Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Bài 2: Tích phân

Nội dung text: Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Bài 2: Tích phân

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN A. NHẮC LẠI LÝ THUYẾT B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Phần 1. nhận biết Phần 2. Thông hiểu Phần 3. Vận dụng thấp Phần 4. Vận dụng cao
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN NHẮC LẠI LÝ THUYẾT I. Định nghĩa ȁ (׬ ( ) = 퐹( ) = 퐹( ) − 퐹( II. Tính chất න . ( ) = . න ( ) (với k là hằng số) Tính chất 1: Tính chất 2: න ( ) ± = න ( ) ± න ( ) Tính chất 3: න ( ) = න ( ) + න ( ) ( < < )
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN III.Phương pháp đổi biến số (Công thức: ׬ 풇(풖(풙)) 풖′(풙)풅풙 = 푭 풖(풙) ቤ = 푭 풖( ) − 푭 풖( Phương pháp Bước 1: Biến đổi để chọn phép đặt 푡 = ( ) ⇒ 푡 = ′( ) . = → 푡 = ( ) Bước 2: Đổi cận: ቊ ⋅ (đổi biến phải đổi cận) = → 푡 = ( ) ( ) Bước 3: .Đưa về dạng = ׬ ( ) (푡) 푡 đơn giản dễ tính toán
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN IV.Phương pháp tích phân từng phần ȁ Công thức: ׬ ( )푣′( )d = ( )푣( ) − ׬ ′( )푣( )d hay ȁ (׬ 풖풅풗 = 풖풗 − ׬ 풗풅풖 (2 Phương pháp Bước 1: ℎọ푛 đặ푡 푣à 푣 푡ℎí ℎ ℎợ ( = 푙표 , = đ 푡ℎứ . Bước 2: Sử dụng công thức TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bước 3: .Tính tích phân ׬ 풗풅풖 đơn giản hơn
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 3 thỏa 3 mãn và . Tính ′ . 1 = 2 3 = 9 = ׬1 A. = 11. B. = 7. C. = 2. D. = 18. Bài giải Chọn B. Hướng dẫn: Ta có: 3 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để có: ′ = න = න ′ = + 1 3 = ቚ = 3 − 1 1 = 9 − 2 = 7.
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 1 2 +3 :Biết tích phân ׬ = 푙푛 2 + ( , ∈ ℤ), giá trị của bằng 0 2− A. 7 B. 2 C. 3 D. 1 Bài giải Chọn A. Hướng dẫn: 1 2 + 3 න Phân tích đa thức f(x) để đưa về dạng 0 2 − cơ bản và dùng công thức 1 7 = න −2 + 1 1 0 2 − න = . ln + + ​ 1 + = −2 − 7 푙푛 2 − ቚ (với​ ≠ 0) 0 = 7 푙푛 2 − 2
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 2 Đặt ( là tham số thực). Tìm để . = ׬1 2 + 1 = 4 A. = −1. B. = 1. C. = −1. D. = 2. Bài giải Chọn B. 2 2 Ta có = න 2 + 1 = 2 + ቚ 1 1 = 4 + 2 − + 1 = 3 + 1. Do = 4 ⇔ 3 + 1 = 4 ⇔ = 1.
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 1 .Cho׬2 − 1 + 푠𝑖푛 2 = − + 1, với , là các số nguyên dương 0 Tính + 2 . A. 10. B. 14. C. 12. D.8. Bài giải 2 1 1 2 Chọn C. න − 1 + 푠𝑖푛 2 = 2 − − 표푠 2 อ 0 2 2 0 1 2 1 1 = − − 표푠 2. + 2 2 2 2 2 2 2 1 = − + 1 = − + 1. 8 2 8 2 Vậy = 8; ​ = 2 nên + 2 = 12.
