Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương II, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương II, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 2)

1. LỚP LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 10 CHƯƠNG 4 10 ĐẠI SỐ Chương 2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG Bài 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1 ĐỊNH NGHĨA 2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG 4 ỨNG DỤNG a Độ dài của vectơ b Góc giữa hai vectơ c Khoảng cách giữa hai điểm
2. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Bài toán Trên mặt phẳng tọa độ 퐎; Ԧ퐢; Ԧ퐣 , cho hai vectơ 퐚 = 퐚 ; 퐚 , 퐛 = 퐛 ; 퐛 . a) Tính Ԧ퐢 , Ԧ퐣 , Ԧ퐢. Ԧ퐣? b) B퐢ể퐮 퐝퐢ễ퐧 퐯퐞퐜퐭퐨 퐚 퐯à 퐛Ԧ theo hai vecto Ԧ퐢 퐯à Ԧ퐣? c) Tính tích vô hướng 퐚. 퐛Ԧ ? Lời giải a) Ԧ퐢 = ; Ԧ퐣 = ; Ԧ퐢. Ԧ퐣 = Ԧ 퐛) 퐚 = 퐚 Ԧ퐢 + 퐚 Ԧ퐣; 퐛 = 퐛 Ԧ퐢 + 퐛 Ԧ퐣 Ԧ c) 퐚. 퐛 = 퐚 Ԧ퐢 + 퐚 Ԧ퐣 . 퐛 Ԧ퐢 + 퐛 Ԧ퐣 = 퐚 퐛 Ԧ퐢 + 퐚 퐛 Ԧ퐣 + 퐚 퐛 Ԧ퐢. Ԧ퐣 + 퐚 퐛 Ԧ퐢. Ԧ퐣 = 퐚 퐛 + 퐚 퐛
3. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Biểu thức tọa độ tích vô hướng: Ԧ Trên mặt phẳng tọa độ 퐎; Ԧ퐢; Ԧ퐣 , cho hai vectơ 퐚 = 퐚 ; 퐚 và 퐛 = 퐛 ; 퐛 . Ԧ Khi đó: 퐚. 퐛 = 퐚 퐛 + 퐚 퐛 Nhận xét Ԧ Hai vectơ 퐚 = 퐚 ; 퐚 , 퐛 = 퐛 ; 퐛 đều khác vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi: 퐚 퐛 + 퐚 퐛 = .
4. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 1 Trên mặt phẳng tọa độ 퐎퐱퐲 cho hai điểm 퐚 = ; , 퐛Ԧ = − ; . Chứng tỏ rằng 퐚 ⊥ 퐛Ԧ . Bài giải Ta có: 퐚. 퐛Ԧ = . (− ) + . = Vậy 퐚 ⊥ 퐛Ԧ .
5. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG Ví dụ 2 Trên mặt phẳng tọa độ 퐎퐱퐲 cho bai điểm 퐀 ; ퟒ , 퐁 ; , 퐂 ; . Chứng minh 퐀퐁 ⊥ 퐀퐂. Bài giải T퐚 퐜ó: 퐀퐁 = − ; − , 퐀퐂 = ퟒ; − . 퐀퐁. 퐀퐂 = − . ퟒ + − − = 퐕ậ퐲 퐀퐁 ⊥ 퐀퐂
6. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG a Độ dài của vectơ Công thức Độ dài của vectơ 퐚 = 퐚 ; 퐚 được tính theo công thức: 퐚 = 퐚 + 퐚 Chứng minh Ta có: 퐚 = 퐚. 퐚 = 퐚 퐚 + 퐚 퐚 = 퐚 + 퐚 퐌à: 퐚 = 퐚 퐍ê퐧: 퐚 = 퐚 = 퐚 + 퐚
7. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG a Độ dài của vectơ Ví dụ 1 Tính độ dài của 풖 ; −ퟒ ? Bài giải 풖 = + −ퟒ =
8. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG a Độ dài của vectơ Ví dụ 2 Tìm m để 퐮 퐦 − ; 퐦 퐜ó độ 퐝à퐢 퐧퐡ỏ 퐧퐡ấ퐭? Bài giải 퐮 = (퐦 − ) +퐦 = 퐦 − 퐦 + = (퐦 − ) +퐦 2 1 1 1 =2 m − +  m 222 11 min u= m = 2 2
9. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG b Góc giữa hai vectơ Công thức Ԧ Nế퐮 퐯퐞퐜퐭ơ 퐚 퐚 ; 퐚 và 퐛 퐛 ; 퐛 khác 퐯퐞퐜퐭ơ thì ta có: 퐚 퐛 + 퐚 퐛 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = 퐚 + 퐚 . 퐛 + 퐛 Chứng minh 퐚. 퐛Ԧ 퐚 퐛 + 퐚 퐛 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = = Ԧ |퐚|. |퐛| 퐚 + 퐚 . 퐛 + 퐛
10. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG b Góc giữa hai vectơ Ví dụ 1 C퐡퐨 퐎퐌 − ; − , 퐎퐍 ; − . Tính góc MON ? Bài giải 퐎퐌. 퐎퐍 − 퐜퐨퐬 퐎퐌, 퐎퐍 = = = − 퐎퐌 . 퐎퐍 . ⇒ 퐌퐎퐍෣ = 퐎퐌, 퐎퐍 = 퐨
11. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG b Góc giữa hai vectơ Ví dụ 2 Cho 퐌 ; . Tìm điểm 퐍 ∈ 퐎퐱 để tam giác 퐌퐎퐍 vuông tại 퐌? Bài giải Gọi 퐍 퐱; . Khi đó 퐌퐍 = 퐱 − ; − , 퐌퐎 = − ; − . Tam giác 퐌퐎퐍 vuông tại 퐌 ⇔ 퐌퐍. 퐌퐎 = ⇔ − 퐱 − + = ⇔ 퐱 = 퐕ậ퐲 퐌 ;
12. LỚP Bài 2 HÌNHHÌNHĐẠI HỌCSỐHỌC BÀI 15 TÍCHTÍCH VÔVÔ HƯỚNGHƯỚNG CỦACỦA HAIHAI VECTOVECTƠ VÀVÀ ỨNGỨNG DỤNGDỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG b Góc giữa hai vectơ Ví dụ 3 Cho 퐀 ; , B(1; 4). Tìm điểm 퐂 để tam giác 퐀퐁퐂 vuông cân tại 퐀? Bài giải Gọ퐢 퐂 퐱; 퐲 . Khi đó 퐀퐁 = − ; , 퐀퐂 = 퐱 − ; 퐲 − . Tam giác 퐀퐁퐂 vuông cân tại 퐀 퐤퐡퐢 퐯à 퐜퐡ỉ 퐤퐡퐢 2− x + y − 3 = 0 AB.AC= 0 AB= AC 22 (x− 2) +( y − 3) = 2 x=− y 1 x== 3;y 4 2 x== 1;y 2 (y−= 3) 1 Vậy C(3; 4) hoặc C(1; 2)
13. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG c Khoảng cách giữa hai điểm Công thức Khoảng cách giữa hai điểm 퐀 퐱퐀; 퐲퐀 và 퐁 퐱퐁; 퐲퐁 được tính theo công thức: 퐀퐁 = 퐱퐁 − 퐱퐀 + 퐲퐁 − 퐲퐀 . Chứng minh Ta có: 퐀퐁 = 퐱퐁 − 퐱퐀; 퐲퐁 − 퐲퐀 퐕ậ퐲: 퐀퐁 = 퐀퐁 = 퐱퐁 − 퐱퐀 + 퐲퐁 − 퐲퐀
14. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 4 ỨNG DỤNG c Khoảng cách giữa hai điểm Ví dụ 3 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(2;4), B(1;2), C(6;2). a. Chứng minh 퐭퐚퐦 퐠퐢á퐜 퐀퐁퐂 퐯퐮ô퐧퐠. b. Tính diện tích tam giác ABC. Bài giải Ta có: 퐀퐁 − ; − ; 퐀퐂 ퟒ; − a. 퐀퐁. 퐀퐂 = − . ퟒ + − . − = . Do đó 퐀퐁 ⊥ 퐀퐂 b. 퐀퐁 = 퐀퐁 = − + − = 퐀퐂 = 퐀퐂 = ퟒ + − = 퐕ậ퐲 퐒 = 퐀퐁. 퐀퐂 = . . = (đvdt) △퐀퐁퐂
15. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Định nghĩa a.b= a . b .cos( a,b) a⊥ b a.b = 0 2 Tích vô hướng của aa= hai vectơ a.b= b.a a. b+ c = a.b + a.c a.b 2. Tính chất ( ) cos( a,b) = (ka) .b== k( a.b) a.( kb) | a | . | b | 22 a 0; a = 0 a = 0 3. Biểu thức tọa độ a.b=+ a1 b 1 a 2 b 2 a( a1 ;a 2) ,b( b 1 ;b 2 ) a⊥ b a1 b 1 + a 2 b 2 = 0 4. Ứng dụng 22 a=+ a12 a a,b 0 a b+ a b cos a,b = 1 1 2 2 ( ) 2 2 2 2 a2++ a 2 . b 2 b 2 22 AB=( xBABA − x) +( y − y )
16. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1. Cho hai vectơ 퐚 và 퐛Ԧ đều khác . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 퐚. 퐛Ԧ = 퐚 . 퐛Ԧ . B. 퐚. 퐛Ԧ = 퐚 . 퐛Ԧ . 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ . C. 퐚. 퐛Ԧ = 퐚. 퐛Ԧ . 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ . D. 퐚. 퐛Ԧ = 퐚 . 퐛Ԧ . 퐬퐢퐧 퐚, 퐛Ԧ . Câu 2. Trong hệ tọa độ 퐎퐱퐲, cho 퐮 = Ԧ퐢 + Ԧ퐣 và 퐯 = ; − .Tính 퐮. 퐯. A. 퐮. 퐯 = − . B. 퐮. 퐯 = . C. 퐮. 퐯 = ; − . D. 퐮. 퐯 = . Câu 3. Trong mặt phẳng 퐎퐱퐲, cho các điểm 퐀 −ퟒ; , 퐁 ; ퟒ . Tính độ dài 퐀퐁. A. 퐀퐁 = . B. 퐀퐁 = ퟒ. C. 퐀퐁 = ퟒ . D. 퐀퐁 = . Câu 4. Cho hai véc tơ 퐚 = − ; ; 퐛Ԧ = ; . Góc giữa hai véc tơ 퐚, 퐛Ԧ là A. ퟒ °. B. °. C. °. D. °. Câu 5. Trên mặt phẳng toạ độ 퐎퐱퐲, cho tam giác 퐀퐁퐂 biết 퐀 ; , 퐁 − ; − , 퐂 ; . Tính cosin góc 퐀 của tam giác. A. 퐜퐨퐬 퐀 = . B. 퐜퐨퐬 퐀 = .C. 퐜퐨퐬 퐀 = − . D. 퐜퐨퐬 퐀 = − .
17. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 6. Cho ba vectơ 퐚, 퐛Ԧ , 퐜Ԧ thỏa mãn 퐚 = , 퐛Ԧ = , 퐚 − 퐛Ԧ = . Tính 퐚 − 퐛Ԧ . 퐚 + 퐛Ԧ . A. − . B. . C. ퟒ. D. . Câu 7. Cho 퐚, 퐛Ԧ có 퐚 + 퐛Ԧ vuông góc với vectơ 퐚 − ퟒ퐛Ԧ và 퐚 = 퐛Ԧ . Khi đó: A. 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = . B. 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = °. C. 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = . D. 퐜퐨퐬 퐚, 퐛Ԧ = . Câu 8. Cho 횫퐀퐁퐂 vuông tại 퐀, biết 퐀퐁. 퐂퐁 = ퟒ, 퐀퐂. 퐁퐂 = . Khi đó 퐀퐁, 퐀퐂, 퐁퐂 có độ dài là A. ; ; . B. ; ퟒ; . C. ; ퟒ; . D. ퟒ; ; . Câu 9. Cho ba véc-tơ 퐚, 퐛Ԧ , 퐜Ԧ thỏa mãn: 퐚 = ퟒ, 퐛Ԧ = , 퐜Ԧ = và 퐛Ԧ − 퐚 + 퐜Ԧ = . Khi đó biểu thức 퐌 = 퐚. 퐛Ԧ + 퐛Ԧ . 퐜Ԧ + 퐜Ԧ. 퐚 có giá trị là A. . B. . C. , . D. − , . Câu 10. Cho hình vuông 퐀퐁퐂퐃 có cạnh bằng . Hai điểm 퐌, 퐍 thay đổi lần lượt ở trên cạnh 퐀퐁, 퐀퐃 sao cho 퐀퐌 = 퐱 ≤ 퐱 ≤ , 퐃퐍 = 퐲 ≤ 퐲 ≤ . Tìm mối liên hệ giữa 퐱 và 퐲 sao cho 퐂퐌 ⊥ 퐁퐍 A. 퐱 − 퐲 = . B. 퐱 − 퐲 = . C. 퐱 + 퐲 = . D. 퐱 − 퐲 = .