Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian (Tiết 2)

1. LỚP HÌNH CHƯƠNG BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10 3 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 1 Điều kiện để hai đường thẳng song song 2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau 3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau
2. CHƯƠNG LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III 12 HÌNH HỌC Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU. 1 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. 2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU 3 ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
3. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III Các vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng trong không gian Song song Trùng nhau ≡ ′ d d, d Cắt nhau Chéo nhau d, d, d
4. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU Trong KG Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là: = 표 + 1푡 = ′표 + ′1푡′ : ቐ = 표 + 2푡 ′: ൞ = ′표 + ′2푡 ′ = + 푡 표 3 = ′표 + ′3푡′ ՜ ՜ Gọi VTCP của d và d’ lần lượt là : = ( 1; 2; 3) và ′ = ( ′1; ′2; ′3) Điểm ( 표 ; 표 ; 표 ) thuộc d Điểm ′ ( ′ 표 ; ′ 표 ; ′ 표 ) thuộc d’
5. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 1 Điều kiện để hai đường thẳng song song Ԧ d Song song M ՜ d, 풅//풅′ ⇔ ൝ = 풌 ′ ′ 푴 ∈ 풅 => 푴 ∉ 풅′ Ԧ Trùng nhau M ≡ ′ ՜ = 풌 ′ 풅 ≡ 풅′ ⇔ ൝ ′ 푴 ∈ 풅 => 푴 ∈ 풅′
6. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 1 Điều kiện để hai đường thẳng song song Tổng quát ՜ 풅//풅′ ⇔ ൝ = 풌 ′ 푴 ∉ 풅′ Đặc biệt ՜ 풅 ≡ 풅′ ⇔ ൝ = 풌 ′ 푴 ∈ 풅′
7. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 1 Điều kiện hai đường thẳng song song Ví dụ 1 Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song: = 1 + 2푡 = 2 + 푡′ : ቐ = 4푡 ′: ቐ = 3 + 2푡′ = 3 − 2푡 = 5 − 푡′ Bài giải d có VTCP Ԧ = (2; 4; −2) ⇒ Ԧ = 2 ′ (1) d’ có VTCP Ԧ′ = (1; 2; −1) ′ 1 = 2 + 푡′ 푡 = −1 3 Lấy (1; 0; 3) ∈ , thay tọa độ điểm vào pt ′ ta có : ቐ0 = 3 + 2푡′ ⇔ ቐ푡′ = − ( ) 2 3 = 5 − 푡′ 푡′ = 2 Do đó tọa độ điểm không thỏa mãn pt hay ∉ ′ (2) Từ (1) và (2) ⇒ // ′
8. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 1 Điều kiện hai đường thẳng song song Ví dụ 2 Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau: = 3 − 푡 = 2 − 3푡′ : ቐ = 4 + 푡 ′: ቐ = 5 + 3푡′ = 5 − 2푡 = 3 − 6푡′ Bài giải d có VTCP Ԧ = (−1; 1; −2) 1 ⇒ Ԧ = ′ (1) d’ có VTCP Ԧ′ = (−3; 3; −6) 3 3 = 2 − 3푡′ 1 Lấy (3; 4; 5) ∈ , thay tọa độ điểm vào pt của ′ ta được:ቐ ⇔ t′ = − 4 = 5 + 3푡′ 3 5 = 3 − 6푡′ Ta thấy tọa độ điểm thỏa mãn pt ′ hay ∈ ′(2) Từ (1) và (2) ⇒ ≡ ′
9. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 2 Điều kiện hai đường thẳng cắt nhau Ԧ d’ ′ M d Ta thấy: Ԧ không cùng phương với ′ d’ và d có một điểm chung duy nhất là M.
10. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau Tổng quát Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t’ sau: ′ ′ ′ 0 + 푡 1 = 0 + 푡 1 ′ ′ ′ ൞ 0 + 푡 2 = 0 + 푡 2 (I) ′ ′ ′ 0 + 푡 3 = 0 + 푡 3 Có đúng một nghiệm. ′ Giả sử hệ (I) có nghiệm 푡0; 푡0 , để tìm giao điểm M của d và d’ ta có thể ′ thay 푡0 vào phương trình tham số của d hoặc thay 푡0 vào phương trình tham số của d’.
11. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 2 Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 3 CMR hai đường thẳng d và d’ cắt nhau và tìm giao điểm giữa chúng: = −3 + 2푡 = 5 + 푡′ : ቐ = −2 + 3푡 ′: ቐ = −1 − 4푡′ = 6 + 4푡 = 20 + 푡′ Bài giải −3 + 2푡 = 5 + 푡′ 푡 = 3 ⇒ ቊ Xét hệ pt: ቐ−2 + 3푡 = −1 − 4푡′ 푡′ = −2 6 + 4푡 = 20 + 푡′ Vì hệ phương trình trên có nghiệm (t, t’) = (3;-2) nên d và d’ cắt nhau * Giao điểm M giữa d và d’ Thế t = 3 vào pt d hoặc t’ = -2 vào pt d’ ta tìm được điểm M (3; 7; 18).
12. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau d Ԧ ′ Ta thấy: Ԧ không cùng phương với ′ d’ d’ và d không có điểm chung.
13. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau Tổng quát Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ Ԧ và ′ không cùng phương Hệ phương trình ẩn t, t’ sau: ′ ′ ′ 0 + 푡 1 = 0 + 푡 1 ′ ′ ′ ൞ 0 + 푡 2 = 0 + 푡 2 (I) ′ ′ ′ 0 + 푡 3 = 0 + 푡 3 Vô nghiệm. Nếu 퐚 ⋅ 퐚′ = ⇒ 퐝 ⊥ 퐝′
14. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU 3 Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau. Ví dụ 4 CMR hai đường thẳng d và d’ chéo nhau = 1 + 2푡 = 1 + 3푡′ : ቐ = −1 + 3푡 ; ′: ቐ = −2 + 2푡′ = 5 + 푡 = −1 + 2푡′ Bài giải 3 푡 = − 1 + 2푡 = 1 + 3푡′ 5 3 2 Xét hệ phương trình: ቐ − 1 + 3푡 = −2 + 2푡′ ⇔ 2 ⇔ 5 + − ≠ −1 + 2 − 푡′ = − 5 5 5 + 푡 = −1 + 2푡′ 5 5 + 푡 = −1 + 2푡′ Suy ra hệ phương trình vô nghiệm. Ta lại có: Ԧ = 2; 3; 1 ; ′ = 3; 2; 2 ⇒ Ԧ ≠ ′. Nên Ԧ, Ԧ′ không cùng phương Vậy d và d’ chéo nhau.
15. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU Ví dụ 5 CMR hai đường thẳng d và d’ sau đây vuông góc = 5 − 푡 = 9 + 2푡′ : ቐ = −3 + 2푡 ′: ቐ = 13 + 3푡′ = 4푡 = 1 − 푡′ Bài giải d và d’ có VTCP lần lượt là: Ԧ = −1; 2; 4 ; ′ = 2; 3; −1 Ta có: Ԧ. Ԧ′ = −1.2 + 2.3 + 4. −1 = 0 Vậy d vuông góc với d’
16. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHPHƯƠNGƯƠNG TRÌNH PHÁP ĐXÉTƯỜNG VỊ TRÍTHẲNG CỦA TRONG HAI ĐƯỜNG KHÔNG THẲNG GIAN 12 III Ԧ không cùng phương với Ԧ′ Xét vectơ ; ′ Ԧ cùng phương với Ԧ′ Lấy điểm ′ ′ ′ 0 + 푡 1 = 0 + 푡 1 푴 ∈ 풅 thay Hệ vô ∉ ′ Xét hpt:൞ + 푡 = ′ + 푡′ ′ vào d’ 0 2 0 2 nghiệm ′ ′ ′ 0 + 푡 3 = 0 + 푡 3 (I) 풅Τ/풅′ ∈ ′ d và d’ chéo nhau Hệ có ′ nghiệm 풅 ≡ 풅 풅 풗à 풅′ ắ풕 풏풉 풖
17. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III Ví dụ 6 Cho hai đường thẳng = 2 + 2푡 = 1 + 4푡′ : ቐ = −1 + 3푡 ′: ቐ = −1 + 6푡′ = 3 + 푡 = 3 + 2푡′ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A ⊥ ′. B // ′. C ≡ ′. D và ′ ℎé표 푛ℎ . Lời Giải 1 d và d’ có VTCP lần lượt là: Ԧ = 2; 3; 1 ; ′ = 4; 6; 2 ⇒ Ԧ = ′. (1) 2 Nên Ԧ, Ԧ′ cùng phương Lấy (2; −1; 3) ∈ , thay tọa độ điểm M vào PTTS d’ không thỏa mãn nên M ∉ d’ (2) Từ (1) và (2) ⇒ // ′
18. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng M 훼 ) 훼 ) 훼) Trong không gian Oxyz cho: = 0 + 푡 1 mp ( ): + + + = 0 và đường thẳng d : ቐ = 0 + 푡 2 = + 푡 Để xét vị trí giữa 0 3 đương thẳng d và mp 훼 trong trường hợp này ta làm thế nào?
19. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU Nhận xét Trong không gian Oxyz cho mp ( ): + + + = 0 = 0 + 푡 1 và đường thẳng d : ቐ = 0 + 푡 2 = 0 + 푡 3 Xét phương trình: 0 + 1푡 + 0 + 2푡 + 0 + 3푡 + = 0 (với t là ẩn) (1) +) PT (1) vô nghiệm thì d song song với (훼) +) PT (1) có một nghiệm t = to thì d cắt (훼) tại điểm 0 + 1푡0; 0 + 2푡0; 0 + 3푡0 +) PT (1) có vô số nghiệm thì d nằm trong (훼)
20. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III II ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU Ví dụ 7 Tìm số giao điểm của mặt phẳng ( ) : + + − 3 = 0 với đường thẳng d trong các trường hợp sau: = 2 + 푡 = 1 + 2푡 = 1 + 5푡 ) : ቐ = 3 − 푡 ) : ቐ = 1 − 푡 ) : ቐ = 1 − 4푡 = 1 = 1 − 푡 = 1 + 3푡 Bài giải Thế tọa độ ; ; của d vào ( ) , tìm 푡 =? a) Ta có (2 + t) +(3 - t) + (1) - 3 = 0 0.t = -3 (VN) d // ( ) b) Ta có (1 + 2t) +(1 - t) + (1 - t) - 3 = 0 0.t = 0 (VSN) d nằm trong ( ) c) Ta có (1 + 5t) +(1 - 4t) + (1 +3 t) - 3 = 0 4.t = 0 ⇒ 푡 = 0 d  ( ) = 1; 1; 1
21. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hai đường thẳng d và d’: = 2 + 푡 = 3 : ቐ = −1 ′: ቐ = 2 + 푡′ = 4 − 2푡 = −1 − 푡′ Tọa độ giao điểm d và d’ là: A (−1; −1; 10). B (3; −1; 2). C (3; 3; −2). D (2; −1; 4). Lời Giải 2 + 푡 = 3 푡 = 1 Xét hệ pt: ቐ−1 = 2 + 푡′ ⇒ ቐ 푡′ = −3 4 − 2푡 = −1 − 푡′ 4 − 2.1 = −1 − −3 ( ) Thế t = 1 vào pt d hoặc t’ = -3 vào pt d’ ta tìm được điểm 3; −1; 2 .
22. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III Câu 2 Trong không gian (Oxyz) cho mặt phẳng 푃 : 2 + − 3 + − 2 = 0 = 2 + 4푡 và đường thẳng d : ቐ = 1 − 푡 = 1 + 3푡 Với giá trị nào của m thì d cắt (P) ? A ≠ −1. B = 1. C = 2. D ≠ 2. Lời Giải Xét phương trình: 2 2 + 4푡 + 1 − 푡 − 3 1 + 3푡 + − 2 = 0 ⇔ + 1 푡 = 2 − 1 (1) Để d cắt (P) thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất, pt (1) là pt bậc nhất 1 ẩn nên đk pt có nghiệm là m + 1 ≠ 0 ⇔ ≠ −1 Chọn đáp án A
23. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III ՜ ՜ ՜ ′ Hai đường thẳng ′ = ′ ≡ ⇔ ൝ Ԧ = ′ // ⇔ ൝ ′ song song ∉ ′ ∈ 표 + 1푡 = ′표 + 1푡′ Hai đường thẳng d cắt d’ ⇔ ൞ + 푡 = ′ + 푡′ có đúng 1 nghiệm. cắt nhau 표 2 표 2 표 + 3푡 = ′표 + 3푡′ 표 + 1푡 = ′표 + 1푡′ d và d’ chéo nhau ⇔ ൞ + 푡 = ′ + 푡′ vô nghiệm và Hai đường thẳng 표 2 표 2 chéo nhau 표 + 3푡 = ′표 + 3푡′ Ԧ, Ԧ′ không cùng phương.