Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 1)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 1)

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) 12 Chương III 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ II BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 1. Hệ tọa độ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, xét ba trục tọa độ ; ; vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc . Gọi 푖Ԧ, 푗Ԧ, là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục ; ; . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian. Chú ý 푖Ԧ2 = 푗Ԧ2 = 2 = 1 và 푖Ԧ. 푗Ԧ = 푗Ԧ. = . 푖Ԧ = 0.
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ 2. Tọa độ của điểm Định nghĩa Trong không gian , với bộ ba số ; ; ta có một điểm duy nhất thỏa mãn hệ thức = 푖Ԧ + 푗Ԧ + . Ta gọi bộ ba số ; ; đó là tọa độ của điểm và viết ; ; . 3. Tọa độ của điểm Định nghĩa Trong không gian , cho vectơ Ԧ. Khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ ba số ; ; sao cho Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + . Ta gọi bộ ba số ; ; đó là tọa độ của vectơ Ԧ. Nhận xét Trong hệ tọa độ , tọa độ của điểm chính là tọa độ của vectơ .
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) I. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Ví dụ 1 Trong hệ trục tọa độ , cho = 2푖Ԧ − 3푗Ԧ + 4 , = 1; −4; 2 , = 푖Ԧ − 3 . Xác định tọa độ của vectơ , điểm , điểm . Bài giải = 2푖Ԧ − 3푗Ԧ + 4 ⇔ = 2; −3; 4 . = 1; −4; 2 ⇔ 1; −4; 2 . = 푖Ԧ − 3 ⇔ = 1; 0; −3 ⇔ 1; 0; −3 .
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Định lý Trong không gian , cho Ԧ = 1; 2; 3 ; = 1; 2; 3 , ∈ ℝ. Ta có: • Ԧ ± = 1 ± 1; 2 ± 2; 3 ± 3 • Ԧ = 2; 2; 3 Ví dụ 2 Trong không gian , cho ba vectơ Ԧ = 2; −5; 3 , = 0; 2; −1 và Ԧ = 1; 7; 2 . Xác định tọa độ của các vectơ 1 a) Ԧ = Ԧ − b) Ԧ = + Ԧ c) Ԧ = 4 Ԧ d) Ԧ = 4 Ԧ − + 3 Ԧ. 3 Bài giải c) Ԧ = 4 Ԧ = 8; −20; 12 . a) Ԧ = Ԧ − = 2; −7; 4 . 1 2 1 d) Ta có − = 0; − ; , 3 Ԧ = 3; 21; 6 . 3 3 3 b) Ԧ = + Ԧ = 1; 9; 1 . 1 1 55 Khi đó: Ԧ = 4 Ԧ − + 3 Ԧ = 7; ; . 3 3 3
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Hệ quả Trong không gian , cho Ԧ = 1; 2; 3 ; = 1; 2; 3 , ∈ ℝ, ; ; ; ; ; ; ; ; . Ta có: 1 = 1 • Ԧ = ⇔ ቐ 2 = 2 • vectơ 0 = (0; 0; 0) 3 = 3 1 = 1 1 2 3 • Ԧ cùng phương ≠ 0 Ԧ = ∈ ℝ ⇔ ቐ 2 = 2 ⇔ = = ( 1 2 3 ≠ 1 2 3 3 = 3 •0) = − ; − ; − + + + Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: = ; = ; = 2 2 2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: + + + + + + = ; = ; = 3 3 3
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Ví dụ 2 Trong không gian , cho ba điểm = 1; 1; 1 , = 0; 2; −1 và = −1; 2; −2 . a) Xác định tọa độ của các vectơ , , . b) Chứng minh ba điểm , , tạo thành một tam giác. c) Xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng . d) Xác định tọa độ trọng tâm của tam giác . Bài giải a) = −1; 1; −2 , = −2; 1; −3 , = −1; 0; −1 . −1 1 −2 b) Ta có ≠ ≠ . Suy ra , không cùng phương. −2 1 −3 Hay ba điểm , , tạo thành một tam giác.