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 Câu 5 Cho hàm số xác định trên ℝ\ thỏa mãn ′ = và 2 2 −1 0 = 1; 1 = −2. Giá trị của biểu thức −1 + 3 bằng A. 2 + 푙푛 1 5. B. 3 − 푙푛 1 5. C. 푙푛 1 5 − 1. D. 푙푛 1 5. Bài giải Chọn C. 1 = −2 ⇔ 1 = −2 ⇒ = 푙푛 2 − 1 − 2 2 = න ′ = න 2 − 1 0 = 1 ⇔ 2 = 1 ⇒ = 푙푛 2 − 1 + 1. = 푙푛 2 − 1 + −1 = 푙푛 3 + 1 1 Suy ra: ቊ 푙푛 2 − 1 + 1​khi​ > 3 = 푙푛 5 − 2 = 2 1 푙푛 1 − 2 + khi​ < Nên −1 + 3 = 푙푛 1 5 − 1. 2 2
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 Câu 6 Giá trị của tích phân bằng = න 2 0 1 + 3 5 A. = . B. = . C. = . D. = . 2 4 4 4 Bài giải Chọn C. Đặt = 푡 푛 푡 , 푡 ∈ − ; ⇒ = (푡 푛2 + 1) 푡 2 2 Đổi cận = 0 ⇒ 푡 = 0, = 1 ⇒ 푡 = , 4 suy ra 4 푡 푛2 푡 + 1 4 = න 2 푡 = න 푡 = 0 1 + 푡 푛 푡 0 4
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 2 푠푖푛 ? Cho = ׬0 푒 표푠 và 푠𝑖푛 = 푡. Mệnh đề nào dưới đây đúng 1 1 1 2 푡 푡 푡 A. = ׬0 푒 푡 . B. = ׬0 푡 . C. = − ׬0 푒 푡 . D. = ׬0 푒 푡 Bài giải Chọn D. Đặt 푠𝑖푛 = 푡 ⇒ 푡 = 표푠 Đổi cận: = 0 ⇒ 푡 = 0; = ⇒ 푡 = 1 2 1 2 ⇒ = න 푒푠푖푛 표푠 = න 푒푡 푡 0 0
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 7 3 Giá trị của = ׬ 3 được viết dưới dạng phân số tối giản ( , là 0 1+ 2 các số nguyên dương). Khi đó giá trị của − 7 bằng? A. . B. . C. . D. − . Bài giải 3 3 Đặt = 1 + 2 ⇒ 2 = . 2 Chọn D. Đổi cận: = 0 ⇒ = 1; = 7 ⇒ = 2. 3 2 3−1 2 3 2 141 . = Khi đó = ׬ = ׬ 4 − 2 1 2 1 20 Suy ra: = 141, = 20. Vậy − 7 = 1.
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 5 1 :Câu 9 Giả sử tích phân = ׬ = + . 푙푛 3 + . 푙푛 5. Lúc đó 1 1+ 3 +1 ퟒ A. + + = . B. + + = . C. + + = . D. + + = . Bài giải Chọn A. 2 Đặt 1 + 3 + 1 = 푡 ⇒ 3 + 1 = 푡 − 1 2 ⇒ = 푡 − 1 푡. 3 Đổi cận = 1 ⇒ 푡 = 3; = 5 ⇒ 푡 = 5. 4 2 2 Do đó = ; = ; = − . 5 2 푡−1 2 5 1 3 3 3 Khi đó = ׬ 푡 = ׬ 1 − 푡 = 4 3 3 푡 3 3 푡 Vậy + + = . 3 2 5 4 2 2 푡 − 푙푛 푡 ቚ = + 푙푛 3 − 푙푛 5. 3 3 3 3 3
15. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 푙푛 2 푙푛 7+ 푙푛 10 .Cho I = ׬ = + với , , ∈ ℤ 0 2푒 +3 3 Tính giá trị của 퐾 = 2 + 3 + 4 . A. 퐾 = 3. B. 퐾 = 7. C. 퐾 = 1. D. 퐾 = −1. Bài giải Chọn C. − 푙푛 7 + 푙푛 1 0 = Đặt 푡 = 2푒 + 3 ⇒ 2푒 = 푡 − 3 ⇒ 2푒 = 푡. 3 Do đó = 0, = −1, = 1. Đổi cận = 0 ⇒ 푡 = 5, = 푙푛 2 ⇒ 푡 = 7. 푙푛 2 2푒 7 푡 1 7 1 1 .Khi đó = ׬ = ׬ = ׬ − Vậy 퐾 = 2 + 3 + 4 = 1 0 2푒 2푒 +3 5 푡−3 푡 3 5 푡−3 푡 1 7 = 푙푛 푡 − 3 − 푙푛 푡 ቤ . 3 5
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 11 1 .Cho hàm số thỏa mãn ׬0 ( + 1) ′( )d = 10 và 2 (1) − (0) = 2 1 . Tính = ׬0 ( )d A. − . B. . C. . D. − . Bài giải 1 Xét 퐾 = ( + 1) ′( )d ׬0 Chọn D. = + 1 d = d Đặt: ቊ ⇒ ቊ 푣 = ′ d 푣 = 1 1 ⇒ 퐾 = + 1 ′ d = + 1 . ȁ1 − d = 2 1 − 0 − = 2 − = 10 ׬0 0 ׬0 ⇒ = −8.
