Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 2)

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III 12 HÌNH HỌC Chương 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN - TIẾT 2 IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. III TÍCH VÔ HƯỚNG IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU V BÀI TẬP CỦNG CỐ
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Định lí: Trong không gian , tích vô hướng của hai vec-tơ Ԧ = ; ; và = ′; ′; ′ được xác định bởi công thức Ԧ. = . ′ + . ′ + . ′ 2. Ứng dụng: Trong không gian a) Độ dài của vec-tơ Ԧ ; ; là Ԧ = 2 + 2 + 2. b) Cho hai điểm ; ; , ; ; . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm 2 2 2 và là = = − + − + − .
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ 1. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng 2. Ứng dụng: c) Cho hai vec-tơ Ԧ = ; ; , = ′; ′; ′ với Ԧ và khác 0. Gọi 휑 là góc giữa hai vec-tơ Ԧ và . Khi đó góc giữa hai vec-tơ Ԧ và được tính theo công thức Ԧ. . ′ + . ′ + . ′ 표푠 휑 = 표푠 Ԧ, = = Ԧ . 2 + 2 + 2. ′2 + ′2 + ′2 Từ đó suy ra Ԧ ⊥ ⇔ . ′ + . ′ + . ′ = 0.
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ Ví dụ 1 Trong không gian , cho Ԧ = 3; 0; 1 , = 1; −1; −2 và Ԧ = 2; 1; −1 . a) Tính Ԧ. ; . Ԧ; . Ԧ. b) Tính Ԧ. + Ԧ . c) Tính Ԧ + . d) Tính góc giữa hai vec-tơ Ԧ và Ԧ. Bài giải a) Ta có Ԧ. = 3.1 + 0. −1 + 1. −2 = 1. Ԧ. Ԧ = 3.2 + 0.1 + 1. −1 = 5. . Ԧ = 1.2 + −1 . 1 + −2 . −1 = 3.
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ Ví dụ 1 Trong không gian , cho Ԧ = 3; 0; 1 , = 1; −1; −2 và Ԧ = 2; 1; −1 . a) Tính Ԧ. ; . Ԧ; . Ԧ. b) Tính Ԧ. + Ԧ . c) Tính Ԧ + . d) Tính góc giữa hai vec-tơ Ԧ và Ԧ. Bài giải b) Ta có + Ԧ = 3; 0; −3 . Suy ra Ԧ. + Ԧ = 3.3 + 0.0 + 1. −3 = 6. c) Ta có Ԧ + = 4; −1; −1 . Do đó Ԧ + = 42 + −1 2 + −1 2 = 3 2. 3.2+0.1+1. −1 15 d) 표푠 Ԧ, Ԧ = = . 32+02+12. 22+12+ −1 2 6 Từ đó suy ra Ԧ, Ԧ ≈ 50°.
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ Ví dụ 2 Trong không gian , cho tam giác có −1; 2; 1 , 0; 1; −2 và 3; −2; 1 . a) Tính chu vi của tam giác . b) Xác định tọa độ điểm nằm trên trục hoành để tam giác vuông tại . Bài giải a) Ta có = 0 + 1 2 + 1 − 2 2 + −2 − 1 2 = 11. = 3 + 1 2 + −2 − 2 2 + 1 − 1 2 = 4 2. = 3 − 0 2 + −2 − 1 2 + 1 + 2 2 = 3 3. Vậy chu vi của tam giác là 11 + 4 2 + 3 3.
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III III. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ Ví dụ 2 Trong không gian , cho tam giác có −1; 2; 1 , 0; 1; −2 và 3; −2; 1 . a) Tính chu vi của tam giác . b) Xác định tọa độ điểm nằm trên trục hoành để tam giác vuông tại . Bài giải b) Ta có ∈ ⇒ có dạng ; 0; 0 . = 1; −1; −3 , = + 1; −2; −1 Để tam giác vuông tại ⇔ ⊥ ⇔ 1. + 1 + −1 −2 + −3 −1 = 0 ⇔ + 6 = 0 ⇔ = −6. Vậy −6; 0; 0 .