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) II. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ Ví dụ 2 Trong không gian , cho ba điểm = 1; 1; 1 , = 0; 2; −1 và = −1; 2; −2 . a) Xác định tọa độ của các vectơ , , . b) Chứng minh ba điểm , , tạo thành một tam giác. c) Xác định tọa độ trung điểm của đoạn thẳng . d) Xác định tọa độ trọng tâm của tam giác . Bài giải ) là trọng tâm của tam giác c) Gọi ; ; . là trung điểm của đoạn thẳng 1+0+ −1 = = 0 1+0 1 3 = = 1+2+2 5 2 2 ⇔ = = . 1+2 3 1 3 3 3 ⇔ = = . Vậy ; ; 0 . 1+ −1 + −2 2 2 2 2 2 = = − 1+ −1 3 3 = = 0 5 2 2 Vậy 0; ; − . 3 3
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho Ԧ = −푖Ԧ + 2푗Ԧ − 3 . Tọa độ của vectơ Ԧ là Ԧ = 2. Ԧ ⊥ Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. A Ԧ = ; − ; − . B Ԧ = −3; 2; −1 . C Ԧ = 2; −3; −1 . D Ԧ = −1; 2; −3 . Hướng dẫn Ta có Ԧ = −푖Ԧ + 2푗Ԧ − 3 ⇒ Ԧ −1; 2; −3
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 2 Trong không gian , cho điểm M(8;9;10). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm lên trục hoành. AA Ԧ; =; 2 B 0Ԧ;⊥9; 10 . C −8 ;Ԧ9=; 103. D 0;⊥9 Ԧ;.0 . Hướng dẫn Gọi ′ là hình chiếu vuông góc của lên trục hoành. Suy ra M’ (a;0;0) ϵ Ox và ′. 푖Ԧ = 0 ⇔ − 8 . 1 = 0 ⇔ = 8. Vậy M’ (8;0;0).
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 3 Trong không gian , cho hai điểm 1; 2; −3 và 3; −2; −1 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là Ԧ = 2. Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. A 푰 ퟒ; ; −ퟒ . B 푰 Ԧ;⊥− ; . CC 푰 ; ; − . D 푰 ; ; − . Hướng dẫn + = 2 + Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là = ⇒ 2; 0; −2 . 2 + = 2
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm 1; 0; −2 , 2; 1; −1 , 1; −2; 2 . Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác . ퟒ ퟒ Ԧ = 2. 푮 − Ԧ ⊥; ; . 푮 ; − Ԧ =; −3 . 푮 ; −⊥ Ԧ.; − . A 푮 ퟒ; − ; − . B CC D Hướng dẫn + + = 3 + + 4 1 1 Tọa độ trọng tâm của tam giác là = ⇒ ; − ; − . 3 3 3 3 + + = 3
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm , với = 2; −1; 3 , = 5; 2; −1 . Tìm tọa độ của vectơ . A Ԧ==3;23.; −4 . B = Ԧ ⊥2 ; −1; 3 . C = Ԧ 7=; 1;32 . D = −⊥3 ;Ԧ.−3; 4 . Hướng dẫn Cách 1. Ta có = − = 5; 2; −1 − 2; −1; 3 = 3; 3; −4 . Cách 2. Ta có = 2; −1; 3 ⇔ 2; −1; 3 và = 5; 2; −1 ⇔ 5; 2; −1 . Vậy = 5 − 2; 2 + 1; −1 − 3 = 3; 3; −4 .
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ , cho vectơ Ԧ = −1; −2; 3 . Tìm tọa độ của vectơ = 2; ; , biết vectơ cùng phương với vectơ Ԧ. A = Ԧ 2=; 4;2−. 6 . B = Ԧ ⊥2; −4; 6 . C = Ԧ2=; 4; 63 . D = 2⊥; − Ԧ.3; 3 . Hướng dẫn 2 Vectơ cùng phương với vectơ Ԧ ⇔ = = −1 −2 3 = 4 ⇔ ቊ = −6.
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm 4; 2; 1 , −2; −1; 4 . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức = 2 . . A 푴 Ԧ =; ; 2 . . B 푴 Ԧ ⊥; ; − . C 푴 − Ԧ; −=ퟒ;3 . D 푴 ;⊥ퟒ; Ԧ−. . Hướng dẫn Gọi điểm ; ; . Khi đó = 2 − 4 = 2 −2 − = 0 ⇔ ቐ − 2 = 2 −1 − ⇔ ቐ = 0 − 1 = 2 4 − = 3
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ , cho các vectơ Ԧ = 2; −1; 3 , = 1; 3; −2 . Tìm tọa độ của vectơ Ԧ = Ԧ − 2 . A Ԧ = Ԧ 0= ; −27. ; 7 . B Ԧ = Ԧ ⊥0 ; 7 ; 7 . C Ԧ = 0; Ԧ−=7; 3− 7 . D Ԧ = 4;⊥− Ԧ.7; 7 . Hướng dẫn Ta có −2 = −2; − 6; 4 mà Ԧ = 2; − 1; 3 ⇒ Ԧ = 0; − 7; 7 .
