Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 3)

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) 12 Chương III 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTO LIÊN QUAN ĐẾN TÍCH VÔ HƯỚNG II XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU – ĐIỀU KIỆN ĐỂ (S) LÀ MỘT MẶT CẦU III LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU CƠ BẢN IV PHƯƠNG TRÌNH NGOẠI TIẾP TỨ DIỆN (MẶT CẦU ĐI QUA 4 ĐIỂM)
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 1 ( Bài 1/ 68 SGK) Cho ba vec tơ Ԧ = 2; −5; 3 , = 0; 2; −1 , Ԧ = 1; 7; 2 . 1 Tính tọa độ Ԧ = 4 Ԧ − + 3 Ԧ . 3 Bài giải Gọi Ԧ = ; ; , 1 = 4.2 − . 0 + 3.1 = 11 3 1 1 1 Do Ԧ = 4 Ԧ − + 3 Ԧ ⇔ = 4. −5 − . 2 + 3.7 = . 3 3 3 1 55 = 4.3 − −1 + 3.2 = 3 3 1 55 Vậy Ԧ = 11; ; . 3 3
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 2 ( Bài 4/ 68 SGK) Cho Ԧ = 3; 0; −6 , = 2; −4; 0 . Tính Ԧ. . Bài giải Ta có Ԧ. = 3.2 − 4.0 − 6.0 = 6. Vậy Ԧ. = 6.
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho Ԧ = −푖Ԧ + 2푗Ԧ − 3 . Tìm tọa độ của vectơ Ԧ. Bài giải Ta có: Ԧ = −푖Ԧ + 2푗Ԧ − 3 ⇒ Ԧ −1; 2; −3 .
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ , cho ba vectơ Ԧ = −1; 1; 0 , = 1; 1; 0 , Ԧ = 1; 1; 1 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A Ԧ = 2. BB ⊥ Ԧ. C Ԧ = 3. D Ԧ ⊥ . Hướng dẫn Ta có Ԧ = −1; 1; 0 ⇒ Ԧ = 2 ⇒ A đúng. . Ԧ = 1.1 + 1.1 + 0.1 = 2 ≠ 0 ⇒ B sai Ԧ = 1; 1; 1 ⇒ Ԧ = 3 ⇒ C đúng. Ԧ. = −1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 ⇒ Ԧ ⊥ ⇒ D đúng.
6. LỚP BÀI 1 b HÌNH HỌC 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) . I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 5 Trong không gian với hệ toạ độ , cho vectơ Ԧ = 1; −2; 3 . Tìm tọa độ của vectơ biết rằng vectơ ngược hướng với vectơ Ԧ và = 2 Ԧ . A = 2; −2; 3 . B = 2; −4; 6 . C = −2; 4; −6 . D = −2; −2; 3 . Hướng dẫn Vì vectơ ngược hướng với vectơ Ԧ và = 2 Ԧ nên ta có = −2 Ԧ = −2; 4; −6 .