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12 4 2 Biết = ׬0 ln( + 9)d = ln5 + ln3 + trong đó , , là các số thực. Giá trị của biểu thức = + + . A. 푻 = . B. 푻 = . C. 푻 = . D. 푻 = . Bài giải Chọn D. 4 4 4 1 1 4 1 = න ln( 2 + 9)d = න ln( 2 + 9)d 2 = 2ln( 2 + 9) ቚ − න 2d ln( 2 + 9) 2 2 0 2 0 4 0 4 0 1 2 1 2 + 9 − 9 = 8ln25 − න 2. d = 16ln5 − න d( 2 + 9ቇ 2 2 + 9 2 2 + 9 1 0 4 0 = 16ln5 − 2 + 9 − 9ln 2 + 9 ቚ = 25ln5 − 9ln3 − 8. 2 0 Suy ra = + + = 25 − 9 − 8 = 8.
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 13 2 1 .Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và (2) = 16, ׬0 ( )d = 4. Tính = ׬0 . ′(2 )d A. 7. B. 12. C. 20. D. 13. Bài giải Chọn A. = d = d 1 Đặt ൜d푣 = ′ 2 d ⇒ ൝푣 = . 2 . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có, = ׬0 . ′(2 )d = . 2 ฬ − ׬0 2 d = f 2 − ׬0 2 d 2 2 0 2 2 4 1 2 1 2 .׬ 푡 d푡 = 8 − ׬ d = 7 − 8 = 4 0 4 0
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 14 1 5 2 Biết (5) = 1 và ׬0 (5 )d = 1. Khi đó giá trị của ׬0 ′( )d bằng A. . B. . C. − . D. . Bài giải Chọn C. 5 푡 d푡 5 . Đặt 푡 = 5 ⇒ d푡 = 5d . Khi đó: 1 = ׬ (푡) ⇔ 25 = ׬ ( )d 0 5 5 0 = 2 d = 2 ​d Chọn ቊ ⇒ ቊ . d푣 = ′′( )d 푣 = ( ) 5 2 2 ȁ5 5 .Khi đó: ׬0 ′( )d = . ( ) 0 − 2 ׬0 ( )d = 25. (5) − 2.25 = −25
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 15 2 2 Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn (4) = 5 và ׬0 (2 )d = 10. Giá 4 3 trị của tích phân ׬0 ′( )d bằng A. 80. B. 70. C. 60. D. 90. Bài giải Chọn A. 2 1 = 0 ⇒ 푡 = 0 Xét ׬ 2 (2 )d = 10. Đặt 푡 = 2 ⇒ 푡 = 2 ⇒ = 푡 Đổi cận ቊ 0 2 = 2 ⇒ 푡 = 4 2 4 푡 2 1 1 4 4 න 2 (2 )d = න (푡) dt = න 푡2 (푡)dt = 10 ⇔ න 푡2 (푡)dt = 80. 0 0 2 2 8 0 0 3 2 4 = = 3 Xét = ׬ 3 ′( )d Đặt ቊ ⇔ ቊ 0 푣 = ′ 푣 = 4 4 ⇒ = 3 ȁ − 3 න 2 ( )dx = 43 4 − 3.80 = 463.5 − 3.80 = 80. 0 0
21. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 16 1 1 . Cho ( ) liên tục thỏa (1) = 1 và ׬ ( )d = ⋅ Tính = ׬2 sin2 . ′(sin )d 0 3 0 4 2 1 2 A. = ⋅ B. = ⋅ C. = . D. = − ⋅ 3 3 3 3 Bài giải Chọn A. = 0 ⇒ 푡 = 0 Đặt 푡 = sin ⇒ 푡 = cos . Đổi cận ൝ = ⇒ 푡 = 1 2 1 1 Khi đó = 2sin cos ′(sin )d = 2 푡 ′(푡)dt ׬0 ׬0 = 푡 du = dt Đặt ቊ ⇔ ቊ dv = ′ 푡 dt 푣 = 푡 1 1 1 2 4 ⇒ = 2 푡 푡 ȁ − න (푡)dt = 2 1. 1 − 0. 0 − = 2. = . 0 3 3 3 0
22. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 17 1 2 .Cho hàm số ( ) thỏa mãn׬0 ′′( )d = 12 và 2 (1) − ′(1) = −2 1 . Tính = ׬0 ( )d A. . B. . C. . D. . Bài giải Chọn B. 2 1 = d = 2 d Xét 퐾 = ׬ 2 ′′( )d . Đặt ቊ ⇒ ቊ 0 푣 = ′′ d 푣 = ′ 1 1 ⇒ 퐾 = 2 ′ ȁ1 − 2 ′ d = ′ 1 − 2 ′ d . ׬0 ׬0 0 = d = d Đặt ൜ ⇒ ቊ 푣 = ′ d 푣 = 1 1 1 ⇒ ′ = ȁ1 − = 1 − . ׬0 0 ׬0 ׬0 1 1 .Vậy 퐾 = ′ 1 − 2 1 − ׬0 d = 12 ⇔ ׬0 d = 5
23. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 18 2 Biết ׬4 1 + sin2 d = + với , là phân số tối giản. Tính + + + 0 A. . B. ퟒ. C. . D. . Bài giải Chọn D. = d = d = 4 sin2 ​d + 4 ​d . Đặt ൜ ⇒ ൝ 1 . ׬0 ׬0 d푣 = sin2 d 푣 = − cos2 2 1 4 1 1 4 1 . = ׬4 sin2 d = − cos2 ቚ + ׬4 cos2 d = sin2 ቚ 0 2 0 2 0 4 0 4 2 4 2 . = ׬4 d = ቚ 0 2 0 32 1 2 2 Khi đó = + = + ⇒ = 1; ​ = 4; ​ = 1; ​ = 32. Vậy + + + = 38. 4 32
24. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 19 e 1 .Biết ׬ + ln d = + e2 với , là phân số tối giản. Tính + + + 1 A. 12. B. 14. C. 16. D. 18. Bài giải d = 1 d Chọn A. e e 1 = ln ​ . = ׬ ln d + ׬ ln d . Đặt ቊ ⇒ ൞ 2 1 1 d푣 = ​d 푣 = 2 푒 푒 푒 2 1 푒 푒2 2 푒2 푒2 1 푒2 1 . + = + − = Khi đó ׬ ln d = . ln ቚ − ׬ d = − ቚ 1 2 1 2 1 2 4 1 2 4 4 4 4 1 Đặt 푡 = ln ⇒ 푡 = ​ . Đổi cận = 1 ⇒ 푡 = 0; ​ = 푒 ⇒ 푡 = 1. 1 e 1 1 푡2 1 . = ׬ ln d = ׬ 푡d푡 = ቚ 1 0 2 0 2 1 1 3 푒2 Do đó = + + = + = + e2 ⇒ = 3; ​ = 4; ​ = 1; ​ = 4. 4 2 4 4 Vậy + + + = 12.
25. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 20 ( + 1)e ​ khi ≥ 0 1 .Cho hàm số ( ) = ቊ . Biết ׬ ( )d = + . e, với là phân số tối giản 2 + + 1​ khi < 0 −1 Giá trị của tổng + + bằng A. . B. . C. . D. ퟒ. Bài giải Chọn C. Theo công thức tích phân từng phần, ta có: 1 1 1 1 න ( + 1)푒 d = ( + 1)푒 ቚ − න 푒 d = 2푒 − 1 − 푒 ቚ = 푒 0 0 0 0 1 5 Vậy: ׬ ( )d = + 푒 ⇒ = 5, = 6, = 1 ⇒ + + = 12 −1 6
26. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC