Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian (Tiết 5)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian (Tiết 5)

1. LỚP HÌNH CHƯƠNG BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10 3 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I NỘI DUNG DẠNG 11.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm , vuông góc với 풅 và cắt 풅 , với ∉ 풅 . DẠNG 21.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm , cắt đường thẳng 풅 và song song với mặt phẳng 휶 . DẠNG 3 Viết phương trình đường thẳng 휟 nằm trong mặt phẳng 휶 cắt và vuông góc đường thẳng 풅.
2. LỚP HÌNH CHƯƠNG BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10 3 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I NỘI DUNG DẠNG 41.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua giao điểm của đường thẳng 풅 và mặt phẳng 휶 , nằm trong 휶 và vuông góc đường thẳng 풅 (ở đây 풅 không vuông góc với 휶 ) . DẠNG 5 Viết phương trình đường thẳng 휟 là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 풅 , 풅 . DẠNG 6 Viết phương trình đường thẳng 휟 song song với đường thẳng 풅 và cắt cả hai đường thẳng 풅 , 풅 .
3. LỚP HÌNH CHƯƠNG BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 10 3 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 CÁC DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I NỘI DUNG DẠNG 7 Viết phương trình đường thẳng 휟 vuông góc với mặt phẳng 휶 và cắt cả hai đường thẳng 풅 , 풅 . DẠNG 8 Viết phương trình 휟 là hình chiếu vuông góc của 풅 lên mặt phẳng 휶 . DẠNG 9 Viết phương trình 휟 là hình chiếu song song của 풅 lên mặt phẳng 휶 theo phương 풅′.
4. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 11.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm , cắt 풅 và vuông góc với 풅 , với ∉ 풅 . Cách giải: •Gọi 푴 = 휟 ∩ 풅 . Suy ra tọa độ tham số 풕 của 푴. •Xác định tọa độ 푴, véctơ chỉ phương của ∆2. •Xác định tham số 풕 dựa vào 푴. = . ∆1 ∆2 ∆ •Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua A M •và có véctơ chỉ phương là véctơ 푴.
5. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III −1 +1 +2 +1 +4 Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng ∆ : = = và ∆ : = = . Viết phương 1 1 3 −2 2 1 2 1 trình của đường thẳng (d) đi qua 2; −3; −4 , cắt ∆1 và vuông góc với ∆2. Lời giải Đường thẳng ∆2 có một vtcp là: = ; ; Gọi giao điểm của d và ∆1 là M, khi đó 푴 + 풕; − + 풕; − − 풕 ⇒ 푴 = 풕 − ; 풕 + ; − 풕 + là một vtcp của d. 푴. = ⇒ 풕 − + 풕 + ퟒ − 풕 + = ⇒ 풕 = − ⇒ 푴 = − ; − ; ퟒ 풙 − 풚 + 풛 + ퟒ Phương trình đường thẳng d là: = = −ퟒ
6. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 21.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm , cắt đường thẳng 풅 và song song với mặt phẳng 푸 . Cách giải: •Xác định = 휟 ∩ 풅. •Xác định tọa độ , véctơ pháp tuyến 풏 của (푄). 풅 푸 •Đường thẳng 풅 và song song với mặt phẳng(푄) ∆ nên . 풏푸 = . •Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua , . 풏푸 풖 푄
7. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm 1; 2; −1 và đường thẳng −3 −3 : = = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt và song song 1 3 2 với mặt phẳng 푄 : + − + 3 = 0. Lời giải Gọi 훥 là đường thẳng cần tìm. Gọi = 훥 ∩ . Do ∈ ⇒ 3 + 푡; 3 + 3푡; 2푡 ⇒ = 푡 + 2; 3푡 + 1; 2푡 + 1 . 푄 có vectơ pháp tuyến 푛푄 = 1; 1 − 1 . Do 훥// 푄 ⇒ ⊥ 푛푄 ⇔ . 푛푄 = 0 ⇔ 푡 = −1. 훥 đi qua điểm 1; 2; −1 và có vectơ chỉ phương = 1; −2; −1 có phương trình là: − 1 − 2 + 1 = = 1 −2 −1
8. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 31.Viết phương trình đường thẳng 휟 nằm trong mặt phẳng 휶 cắt và vuông góc đường thẳng 풅. Cách giải: •Xác định = 풅 ∩ 휶 . •Đường thẳng 휟 đi qua và có vectơ chỉ phương của 휟 là 휟 = 풅, 풏휶 , với 풅 là vectơ chỉ phương của 풅, 풏휶 là vectơ pháp tuyến của 휶 . 풅 풅 풏푸 ∆ 푄
9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:&x=-3+2t&y=1-t&z=-1+4t . Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm A-4;-2;4, cắt và vuông góc với d là: CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III +2 −2 Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng 훥: = = . 1 1 −1 và mặt phẳng 푄 : + 2 − 3 + 4 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong 푄 , cắt và vuông góc đường thẳng 훥. Lời giải * Gọi = 훥 ∩ 푃 . *Do ∈ 훥 ⇒ −2 + 푡; 2 + 푡; −푡 . Do ∈ 푃 ⇒ 푡 = −1 ⇒ −3; 1; 1 . * 푃 có vectơ pháp tuyến 푛푃 = 1; 2; −3 . 훥 có vectơ chỉ phương 훥 = 1; 1; −1 . ⊂ (푃) ⇒ ⊥ 푛푃 * Có ቋ ⇒ = 푛푃, 훥 = 1; −2; −1 . ⊥ 훥 ⇒ ⊥ 훥 *Đường thẳng đi qua điểm −3; 1; 1 và có vectơ chỉ phương là = −3 + 푡 có phương trình là: ቐ = 1 − 2푡 . = 1 − 푡
10. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 41.Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua giao điểm của đường thẳng 풅 và mặt phẳng 푷 , nằm trong 푷 và vuông góc đường thẳng 풅 (ở đây 풅 không vuông góc với 푷 ) . Cách giải: •Xác định = 풅 ∩ 푷 . •Đường thẳng 휟 đi qua và có vectơ chỉ phương của 휟 là 휟 = 풅, 풏푷 , với 풅 là vectơ chỉ phương của 풅, 풏푷 là vectơ pháp tuyến của 푷 . 풅 풏푸 풅 ∆ 푃
11. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III −1 +3 −3 Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : = = −1 2 1 và mặt phẳng 푃 : 2 + − 2 + 9 = 0. Gọi là giao điểm của và 푃 . Viết phương trình tham số của đường thẳng 훥 nằm trong 푃 , đi qua điểm và vuông góc với . Lời giải • Gọi = ∩ 푃 . • Do ∈ ⇒ 1 − 푡; −3 + 2푡; 3 + 푡 và ∈ 푃 ⇒ 푡 = 1 ⇒ 0; −1; 4 . • 푃 có vectơ pháp tuyến 푛푃 = 2; 1; −2 , có vectơ chỉ phương = −1; 2; 1 . • Gọi vecto chỉ phương của 훥 là 훥. Ta có : 훥 ⊂ (푃) ⇒ 훥 ⊥ 푛푃 ቋ ⇒ 훥 = 푛푃, = 5; 0; 5 . ⊥ 훥 ⇒ ⊥ 훥 • 훥 đi qua 0; −1; 4 , có vectơ chỉ phương là 훥 = 5; 0; 5 = 푡 có phương trình ቐ = −1 . = 4 + 푡
12. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 51.Viết phương trình đường thẳng 휟 là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 풅 , 풅 . Cách giải: 푴푵 ⊥ 풅 •Xác định 푴 = 휟 ∩ 풅 , 푵 = 휟 ∩ 풅 sao cho ቊ . 푴푵 ⊥ 풅 •Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua hai điểm , . 1 2 ∆ M N
13. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = −1 + 2푡 −1 +2 Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng ∆ : = = và ∆ : ቐ = 1 + 푡 . Viết phương 1 2 −1 1 2 = 3 trình của đường thẳng (d) là đường vuông góc chung của ∆1 và ∆2. Lời giải Đường thẳng ∆1, ∆2 có vtcp lần lượt là: = ; − ; , = ; ; Gọi giao điểm của d và ∆1 là M, khi đó 푴 풕; − 풕; − + 풕 Gọi giao điểm của d và ∆2 là N, khi đó 푵 − + 풖; + 풖; ⇒ 푴푵 = 풖 − 풕 − ; 풖 + 풕; − 풕 là một vtcp của d . Ԧ1 = 0 2 2 − 2푡 − 1 − + 푡 + (5 − 푡) = 0 3 − 6푡 = −3 = 1 ⇒ ൝ ⇒ ቊ ⇒ ቊ ⇒ ቊ . Ԧ2 = 0 2 2 − 2푡 − 1 + + 푡 = 0 5 − 3푡 = 2 푡 = 1 Phương trình đường thẳng d đi qua 푴( ; ; − ) 풙 − 풚 풛 + và có vtcp 푴푵 = (− ; ; ퟒ) là: = = − ퟒ
14. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 61.Viết phương trình đường thẳng 휟 song song với đường thẳng 풅 và cắt cả hai đường thẳng 풅 , 풅 . Cách giải: •Xác định = 휟 ∩ 풅 , = 휟 ∩ 풅 sao cho , 풅 cùng phương, với 풅 là vectơ chỉ phương của 풅. •Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 풅 = 휟. ∆ 풅 풅
15. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG +1 −2 −1 −1 +1 Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng 훥 : = = và 훥 : = = . Viết phương 1 3 1 2 2 1 2 3 = 3 trình đường thẳng song song với : ቐ = −1 + 푡 và cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2. = 4 + 푡 Lời giải • Gọi 훥 là đường thẳng cần tìm và gọi = 훥 ∩ 훥1, = 훥 ∩ 훥2. • Do A ∈ 훥1 ⇒ −1 + 3 ; 2 + ; 1 + 2 , B ∈ 훥2 ⇒ 1 + ; 2 ; −1 + 3 ⟹ = −3 + + 2; − + 2 − 2; −2 + 3 − 2 . • Đường thẳng có vectơ chỉ phương = 0; 1; 1 ⇔ có một số thỏa = −3 + + 2 = 0 −3 + = −2 = 1 ⇔ ቐ− + 2 − 2 = ⇔ ቐ− + 2 − = 2 ⇔ ቐ = 1 −2 + 3 − 2 = −2 + 3 − = 2 = −1
16. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG +1 −2 −1 −1 +1 Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng 훥 : = = và 훥 : = = . Viết phương 1 3 1 2 2 1 2 3 = 3 trình đường thẳng song song với : ቐ = −1 + 푡 và cắt hai đường thẳng ∆1 và ∆2. = 4 + 푡 Lời giải • Khi đó ta có tọa độ 2; 3; 3 ; 2; 2; 2 . • Đường thẳng 훥 đi qua điểm 2; 3; 3 và có vectơ chỉ phương = 0; −1; −1 . = 2 Vậy phương trình của 훥 là ቐ = 3 − 푡. = 3 − 푡
17. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 71.Viết phương trình đường thẳng 휟 vuông góc với mặt phẳng 휶 và cắt cả hai đường thẳng 풅 , 풅 . Cách giải: •Xác định = 휟 ∩ 풅 , = 휟 ∩ 풅 sao cho , 풏휶 cùng phương, với 풏휶 là vectơ pháp tuyến của 휶 . •Viết phương trình đường thẳng 휟 đi qua điểm và có vectơ chỉ phương 풅 = 풏휶. 1 ∆ 풏훼 2 훼
18. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = −1 + 2푡 −1 +2 Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng : = = và : ቐ = 1 + 푡 . Viết phương 1 2 −1 1 2 = 3 trình đường thẳng vuông góc với 푃 : 7 + − 4 = 0 và cắt hai đường thẳng 1, 2. Lời giải • Gọi là đường thẳng cần tìm và gọi = ∩ 1, = ∩ 2. • Do ∈ 1 ⇒ 2 ; 1 − ; −2 + , ∈ 2 ⇒ −1 + 2 ; 1 + ; 3 ⟹ = −2 + 2 − 1; + ; − + 5 . • 푃 có vectơ pháp tuyến 푛푃 = 7; 1; −4 • Do ⊥ 푃 ⇔ , 푛 cùng phương ⇔ có một số thỏa = 푛 −2 + 2 − 1 = 7 −2 + 2 − 7 = 1 = 1 ⇔ ቐ + = ⇔ ቐ + − = 0 ⇔ ቐ = −2 − + 5 = −4 − + 4 = −5 = −1