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 6 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai vectơ Ԧ = 0; 3; 1 , = 3; 0; −1 . Tính 표푠 Ԧ, . 1 1 1 1 A 표푠 Ԧ, = − . B 표푠 Ԧ, = − . C 표푠 Ԧ, = . D 표푠 Ԧ, = . 100 10 100 10 Hướng dẫn . 0.3+3.0+1. −1 1 Ta có 표푠 Ԧ, = = = − . . 02+32+12. 32+02+ −1 2 10
8. LỚP BÀI 1 b HÌNH HỌC 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) . I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm 4; 2; 1 , −2; −1; 4 . Tìm tọa độ điểm thỏa mãn đẳng thức = 2 . AA 0; 0; 3 . B 0; 0; −3 . C −8; −4; 7 . D 8; 4; −7 . Hướng dẫn Gọi điểm ; ; . Khi đó: = 2 . − 4 = 2 −2 − = 0 ⇔ ቐ − 2 = 2 −1 − ⇔ ቐ = 0. − 1 = 2 4 − = 3
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 8 Trong không gian , cho Ԧ, tạo với nhau 1 góc 120° và Ԧ = 3; = 5. Tìm = Ԧ − . A = 5. B = 6. C = 7. D =4. Hướng dẫn 2 Cách 1: Ta có 2 = Ԧ − = Ԧ2 + 2 − 2 Ԧ. ⇔ 2 = Ԧ2 + 2 − 2. Ԧ . . 표푠 Ԧ, ⇔ 2 = 33 + 52 − 2.3.5. 표푠 1 20° ⇔ 2 = 49 ⇒ = 7. Cách 2: B Đặt Ԧ = , = . Khi đó = Ԧ − = − = ⇔ = . Theo định lý Côsin trong tam giác có: b 2 = 2 + 2 − 2 . . 표푠 ෣ 120 2 2 2 a A ⇔ = 3 + 5 − 2.3.5. 표푠 1 20° = 47 ⇔ = 7. O
10. LỚP BÀI 1 b HÌNH HỌC 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) . I Tìm tọa độ điểm, tọa độ vec-tơ liên quan đến tích vô hướng Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm 2; 3; −1 , −1; 1; 1 và 푃 1; − 1; 2 . Tìm để tam giác 푃 vuông tại . A = −6. BB = 0. C = −4. D = 2. Hướng dẫn Ta có = 3; 2; −2 , 푃 = 2; − 2; 1 . Tam giác MNP vuông tại N khi và chỉ khi . 푃 = 0 ⇔ 3.2 + 2. − 2 − 2.1 = 0 ⇔ m = 0. Vậy giá trị cần tìm của m là = 0.
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Phương pháp giải ● Xét phương trình 푆 : − 2 + − 2 + − 2 = 푅2. Khi đó mặt cầu có tâm ; ; , bán kính 푅 ● Xét phương trình 푆 : 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 1 . tâm ; ; Khi đó mặt cầu có ቊ . bán kính 푅 = 2 + 2 + 2 − 1 là phương trình mặt cầu ⇔ 2 + 2 + 2 − > 0. tâm 0; 0; 0 ● Đặc biệt: 푆 : 2 + 2 + 2 = 푅2, suy ra 푆 có ቊ . bán kính 푅
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Câu 1 ( Bài 5/ 68 SGK) Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình 3 2 + 3 2 + 3 2 − 6 + 8 + 15 − 3 = 0 Bài giải Ta có 3 2 + 3 2 + 3 2 − 6 + 8 + 15 − 3 = 0 8 ⇔ 2 + 2 + 2 − 2 + + 5 − 1 = 0. 3 = 1 −2 = −2 −4 8 = Khi đó ൞ −2 = ⇔ 3 . 3 −5 −2 = 5 = 2 −4 −5 4 2 −5 2 19 Vậy tâm 1; ; và bán kính 푅 = 12 + − + + 1 = . 3 2 3 2 6
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu 푆 : + 1 2 + − 2 2 + − 1 2 = 9. Tính tọa độ tâm và bán kính 푅 của 푆 . Bài giải Dựa vào phương trình mặt cầu 푆 : + 1 2 + − 2 2 + − 1 2 = 9, ta có tâm (−1; 2; 1) và 푅 = 9 = 3.
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu 푆 có phương trình 2 + 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 2 = 0. Tính tọa độ tâm và bán kính 푅 của 푆 . Bài giải Dựa vào phương trình mặt cầu (푆): 2 + 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 2 = 0,ta có: tâm −1; 2; −3 ൝ bán kính 푅 = (−1)2 + 22 + (−3)2 − (−2) = 16 = 4.