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 9 Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho Ԧ = 2; 3; 1 , = −1; 5; 2 , Ԧ = 4; −1; 3 và Ԧ = −3; 22; 5 . Đẳng thức nào đúng trong các đẳng thức sau? A Ԧ = Ԧ 0Ԧ= ;=−272. ; Ԧ 7 −. 3 − Ԧ Ԧ.= Ԧ ⊥0 ; 7 ; 7 . B Ԧ = 0; Ԧ− Ԧ=7=; 3−−72. Ԧ + 3 Ԧ =+ 4 Ԧ;⊥.− Ԧ.7; 7 . CC Ԧ = 2 Ԧ + 3 − Ԧ. D Ԧ = 2 Ԧ − 3 + Ԧ. Hướng dẫn Đặt Ԧ = . Ԧ + 푛. + . Ԧ với , 푛, ∈ ℝ. 2 − 푛 + 4 = −3 = 2 Khi đó ቐ3 + 5푛 − = 22 ⇔ ቐ푛 = 3 . + 2푛 + 3 = 5 = −1
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 10 Cho tam giác biết 2; −1; 3 và trọng tâm của tam giác có toạ độ là 2; 1; 0 . Khi đó + có tọa độ là. A Ԧ0;=6;92. . B 0;9; Ԧ ⊥ − 9 . C 0; Ԧ−=9;93 . DD 0;6; ⊥− Ԧ. 9 . Hướng dẫn A Ta có: + = 2 3 = 2. = 3 2 G = 3 0; 2; −3 = 0; 6; −9 . C B M
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có 0; 0; 0 , 3; 0; 0 , 0; 3; 0 , ′ 0; 3; −3 . Toạ độ trọng tâm tam giác ′ ′ là 1; 1; −2 . A Ԧ = 2. BB 2; Ԧ1⊥; −2 . C 1; 2 Ԧ ;=−13 . D 2; 1⊥; − Ԧ.1 . Hướng dẫn D C Cách 1: Ta có = 3; 0; 0 . Gọi ; ; ⇒ = ; − 3; = ⇔ ; − 3; = 3; 0; 0 ⇒ 3; 3; 0 A B Ta có = 0; 3; 0 . Gọi ′ ′; ′; ′ ⇒ ′ ′ = − ′; 3 − ′; −3 − ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ D = ⇔ − ; 3 − ; −3 − = 0; 3; 0 ⇒ 0; 0; −3 C ′ ′ ′ Gọi 0; 0; 0 ⇒ = 0; 0; 0 + 3 = ′ ′ ⇔ ; ; + 3 = 3; 0; 0 ⇒ ′ 3; 0; −3 0 0 0 A B là trọng tâm tam giác ′ ′ ⇒ 2; 1; −2 .
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1)  BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ , cho hình hộp . ′ ′ ′ ′ có 0; 0; 0 , 3; 0; 0 , 0; 3; 0 , ′ 0; 3; −3 . Toạ độ trọng tâm tam giác ′ ′ là 1; 1; −2 . A Ԧ = 2. BB 2; Ԧ1⊥; −2 . C 1; 2 Ԧ ;=−13 . D 2; 1⊥; − Ԧ.1 . Hướng dẫn D' C'C' Cách 2: Gọi là trung điểm của đoạn thẳng ′.Ta có 3 3 3 ; ; − .Gọi ; ; là trọng tâm tam giác ′ ′ . 2 2 2 A'A' B' 3 3 = 3 − D G 2 2 = 2 I 3 3 CC Ta có: = 3 ⇔ − = 3 − ⇔ ቐ = 1 . 2 2 3 3 = −2 − = 3 + AA 2 2 B
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) Trong không gian , cho vectơ Ԧ. Khi đó luôn tồn tại duy nhất TỌA ĐỘ CỦA bộ ba số ; ; sao cho Ԧ = 푖Ԧ + 푗Ԧ + . Ta gọi bộ ba số VECTƠ ; ; đó là tọa độ của vectơ Ԧ. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Trong hệ tọa độ , tọa độ của điểm chính là TỌA ĐỘ CỦA tọa độ của vectơ . ĐIỂM Ta có: ; ; ⇔ = ; ; .
22. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 1) Trong không gian , cho Ԧ = 1; 2; 3 ; = 1; 2; 3 , ∈ ℝ. • Ԧ ± = 1 ± 1; 2 ± 2; 3 ± 3 • Ԧ = 2; 2; 3 1 = 1 • Ԧ = ⇔ ቐ 2 = 2 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ 3 = 3 CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ • Ԧ cùng phương ≠ 0 Ԧ = • = − ; − ; − + + + • Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: ( ; ; ) 2 2 2 • Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: + + + + + + = ; = ; = 3 3 3