Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chương 4, Bài 2: Phép cộng, trừ và nhân số phức

Nội dung text: Bài giảng Giải tích Lớp 12 - Chương 4, Bài 2: Phép cộng, trừ và nhân số phức

1. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 4: SỐ PHỨC Bài 2: PHÉP CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC I PHÉP CỘNG, TRỪ SỐ PHỨC II PHÉP NHÂN SỐ PHỨC III BÀI TẬP ÁP DỤNG III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VÀ CỦNG CỐ
2. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV I PHÉP CỘNG, TRỪ SỐ PHỨC 1 Định nghĩa Quy tắc Theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi 풊 là biến) Tổng quát + 풊 + + 풅풊 = + + + 풅 풊 + 풊 − + 풅풊 = − + − 풅 풊
3. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV I PHÉP CỘNG, TRỪ SỐ PHỨC 2 Ví dụ Ví dụ 1 Tính a) + 풊 + + 풊 b) + 풊 − ퟒ − 풊 Bài giải Cách 1: a) + 풊 + + 풊 = + + + )풊 = 7+ 풊 b) + 풊 − ퟒ − 풊 = − ퟒ + ( − (− ))풊 = - + 풊 Cách 2: Sử dụng máy tính casio Nhấn MODE + 2
4. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV II PHÉP NHÂN SỐ PHỨC 1 Định nghĩa Quy tắc Theo quy tắc nhân hai đa thức (coi 풊 là biến), khi thu gọn thay 풊 = − . Tổng quát Có + 풊 . + 풅풊 = + 풅풊 + 풊 + 풅풊 = + 풅풊 + 풊 − 풅 Vậy + 풊 . + 풅풊 = − 풅 + ( 풅 + )풊 Tính chất Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân các số thực.
5. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV II PHÉP NHÂN SỐ PHỨC 2 Ví dụ Ví dụ 2 Tính a) + ퟒ풊 + − 풊 ( + 풊) b) 풙 + 풊 − 풙풊 , 풙 ∈ Bài giải a) ( +ퟒ풊)+( − 풊)( + 풊) Cách 1: = + ퟒ풊 + ( + ퟒ) + − i = + ퟒ풊 + − 풊 = 1 − ퟒ풊 Cách 2: Sử dụng máy tính casio. Nhấn MODE + 2 b) 풙 + 풊 − 풙풊 = 풙 − 풙 풊 + 풊 − 풙풊 = 풙 − 풙 풊 + 풊 + 풙 = 풙 + ( − 풙 )풊
6. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Phương pháp Vận dụng, kết hợp các kiến thức đã học về phép cộng, trừ và nhân số phức. a : phần thực Thông Thu gọn phép toán về b : phần ảo kết quả số phức 풛 = số i : đơn vị ảo + 풊 . 풊 = − Số phức 풛 = 퐚 + 풊 풛ത = − 풊 퐚; 퐛 ∈ ℝ liên hợp Số đối −풛 = − − 풊 Modul |풛| = + = |풛ത| = | − 풛| = → 풛 = 풊 : số ảo ( số thuần ảo) Đặc biệt = → 풛 = : số thực ( Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.)
7. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Bài 1 Tìm phần thực, phần ảo của số phức 풛 = + ퟒ풊 + 풊 − 풊 Bài giải Ta có: 풛 = + ퟒ풊 + 풊 − 풊 = + ퟒ풊 + 풊 − 풊 = + 풊 + = + 풊 Vậy phần thực là 8, phần ảo là 6
8. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Bài 2 Tính mođun của số phức 풛 = + 풊 − ( + 풊) Bài giải Ta có: 풛 = + 풊 − ( + 풊) = − − 풊 ⇒ |풛| = | − − 풊| = − + − = Vậy |풛| =
9. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Bài 3 Cho số phức 풛 = + 풊. Tìm mođun của số phức w = 풛풊 + 풛ത + 풊 Bài giải Ta có: w = ( + 풊)풊 + ( − 풊) + 풊 = 풊 − + + ퟒ풊 = 5+7i ⇒ |퐰| = | + 풊| = + = ퟒ Vậy |퐰| = ퟒ
10. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Bài 4 Tìm số phức liên hợp 풛 ത của số phức 풛 = ( − 풊)( + 풊)? Bài giải Ta có: 풛 = − 풊 + 풊 = + 풊 − ퟒ풊 + = + 풊 ⇒ 풛ത = − 풊 Vậy 풛ത = − 풊
11. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Xác định thành phần của số phức khi biết tổng, hiệu, tích các số phức. Bài 5 Tìm điểm biểu diễn số phức 풛 thỏa mãn: + 풊 풛ത − − 풊 = Bài giải Giả sử 풛 = 풙 + 풚풊 풙, 풚 ∈ ℝ ⇒ 풛ത = 풙 − 풚풊 và điểm biểu diễn z là M(x; y) Từ giả thiết ta có: + 풊 풙 − 풚풊 − − 풊 = ⇔ 풙 + 풚 − + 풙 − 풚 − 풊 = 풙 + 풚 − = ⇔ ቊ 풙 − 풚 − = 풙 = ⇔ ቊ 풚 = − Vậy M(2; -1)
12. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 2: Phương trình tìm z. Phương pháp Vận dụng, kết hợp các kiến thức đã học về số phức và giải phương trình để tìm 풛. Bài 6 Tìm số phức 풛 thỏa mãn 풛 + + 풊 = + ퟒ풊 Bài giải Ta có: 풛 + + 풊 = + ퟒ풊 ⇔ 풛 = ( − ) + (ퟒ − )풊 ⇔ 풛 = + 풊 Vậy số phức cần tìm là 풛 = + 풊
13. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 2: Phương trình tìm z. Bài 7 Tìm số phức 풛 thỏa mãn 풊풛 + − 풊 = Bài giải Giả sử 풛 = + 풊 ; ∈ ℝ . Khi đó, phương trình đã cho trở thành: + 풊 풊 + − 풊 = ⇔ − + − 풊 = − = = ⇔ ቊ ⇔ ቊ ⇒ 풛 = + 풊 − = = Vậy số phức cần tìm là 풛 = + 풊
14. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 2: Phương trình tìm z. Bài 8 Tìm số phức 풛 thỏa mãn 풛 − 풛ത + 풊 − 풛 = 풊 − Bài giải Giả sử 풛 = + 풊 ; ∈ ℝ . Khi đó, phương trình đã cho trở thành: + 풊 − − 풊 + 풊 − + 풊 = 풊 − ⇔ − − ퟒ + − 풊 = 풊 − + ퟒ = ⇔ ቊ − = = ⇔ ቊ = − ⇒ 풛 = − 풊 Vậy số phức cần tìm là 풛 = − 풊
15. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 3: Tính Toán Lũy Thừa Bậc Cao Với Số Phức. Phương pháp Vận dụng, kết hợp các kiến thức đã học về số phức để tính toán. 풏 풏 Đặc biệt 풊ퟒ풏 = 풊ퟒ = 풏 = ; 풊ퟒ풏+ = 풊ퟒ . 풊 = 풏. 풊 = 풊 풏 풏 풊ퟒ풏+ = 풊ퟒ . 풊 = 풏. − = − ; 풊ퟒ풏+ = 풊ퟒ . 풊 = 풏. − 풊 = −풊 + 풊 = 풊; − 풊 = − 풊; + 풊 = − ; − 풊 = − Bài 9 Tính giá trị của 풊 + 풊 + 풊 − 풊 ퟒ ? Bài giải 풊 + 풊 + 풊 − 풊 ퟒ = 풊ퟒ. + + 풊ퟒ. + + 풊ퟒ. − 풊ퟒ. + = 풊 − 풊 + + =
16. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 3: Tính Toán Lũy Thừa Bậc Cao Với Số Phức. Bài 10 Cho số phức 풛 = − 풊 . Dạng đại số của số phức là gì ? Bài giải 풛 = − 풊 = − 풊 . ( − 풊) = − 풊 . ( − 풊) = − − 풊 Bài 11 푪풉풐 풛 = − + 풊 − 풊 + 풊 − 풊ퟒ + 풊 −. . . −풊 + 풊 − 풊 . Tổng phần thực và phần ảo của z bằng bao nhiêu? Bài giải Nhận xét: tổng 4 số hạng liên tiếp −풊ퟒ + + 풊ퟒ + − 풊ퟒ +ퟒ + 풊ퟒ + = − 풊 − + 풊 = . Nên 풛 = − + 풊. Tổng phần thực và phần ảo của z bằng -1 + 1 = 0.
17. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 3: Tính Toán Lũy Thừa Bậc Cao Với Số Phức. Bài 12 Tính 푷 = + 풊 + − 풊 Bài giải Ta có ∶ . + . + 푷 = + 풊 + − 풊 = + 풊 + − 풊 . . = + 풊 . + 풊 + − 풊 . − 풊 = − . + 풊 + − . − 풊 = . − . = −
18. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 3: Tính Toán Lũy Thừa Bậc Cao Với Số Phức. Bài 13 Cho a, b, c là các số thực và 풛 = − + 풊 . Chứng minh rằng + 풛 + 풛 + 풛 + 풛 = + + − − − Bài giải 푻 ó: 풛 = − + 풊 ⇒ 풛 = − − 풊 = 풛ത; 풛ത = 풛; 풛 + 풛ത = − ; 풛풛ത = |풛| = Khi đó + 풛 + 풛 + 풛 + 풛 = + 풛 + 풛ത + 풛ത + 풛 = + 풛ത + 풛 + 풛 + 풛풛ത + 풛 + 풛ത + 풛ത + 풛풛ത = + + − − −
19. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 4: Tìm Tập Hợp Điểm Biểu Diễn Số Phức. Phương pháp Vận dụng, kết hợp các kiến thức về số phức và hình học phẳng Oxy. 풙 − + 풚 − = 푹 BIỂU 퐓â 푰 ; Đường ൝ DIỄN tròn á풏 풌í풏풉 푹 = + − HÌNH f(x,y)=0 풙 + 풚 − 풙 − 풚 + = HỌC 풛 = 풙 + 풚풊 SỐ 풙; 풚 ∈ ℝ PHỨC Đường thẳng 풙 + 풚 + =
20. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 4: Tìm Tập Hợp Điểm Biểu Diễn Số Phức. Bài 14 Cho số phức z thỏa mãn 풛 − + 풊 = 풛ത + − 풊 . Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là gì ? Bài giải y d Gọi số phức 퐳 = 풙 + 풚퐢 풙, 풚 ∈ ℝ B có điểm biểu diễn là M (x;y) 2 Ta có: 풛 − + 풊 = 풛ത + − 풊 A ⇔ |풙 − + (풚 + )풊| = |풙 + + (−풚 − )풊| x ⇔ 풙 − + 풚 + = 풙 + + −풚 − 0 2 ⇔ −ퟒ풙 − ퟒ풚 − = ⇔ 풚 = −풙 − . Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ là đường thẳng 퐝: 풚 = −풙 − .
21. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 4: Tìm Tập Hợp Điểm Biểu Diễn Số Phức. Bài 15 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn |풛 + 풊| = 풛 − 풊 ? Bài giải Gọi số phức 퐳 = 풙 + 풚퐢 풙, 풚 ∈ ℝ có điểm biểu diễn là M (x;y) Ta có: 풛 + 풊 = 풛 − 풊 ⇔ 풙 + 풚 + 풊 = 풙 + 풚 − 풊 ⇔ 풙 + 풚 + = 풙 + 풚 − ⇔ 풚 = Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức là đường thẳng 풚 = (tức là trục Ox).
22. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 4: Tìm Tập Hợp Điểm Biểu Diễn Số Phức. Bài 16 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn |풛ത + − 풊| ≤ ? Bài giải y Gọi số phức 퐳 = 풙 + 풚퐢 풙, 풚 ∈ ℝ có điểm biểu diễn là M (x;y) Ta có: 풛ത + − 풊 ≤ ⇔ 풙 + + −풚 − 풊 ≤ ⇔ 풙 + + 풚 + ≤ -1 0 ⇔ 풙 + + 풚 + ≤ x Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z trên I -1 mặt phẳng tọa độ là hình tròn tâm 푰 − ; − bán kính 푹 = và kể cả đường tròn đó.
23. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV Chú ý Thao tác trên tập số phức ℂ 푴푶푫 + 푪푴푷푳푿 MỘT SỐ PHÍM QUAN Kí hiệu i 푬푵푮 TRỌNG TRONG SỐ Kí hiệu số phức liên hợp 풛ത PHỨC 풔풉풊풇풕 + + onj품 Kí hiệu | + 풊| 풔풉풊풇풕 + 풉풚풑 풔
24. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CỦNG CỐ Câu 1 Cho hai số phức 풛 = − 풊 và 풛 = − 풊. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 풛 = 풛 . 풛 . A.−ퟒ 풗à − B. −ퟒ 퐯à C. ퟒ và -7 D. ퟒ 퐯à Bài giải Ta có: 풛 = 풛 . 풛 = ( − 풊)( − 풊) 풛 = − ퟒ풊 − 풊 + 풊 = ퟒ − 풊. Vậy số phức 풛 có phần thực là 4 và phần ảo là -7.
25. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV Câu 2 Cho hai số phức 풛 = + 풊 và 풛 = − 풊. Tính môđun của số phức 풛 + 풛 . A. 1 + 2 = 5 B. 1 + 2 = 1 C. 1 + 2 = 13 D. 1 + 2 = 5 Bài giải Cách 1: Dùng máy tính cầm tay: MODE => 2 => SHIFT => hyp => 1+i+2 – 3i = Ra kết quả là . Vậy chọn đáp án C Cách 2: Phương pháp tự luận: Ta có: 풛 + 풛 = + 풊 + − 풊 = − 풊. 풛 + 풛 = + (− ) = . Vậy môđun của số phức 풛 + 풛 là .
26. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV Câu 4 Biết số phức 풛 = − + ퟒ풊 là một nghiệm của phương trình 풛 + 풛 + = , trong đó , là các số thực. Tính 퐒 = + . A. S = - 31 B. S = 31 C. S = 1 D. S = 11 Bài giải Do 풛 = − + ퟒ풊 là một nghiệm của phương trình 풛 + 풛 + = nên ta có: − + ퟒ풊 + − + ퟒ풊 + = ⇔ − − ퟒ풊 − + ퟒ 풊 + = − − + = = ⇔ ቊ ⇔ ቊ − ퟒ + ퟒ = = Vậy 퐒 = + = + = .
27. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV Câu 5 Gọi 푯 là tập hợp các điểm biểu diễn số phức 풛 thỏa mãn: ≤ 풛 − ≤ trong mặt phẳng phức. Tính diện tích hình 푯 . A. S = 흅 B. S = 흅 C. S = 6흅 D. S = 8 흅 Bài giải Đặt 풛 = 풙 + 풚풊, 풛 − = 풙 − + 풚풊 = 풙 − + 풚 Do đó ≤ 풛 − ≤ ⇔ ≤ 풙 − + 풚 ≤ ⇔ ≤ 풙 − + 풚 ≤ . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức 풛 là hình phẳng nằm trong đường tròn tâm 푰 ; bán kính 푹 = và nằm ngoài đường tròn 푰 ; bán kính 풓 = . Diện tích hình phẳng 푺 = 흅. − 흅. = 흅.
28. GIẢI LỚP CHƯƠNG SỐ PHỨC 12 TÍCH IV CỦNG CỐ 풛 + 풛 = + + + 풊 풛 − 풛 = − + − 풊 Phép 풛 = + 풊 = 풛 = 풛 ⇔ ቊ = toán 풛 = + 풊 풛 . 풛 = + 풊 . + 풊 = . − . + . + . 풊