15. LỚP BÀI 1 . Tìm ta độ của véctơ b HÌNH HỌC 12 Chương III HỆ TỌA biếĐỘrằng vectơ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) . II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Câu 4 Cho phương trình: 푆 : 2 + 2 + 2 + 2 3 − − 2 + 1 − 2 + 2 2 + 7 = 0. Tìm tất cả các giá trị của m để (S) là một mặt cầu. 3 > 3 = 3 Hướng dẫn Ta có: = − 3; = + 1; = ; = 2 2 + 7. (S) là mặt cầu ⇔ 2 + 2 + 2 − > 0 ⇔ ( − 3)2+( + 1)2+ 2 − 2 2 − 7 > 0 0 ⇔ ቈ > 3
16. LỚP BÀI 1 . Tìm ta độ của véctơ b HÌNH HỌC 12 Chương III HỆ TỌA biếĐỘrằng vectơ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) . II Xác định tâm và bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) là một mặt cầu Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ , giả sử tồn tại mặt cầu 푆 có phương trình 2 + 2 + 2 − 4 + 2 − 2 + 10 = 0. Với những giá trị nào của thì 푆 có chu vi đường tròn lớn bằng 8 ? A 1; −11 . B 1; 10 . CC −1; 11 . D −10; −1 . Hướng dẫn Ta có 푆 : 2 + 2 + 2 − 4 + 2 − 2 + 10 = 0 hay − 2 2 + + 1 2 + − 2 = 2 − 10 + 5. Để 푆 là phương trình của mặt cầu 2 − 10 + 5 > 0 ∗ Khi đó mặt cầu 푆 có bán kính 푅 = 2 − 10 + 5. Chu vi đường tròn lớn của mặt cầu 푆 là: 푃 = 2 푅 = 2 2 − 10 + 5. Theo giả thiết: = −1 2 2 − 10 + 5 = 8 ⇔ 2 − 10 + 5 = 4 ⇔ 2 − 10 − 11 = 0 ⇔ ቈ (Thỏa đk *). = 11
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) III Lập phương trình mặt cầu cơ bản Phương pháp giải Bước 1: Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm ; ; và bán kính 푅. (푆): − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 Bước 2: Xác định tâm ; ; . Bước 3: Xác định bán kính 푅 của (S). Bước 4: Thế vào phương trình (S).
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) III Lập phương trình mặt cầu cơ bản Câu 1 Trong không gian cho điểm −1; 2; 0 , viết phương trình mặt cầu tâm bán kính bằng 4 A (푆): + 1 2 + − 2 2 + 2 = 16. B (푆): + 1 2 + − 2 2 + 2 = 4. C (푆): − 1 2 + − 2 2 + 2 = 16. D (푆): − 1 2 + − 2 2 + 2 = 4 Bài giải ′ ′ Dạng = phương− + trình+ mặt cầu(푆): − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 Vì mặt cầu có tâm −1; 2; 0 và 푅 = 4 nên (푆): + 1 2 + − 2 2 + 2 = 16.
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) III Lập phương trình mặt cầu cơ bản Câu 2 Trong không gian Oxyz cho (−2; 1; 0), (2; −1; 2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm và đi qua điểm . A (푆): − 2 2 + + 1 2 + ( − 2)2 = 24. BB (푆): − 2 2 + + 1 2 + ( − 2)2 = 24. C (푆): + 2 2 + − 1 2 + 2 = 24. D (푆): − 2 2 + − 1 2 + ( − 2)2 = 24. Bài giải Dạng ′phương= − + trình + mặt ′ cầu(푆): − 2 + − 2 + − 2 = 푅2 Tâm B(2;-1;2) và = (4; −2; 2) Bán kính 푅 = = 24. Vậy (푆): − 2 2 + + 1 2 + ( − 2)2 = 24.
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) III Lập phương trình mặt cầu cơ bản Câu 3 Trong không gian cho điểm −2; 1; 0 , B 2; −1; 2 . Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là AB. A (푆): 2 + 2 + − 1 2 = 24. B 푆 : 2 + 2 + − 1 2 = 6. CC (푆): 2 + 2 + − 1 2 = 6. D 푆 : 2 + 2 + − 1 2 = 24. Bài giải ′ ′ Tâm I là= trung− + điểm+ của AB nên (0; 0; 1), = (4; −2; 2) 24 Bán kính 푅 = = = 6. 2 2 (푆): 2 + 2 + ( − 1)2= 6.