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 1. Các dạng phương trình mặt cầu Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm ; ; , bán kính 푅 > 0 có phương trình: 푆 : − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 Dạng 2: Xét phương trình : (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu là a2 + 2 + 2 − > 0 Khi đó (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính: 푅 = 2 + 2 + 2 −
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ . Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây: a) − 2 2 + + 1 2 + − 3 2 = 9; b) 2 + 2 + 2 − 8 − 2 + 1 = 0; c) 3 2 + 3 2 + 3 2 − 6 + 9 + 15 − 3 = 0. Bài giải a) Mặt cầu có tâm 2; −1; 3 và bán kính 푅 = 3. b) Mặt cầu có tâm 4; 1; 0 và bán kính 푅 = 42 + 12 + 02 − 1 = 4. c) Ta có 3 2 + 3 2 + 3 2 − 6 + 9 + 15 − 3 = 0 2 + 2 + 2 − 2 + 3 + 5 − 1 = 0. 3 5 9 25 42 Mặt cầu có tâm 1; − ; − và bán kính 푅 = 1 + + − (−1) = . 2 2 4 4 2
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 4 Cho phương trình 푺 : 풙 + 풚 + 풛 + ퟒ 풙 − + 풚 − 풛 + + = . Tìm tất cả các giá trị của tham số để (푺) là một mặt cầu. Bài giải Ta có: = −2 ; = + 1; = ; = 5 2 + 9 (S) là mặt cầu 2 + 2 + 2 − > 0 ⇔ −2 2 + + 1 2 + 2 − 5 2 − 9 > 0 ⇔ 2 + 2 − 8 > 0 ⇔ 2.
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 5 Trong không gian . Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau. a) Có tâm 1; −2; 3 và có bán kính 푅 = 5; b) Có đường kính với 4; −3; 7 , 2; 1; 3 ; c) Đi qua điểm 5; −2; 1 và có tâm 3; −3; 1 Bài giải a) Mặt cầu có tâm 1; −2; 3 và có bán kính 푅 = 5 có phương trình là − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 25.
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 5 Trong không gian . Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau. a) Có tâm 1; −2; 3 và có bán kính 푅 = 5; b) Có đường kính với 4; −3; 7 , 2; 1; 3 ; c) Đi qua điểm 5; −2; 1 và có tâm 3; −3; 1 Bài giải b) Mặt cầu có đường kính có tâm 3; −1; 5 . 2−4 2+ 1+3 2+ 3−7 2 Bán kính 푅 = = = 3. 2 2 Mặt cầu phương trình là − 3 2 + + 1 2 + − 5 2 = 9.
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 5 Trong không gian . Lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau. a) Có tâm 1; −2; 3 và có bán kính 푅 = 5; b) Có đường kính với 4; −3; 7 , 2; 1; 3 ; c) Đi qua điểm 5; −2; 1 và có tâm 3; −3; 1 Bài giải c) Mặt cầu có tâm 3; −3; 1 và có bán kính 푅 = = 3 − 5 2 + −3 + 2 2 + 1 − 1 2 = 5 nên (S) phương trình là − 3 2 + + 3 2 + − 1 2 = 5.
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU. 2. Các ví dụ Ví dụ 6 Trong không gian với hệ trục toạ độ , I 2 cho điểm 3; 0; −2 và mặt cầu 푆 : − 1 + R + 2 2 + + 3 2 = 25. Đường thẳng đi qua , cắt r mặt cầu tại hai điểm , . Độ dài ngắn nhất của là M A H N Bài giải Mặt cầu 푆 có tâm 1; −2; −3 ; bán kính 푅 = 5; = −2; −2; −1 Do = 3 < 5 = 푅 nên điểm nằm trong mặt cầu. Gọi là hình chiếu của trên đường thẳng . 1 Trong tam giác vuông 훥 푣à 훥 ta có: ≤ ; = = 2 − 2 2 2 2 Do đó để 푖푛 thì ax ⇒ = ⇒ = 2 = 2 − = 8.
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ  Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1 Trong không gian với hệ toạ độ , cho vectơ Ԧ = 1; −2; 3 . Tìm tọa độ của vectơ biết rằng vectơ cùng hướng với vectơ Ԧ và = 2 Ԧ . Ԧ = 2. Ԧ ⊥ Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. A = 2; −4; 3 . B = −2; 4; −6 . C = 2; −4; 6 . D = 2; −2; 3 . Hướng dẫn Vì vectơ cùng hướng với vectơ Ԧ và = 2 Ԧ nên ta có = 2 Ԧ = 2; −4; 6 .