19. ☺ Vậy phương trình của Made by Lê Văn Thuần d là x-27=y1=z+1-4 LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = −1 + 2푡 −1 +2 Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng : = = và : ቐ = 1 + 푡 . Viết phương 1 2 −1 1 2 = 3 trình đường thẳng vuông góc với 푃 : 7 + − 4 = 0 và cắt hai đường thẳng 1, 2. Lời giải Đường thẳng đi qua điểm 2; 0; −1 và có vectơ chỉ phương = 푛푃 = 7; 1 − 4 −2 +1 Vậy phương trình của là = = . 7 1 −4
20. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 81.Viết phương trình 풅 là hình chiếu vuông góc của 휟 lên mặt phẳng 푷 . Cách giải: Cách 1 +) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) (xem phần viết phương trình mp) ∆ 푸 • Vtpt của (Q) là : 풏푸 = ∆, 풏푷 +) Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mp (P) và (Q) 풏푷 • Vtcp của d là : 풅 = 풏푸, 풏푷 풅 풏 푷 푸
21. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 81.Viết phương trình 풅 là hình chiếu vuông góc của 휟 lên mặt phẳng 푷 . Cách 2 +) Tìm tọa độ giao điểm M của ∆ và (P) ∆ +) Chọn một điểm N trên ∆ (M khác N) +) Tìm hình chiếu của N trên (P). Gọi là H. +) Đường thẳng d đi qua 2 điểm M, H 푷
22. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 81.Viết phương trình 풅 là hình chiếu vuông góc của 휟 lên mặt phẳng 푷 . Cách 3 +) Chọn hai điểm phân biệt M, N trên ∆. +) Tìm hình chiếu của M và N trên (P). Gọi là H, K. ∆ +) Đường thẳng d đi qua 2 điểm H, K 퐾 풅 푷
23. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = 2 + 푡 Ví dụ 8. Cho đường thẳng ∆: ቐ = −3 + 2푡. Viết phương trình của đường = 1 + 3푡 thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của ∆ trên mặt phẳng . Lời giải • Trên đường thẳng ∆ chọn hai điểm 푴 ; − ; và 푵( ; − ; ퟒ). • Hình chiếu của M trên mp 푶풙풚 là 푯 ; − ; . • Hình chiếu của N trên mp 푶풙풚 là K ; − ; . • Vtcp của đường thẳng d đi qua H, K là: = 푯푲 = ; ; . 풙 = + 풕 • Phương trình đường thẳng d là: ቐ 풚 = − + 풕 . 풛 =
24. CHƯƠNG HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 12 III DẠNG 91.Viết phương trình 휟 là hình chiếu song song của 풅 lên mặt phẳng 휶 theo phương 풅′. Cách giải: •Viết phương trình mặt phẳng 휷 chứa 풅 và có thêm một véc tơ chỉ phương 풖풅′. •Viết phương trình đường thẳng 휟 là giao tuyến của hai mặt phẳng 휶 và 휷 . ∆ 퐾 풅 푷
25. Made by Lê Văn Thuần ☺ LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG = 1 + 2푡 Ví dụ 9. Cho đường thẳng d: ቐ = −2 + 4푡. Viết phương trình hình chiếu song song = 3 + 푡 +1 −6 −2 của lên mặt phẳng theo phương ∆: = = . −1 −1 1 Lời giải Đường thẳng ∆1, ∆2 có vtcp lần lượt là: = ; − ; , = ; ; Gọi giao điểm của d và ∆1 là M, khi đó 푴 풕; − 풕; − + 풕 Gọi giao điểm của d và ∆2 là N, khi đó 푵 − + 풖; + 풖; ⇒ 푴푵 = 풖 − 풕 − ; 풖 + 풕; − 풕 là một vtcp của d . Ԧ1 = 0 2 2 − 2푡 − 1 − + 푡 + (5 − 푡) = 0 3 − 6푡 = −3 = 1 ⇒ ൝ ⇒ ቊ ⇒ ቊ ⇒ ቊ . Ԧ2 = 0 2 2 − 2푡 − 1 + + 푡 = 0 5 − 3푡 = 2 푡 = 1 Phương trình đường thẳng d đi qua 푴( ; ; − ) 풙 − 풚 풛 + và có vtcp 푴푵 = (− ; ; ퟒ) là: = = − ퟒ