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) III Lập phương trình mặt cầu cơ bản Câu 4 Trong không gian cho 0; 8; 0 , 4; 6; 2 , 0; 12; 4 . Viết phương trình mặt cầu 푆 có tâm nằm trên mặt phẳng và đi qua ba điểm , , . A S : x2 + y − 7 2 + z − 5 2 = 26. B S : x2 + y − 7 2 + z − 5 2 = 122. C S : x2 + y − 7 2 + z − 5 2 = 122. D S : x2 + y − 7 2 + z − 5 2 = 26. Bài giải Mặt cầu 푆 có tâm nằm trên mặt phẳng nên 0; ; . Do đó phương trình mặt cầu có dạng 푆 : 2 + 2 + 2 − 2 − 2 + = 0, ′ ′ Mặt cầu 푆= −đi qua+ ba điểm+ , , , ta có hệ phương trình 64 − 16 + = 0 −16 + + 64 = 0 = 7 ቐ16 + 36 + 4 − 12 − 4 + = 0 ⇔ ቐ −12 − 4 + + 56 = 0 ⇔ ቐ = 5 . 144 + 16 − 24 − 8 + = 0 −24 − 8 + + 160 = 0 = 48 Khi đó 푅2 = 2 + 2 + 2 − = 26. Vậy 푆 : 2 + − 7 2 + − 5 2 = 26.
22. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) IV Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Mặt cầu đi qua 4 điểm) Phương pháp giải Bước 1: Dạng phương trình(푆): 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 ( 2 + 2 + 2 − > 0) Bước 2: Thế tọa độ 4 điểm A, B, C, D vào phương trình (S) Bước 3: Giải hệ phương trình tìm được a, b, c, d suy ra phương trình mặt cầu (S) cần tìm
23. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) IV Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Mặt cầu đi qua 4 điểm) Câu 1 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm 1; 1; 0 , 3; 1; 2 , −1; 1; 2 , 1; −1; 2 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. AA (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 4. B (푆): ( − 1)2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4. C (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 2. D (푆): ( + 1)2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4. Bài giải Cách 1: Dạng phương trình (푆): 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 ( 2 + 2 + 2 − > 0) ′ =∈−(푆 ) + +− 2 ′ − 2 + = −2 ∈ (푆) −6 − 2 − 4 + = −14 Ta có ⇔ ⇔ = 1, = 1; = 2; = 2. ∈ (푆) 2 − 2 − 4 + = −6 ∈ (푆) −2 + 2 − 4 + = −6 Vậy (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 4
24. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) IV Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Mặt cầu đi qua 4 điểm) Câu 1 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm 1; 1; 0 , 3; 1; 2 , −1; 1; 2 , 1; −1; 2 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. AA (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 4. B (푆): ( − 1)2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4. C (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 2. D (푆): ( + 1)2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 = 4. Bài giải Cách 2: Gọi ; ; là tâm mặt cầu cần tìm. Ta có ′ ′ 2 == − 2 + + ቐ 2 = 2 ⇒ (1; 1; 2), 푅 = = 2 2 = 2 Vậy (푆): ( − 1)2 + ( − 1)2 + ( − 2)2 = 4.
25. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 12 Chương III HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (tiết 3) IV Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Mặt cầu đi qua 4 điểm) Câu 2 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm −2; 1; 3 , 1; −1; 0 , 2; 0; 1 . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 1 15 37 1 15 37 AA 푆 : 2 + 2 + 2 + + − = 0. B 푆 : 2 + 2 + 2 + + − = 0. 7 7 7 14 14 14 1 15 37 1 15 37 푆 : 2 + 2 + 2 + − − = 0. 푆 : 2 + 2 + 2 − + − = 0. C 7 7 7 D 14 14 14 Bài giải (푆): 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 ′ =∈−( 푆) + + ′ = 0 ∈ (푆) 4 − 2 − 6 + = −14 1 15 37 Ta có ⇔ ⇔ = − , = − ; = ; =0. ∈ (푆) −2 + 2 + = −2 14 14 14 ∈ (푆) −4 − 2 + = −5 1 15 37 Vậy 푆 : 2 + 2 + 2 + + − = 0. 7 7 7