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ  Câu hỏi trắc nghiệm Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm 3; 2; 8 , 0; 1; 3 và 푃 2; ; 4 . Tìm để tam giác 푃 vuông tại . Ԧ = 2. Ԧ ⊥ Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. A = 25. B = 4. C = −1. D = −10. Hướng dẫn N Ta có = 3; 1; 5 , 푃 = 2; − 1; 1 . Do tam giác 푃 vuông tại nên . 푃 = 0 ⇒ 6 + − 1 + 5 = 0 ⇒ = −10. M P
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ  Câu hỏi trắc nghiệm Câu 3 Trong không gian , cho hai vectơ và 푣Ԧ tạo với nhau một góc 120° và = 2, 푣Ԧ = 5. Tính + 푣Ԧ Ԧ = 2. Ԧ ⊥ Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. AA . B − . C 7. D . Hướng dẫn Ta có : + 푣Ԧ 2 = + 푣Ԧ 2 = 2 + 2 푣Ԧ + 푣Ԧ2 = 2 + 2 . 푣Ԧ 표푠 ; 푣Ԧ + 푣Ԧ 2 1 = 22 + 2.2.5. − + 52 = 19. Suy ra + 푣Ԧ = 19. 2
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ  Câu hỏi trắc nghiệm Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba A D điểm 1; 2; −1 , 2; −1; 3 , −4; 7; 5 . Tọa độ chân đường phân giác trong góc của tam giác là B C Ԧ = 2. Ԧ ⊥ Ԧ = 3 ⊥ Ԧ. 2 11 11 2 11 1 AA − ; ; 1 . B ; −2; 1 . C ; ; . D −2; 11; 1 . 3 3 3 3 3 3 Hướng dẫn Ta có: = −1; −3; 4 ⇒ = 26;. = −6; 8; 2 ⇒ = 2 26 Gọi là chân đường phân giác trong kẻ từ lên của tam giác 2 11 Suy ra : = ⇒ = −2 ⇒ − ; ; 1 . 3 3
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba A điểm 1; −1; 1 , 2; 1; −2 , 0; 0; 1 . Gọi ; ; H là trực tâm tam giác thì giá trị + + là B C AA Ԧ 1=. 2. B Ԧ ⊥− 1. C Ԧ 0=. 3 D −⊥2 .Ԧ. Hướng dẫn Ta có = − 1; + 1; − 1 ; = − 2; − 1; + 2 . Và = −2; −1; 3 ; = −1; 1; 0 ; = 1; 2; −3 . 5 = . = 0 −2 − + 3 = 2 9 −4 là trực tâm tam giác ⇔ ൞ . = 0 ⇔ ቐ − + = −1 ⇔ = 9 , . = 0 + + = 1 8 = 9 Vậy + + = 1.
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 6 Trong không gian , cho mặt cầu có phương trình 2 + 2 + 2 − 2 + 2 − 1 = 0. Tâm của mặt cầu đã cho là: A − Ԧ1=; 0;21. . BB 1 Ԧ;⊥0 ; −1 . C − 1Ԧ ;=1; 03 . D 1; −⊥1 Ԧ;. 0 . Hướng dẫn Vì phương trình mặt cầu có dạng 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 và tâm mặt cầu là ; ; . −2 = −2 = 1 Do đó theo đề bài ta có: ቐ −2 = 0 ⇔ ൝ = 0 1; 0; −1 . −2 = 2 = −1
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III V BÀI TẬP CỦNG CỐ Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ , cho 4; −2; 1 , 0; −2; −1 . Phương trình mặt cầu có đường kính là: 2 2 2 A 풙 − + + 2 2 + 2 = 5. B + 2 + − 2 + = 5. − Ԧ1=; 0;21. . Ԧ ⊥ − 1Ԧ ;=1; 03 . 1; −⊥1 Ԧ;. 0 . C − 2 2 + + 2 2 + 2 = 13. D + 2 2 + − 2 2 + 2 = 13. Hướng dẫn Gọi là trung điểm của . Suy ra 2; −2; 0 và = 5. Do mặt cầu có đường kính nên mặt cầu nhận 2; −2; 0 làm tâm và bán kính 푅 = = 5 . Phương trình mặt cầu là: − 2 2 + + 2 2 + 2 = 5.
22. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III Qua tiết học này các em cần nắm vững 2 nội dung chính: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA 2 VÉC TƠ VÀ ỨNG DỤNG 1) Tích vô hướng của hai vec-tơ Ԧ = ; ; và = ′; ′; ′ Ԧ. = . ′ + . ′ + . ′ 2) Độ dài của vec-tơ Ԧ ; ; là Ԧ = 2 + 2 + 2 3) Cho hai điểm ; ; , ; ; . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm 2 2 2 và là = = − + − + − . 4) Góc giữa hai vec−tơ Ԧ = ; ; , 푣à = ′; ′; ′ khác 0 được xác định bởi . . ′+ . ′+ . ′ 표푠 휑 = 표푠 Ԧ, = = . 2+ 2+ 2. ′2+ ′2+ ′2 5) Ԧ ⊥ ⇔ . ′ + . ′ + . ′ = 0.
23. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN – Tiết 2 12 Chương III PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1) Mặt cầu (S) có tâm ; ; , bán kính 푅 > 0 có phương trình: 푆 : − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 2) Xét phương trình : (S): x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 (2) Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu là a2 + 2 + 2 − > 0 Khi đó (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính: 푅 = 2 + 2 + 2 −