ông A dài 60 nên dựa vào hình vẽ ta có: 2 + = 60 ⇒ = 60 − 2 . Diện tích mảnh đất nhỏ hình chữ nhật là 푆 = = 60 − 2 = 2. (30 − ).
12. LỚP Đại số BÀI 1 10 Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC 4 VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ 8 Nhà ông A có một mảnh đất trống, ông muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật trên mảnh đất trống đó để trồng rau bằng lưới. Biết rằng một mặt của mảnh đất nhỏ đó đã là tường nhà không cần rào, ông A chỉ cần rào mặt còn lại của mảnh đất nhỏ đó. Em hãy tính diện tích lớn nhất của mảnh đất nhỏ mà ông A có thể rào được từ lưới đó? Bài giải +30− 2 Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số và 30 − . Ta có: 푆 ≤ 2. = 2.152 = 450. 2 Dấu " = " xảy ra khi = 30 − ⇔ = 15 ⇒ = 30 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 450 2, đạt được khi = 15; = 30.