Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 32: Hệ tọa độ trong không gian

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 32: Hệ tọa độ trong không gian

1. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN LỚP HÌNH HỌC 12 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I Xác định tâm, bán kính mặt cầu II Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu III Viết phương trình mặt cầu IV Các bài toán cực trị liên quan đến điểm và mặt cầu
2. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I Xác định tâm, bán kính mặt cầu Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có phương trình: 2 + 2 + 2 + 2 − 6 − 6 = 0. Tìm tọa độ tâm I và bán kính 푅 của mặt cầu đó. A. 1; −3; 0 ; 푅 = 4. B. −1; 3; 0 ; 푅 = 4. C. −1; 3; 0 ; 푅 = 16. D. 1; −3; 0 ; 푅 = 16. Bài giải Chọn B. Tâm −1; 3; 0 , bán kính 푅 = −1 2 + 32 + 02 − −6 = 4.
3. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I Xác định tâm, bán kính mặt cầu Câu 2 Trong không gian , cho mặt cầu 푆 : 2 + 2 + 2 + 2 + 4 − 2 − = 0. Tìm để bán kính của mặt cầu bằng 4. A. = 10. B. = 4. C. = 2 3. D. = 10. Bài giải Chọn D. Ta có phương trình mặt cầu 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0 thì bán kính tính theo công thức 푅 = 2 + 2 + 2 − . Suy ra 푅 = 12 + 22 + 12 + = 4 ⇔ = 10.
4. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I Xác định tâm, bán kính mặt cầu Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ , cho −1; 0; 0 , 0; 0; 2 , 0; −3; 0 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14. 3 4 2 Bài giải Cách 1: Tìm phương trình mặt cầu suy ra bán kính. Cách 2: Sử dụng công Gọi phương trình mặt cầu 푆 ngoại tiếp tứ diện là: thức tính bán kính mặt 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 2 + = 0. cầu ngoại tiếp của tứ Do 푆 đi qua bốn điểm , , , nên ta có diện vuông. 1 = − 1 + 2 + = 0 2 1 4 − 4 + = 0 3 2 2 2 ⇔ = − . 푅 = + + 9 + 6 + = 0 2 2 = 1 1 14 = 0 = 1 + 4 + 9 = . = 0 2 2 14 Suy ra bán kính của 푆 là: 푅 = 2 + 2 + 2 − = . Chọn C. 2
5. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I Xác định tâm, bán kính mặt cầu Câu 4 Trong không gian , tìm tất cả các giá trị của để phương trình 2 + 2 + 2 + 4 − 2 + 2 + = 0 là phương trình của một mặt cầu. A. ≤ 6. B. 6. D. ≥ 6. Bài giải Chọn B. Ta có 2 + 2 + 2 + 4 − 2 + 2 + = 0 là phương trình của một mặt cầu ⇔ 2 + 2 + 2 − > 0 ⇔ 22 + −1 2 + 12 − > 0 ⇔ < 6.
6. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu có phương trình nào sau đây đi qua gốc tọa độ? A. 2 + 2 + 2 + 2 − 4 − 2 = 0. B. 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 2 = 0. C. 2 + 2 + 2 + 2 + 6 = 0. D. 2 + 2 + 2 + 2 − 4 + 6 − 2 = 0. Bài giải Chọn C. Phương trình 푆 : 2 + 2 + 2 + 2 + 6 = 0 thiếu hệ số tự do nên mặt cầu 푆 đi qua gốc tọa độ .
7. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu Câu 6 Trong không gian , cho mặt cầu 푆 : − 1 2 + − 2 2 + − 3 2 = 9. Điểm nào sau đây nằm ngoài mặt cầu 푆 ? A. −1; 2; 5 . B. 0; 3; 2 . C. 푃 −1; 6; −1 . D. 푄 2; 4; 5 . Bài giải Chọn C. Mặt cầu 푆 có tâm 1; 2; 3 , bán kính 푅 = 3. Xét điểm 푃 −1; 6; −1 , ta có 푃 = −2; 4; −4 . Suy ra 푃 = 4 + 16 + 16 = 6 > 푅. Do đó điểm 푃 nằm ngoài mặt cầu 푆 .
8. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu Câu 7 Trong không gian , cho mặt cầu 푆 : 2 + 2 + 2 − 6 − 4 − 2 = 0. Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu 푆 ? A. 0; 1; −1 . B. 0; 3; 2 . C. 푃(−1;6;−1). D. 푄 1; 2; 0 . Bài giải Chọn A. Mặt cầu 푆 có tâm 3; 2; 1 , bán kính 푅 = 14. Xét điểm 0; 1; −1 , ta có = −3; −1; −2 . Suy ra = 9 + 1 + 4 = 14 = 푅. Do đó điểm thuộc mặt cầu 푆 .
9. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II Vị trí tương đối của điểm với mặt cầu Câu 8 Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu 푆 : 2 + − 1 2 + − 2 2 = 25. Điểm nào sau đây nằm bên trong mặt cầu 푆 ? A. 3; −2; −4 . B. 0; −2; −2 . C. 푃 3; 5; 2 . D. 푄 1; 3; 0 . Bài giải Chọn D. Mặt cầu 푆 có tâm 0; 1; 2 , bán kính 푅 = 5. Xét điểm 푄, ta có 푄 = 1; 2; −2 . Suy ra 푄 = 1 + 4 + 4 = 3 < 푅. Do đó điểm 푄 nằm bên trong mặt cầu 푆 .
10. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III Viết phương trình mặt cầu Câu 9 Trong không gian , mặt cầu tâm −2; 1; 1 qua điểm 0; −1; 0 là 2 2 2 A. + + 1 + = 9. B. − 2 2 + + 1 2 + + 1 2 = 9. 2 2 2 C. + 2 + − 1 + − 1 = 9. D. 2 + − 1 2 + 2 = 9. Bài giải Chọn C. 2 2 2 Ta có = 2 ; − 2 ; − 1 ⇒ = 2 + −2 + −1 = 3 . Do mặt cầu tâm −2; 1; 1 qua điểm 0; −1; 0 nên bán kính là 푅 = = 3. Vậy mặt cầu cần tìm có tâm −2; 1; 1 và bán kính 푅 = 3 nên phương trình là + 2 2 + − 1 2 + − 1 2 = 9.
11. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III Viết phương trình mặt cầu Câu 10 Trong không gian , cho hai điểm 6; 2; −5 , −4; 0; 7 . Viết phương trình mặt cầu đường kính ? A. − 1 2 + − 1 2 + − 1 2 = 62. B. − 5 2 + − 1 2 + + 6 2 = 62. C. + 1 2 + + 1 2 + + 1 2 = 62. D. + 5 2 + + 1 2 + − 6 2 = 62. Bài giải Chọn A. Mặt cầu đường kính nhận trung điểm 1; 1; 1 của đoạn thẳng làm tâm và có bán kính 푅 = = 6 − 1 2 + 2 − 1 2 + −5 − 1 2 = 62. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là − 1 2 + − 1 2 + − 1 2 = 62.
12. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III Viết phương trình mặt cầu Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ , mặt cầu 푆 có tâm 2; 1; −1 , tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ . Phương trình của mặt cầu 푆 là A. + 2 2 + + 1 2 + − 1 2 = 4. B. − 2 2 + − 1 2 + + 1 2 = 1. C. − 2 2 + − 1 2 + + 1 2 = 4. D. + 2 2 + − 1 2 + + 1 2 = 2. Bài giải Chọn C. Bán kính mặt cầu: 푅 = , = = 2. Phương trình của mặt cầu 푆 là: − 2 2 + − 1 2 + + 1 2 = 4.
13. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III Viết phương trình mặt cầu Câu 12 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm 1; 1; 2 , 3; 2; −3 . Mặt cầu 푆 có tâm thuộc và đi qua hai điểm , có phương trình. A. 2 + 2 + 2 − 8 + 2 = 0. B. 2 + 2 + 2 + 8 + 2 = 0. C. 2 + 2 + 2 − 4 + 2 = 0. D. 2 + 2 + 2 − 8 − 2 = 0. Bài giải Chọn A. Gọi ; 0; 0 ∈ ⇒ 1 − ; 1; 2 , 3 − ; 2; −3 . Do 푆 đi qua hai điểm , nên = ⇔ 1 − 2 + 5 = 3 − 2 + 13 ⇔ 4 = 16 ⇔ = 4 . ⇒ 푆 có tâm 4; 0; 0 , bán kính 푅 = = 14. ⇒ 푆 : − 4 2 + 2 + 2 = 14 ⇔ 2 + 2 + 2 − 8 + 2 = 0.
14. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III Viết phương trình mặt cầu Câu 13 Trong không gian , cho điểm 1; −2; 3 . Viết phương trình mặt cầu tâm , cắt trục tại hai điểm và sao cho = 2 3. A. − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 16. B. − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 20. C. − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 25. D. − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 9. Bài giải Chọn A. Gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục . 1 ⇒ 1; 0; 0 ⇒ = 13. Mà = = 3. 2 Nên bán kính mặt cầu cần tìm là 푅 = = 2 + 2 = 4. Phương trình mặt cầu cần tìm là: − 1 2 + + 2 2 + − 3 2 = 16.
15. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN IV Các bài toán cực trị liên quan đến điểm và mặt cầu Câu 14 Trong không gian , cho mặt cầu 푆 : + 2 2 + − 1 2 + − 2 2 = 9 và điểm thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng bằng A. 3. B. 6. C. 9. D. 12. Bài giải Chọn B. Từ phương trình 푆 ta có bán kính 푅 = 3. Dễ thấy 0; 0; 0 thuộc 푆 . Mà thay đổi trên mặt cầu, do đó lớn nhất khi là đường kính của 푆 . Vậy giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng là 2푅 = 2.3 = 6.
16. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN IV Các bài toán cực trị liên quan đến điểm và mặt cầu Câu 15 Trong không gian , cho mặt cầu 푆 : − 1 2 + − 2 2 + + 1 2 = 9 và hai điểm 4; 3; 1 , 3; 1; 3 ; là điểm thay đổi trên 푆 . Gọi , 푛 là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cảu biểu thức 푃 = 2 2 − 2. Xác định − 푛 . A. 64. B. 48. C. 68. D. 60. Bài giải Chọn D. Mặt cầu 푆 có tâm 1; 2; −1 và bán kính 푅 = 3. Lấy điểm sao cho 2 − = 0 ⇔ 5; 5; −1 . Dễ thấy điểm là điểm ngoài của 푆 . 2 2 Khi đó 푃 = 2 2 − 2 = 2 − − − = 2 + 2 2 − 2. 푃 lớn nhất và nhỏ nhất khi và chỉ khi lớn nhất và nhỏ nhất. max = + 푅 = 8, min = − 푅 = 2. Do đó = max 푃 = 64 + 2 2 − 2, 푛 = min 푃 = 4 + 2 2 − 2. Suy ra − 푛 = 60.
17. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG