Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 33: Phương trình mặt phẳng

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 33: Phương trình mặt phẳng

1. LỚP 12 HÌNH HỌC Chương 4: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN §2. Phương trình mặt phẳng I VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. I VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Định nghĩa : Cho mặt phẳng 훼 . Nếu véc tơ 푛 khác 0 có giá vuông góc với 훼 thì được gọi là véc tơ pháp tuyến của 훼 n Nhận xét : Nếu véc tơ 푛 là VTPT của 훼 thì k푛 ( ∈ 푅∗) cũng là VTPT của 훼 α
3. I VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Chú ý: Nếu hai véc tơ Ԧ, b không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng 훼 thì 푛 = [ Ԧ, b] là VTPT của mặt phẳng 훼 • Tích có hướng của hai véc tơ a Ԧ( 1; 2; 3) b ( 1; 2; 3) n 푛 = Ԧ, b = 2 3 ; 3 1 ; 1 2 2 3 3 1 1 2 = 2 3− 2 3; 3 1− 3 1; 1 2− 1 2 α
4. I VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Chú ý: Nếu hai véc tơ Ԧ, b không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng 훼 thì 푛 = [ Ԧ, b] là VTPT của mặt phẳng 훼 • Tích có hướng của hai véc tơ Ԧ( ; ; ) 1 2 3 n ( 1; 2; 3) B A 2 3 3 1 1 2 푛 = Ԧ, b = ; ; 2 3 3 1 1 2 α C = 2 3− 2 3; 3 1− 3 1; 1 2− 1 2 • Cho mp 훼 đi qua 3 điểm , , . Khi đó mp 훼 có một VTPT là 푛 = ,
5. I VÉC TƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG Ví dụ 1 : Trong không gian cho 3 điểm không thẳng hàng A 0; 1; 2 , 1; −1; 1 , −4; 3; 2 a) Tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm , , Giải • Ta có = ( 1; −2; −1) 1 = −4; 2 ; 0 -4 ⇒ 푃 푛 = , = 2; 4; −6
6. II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Trong không gian cho mặt phẳng 훼 qua điểm 0 0; 0; 0 và có VTPT 푛 = ; ; . Với ; ; bất kỳ ∈ 훼 ⇔ 푛. 0 = 0 z M ⇔ − 0 + − 0 + − 0 = 0(1) ⇔ + + − − − = 0 n 0 0 0 α ⇔ + + +− ( 0+ 0 + 0) == 00 (2) M0 D = −( 0+ 0 + 0 ) O Với ቊ 2 2 2 + + ≠ 0 y x Định nghĩa: Phương trình (2) được gọi là phương trình tổng quát của mp 훼 nhận 푛 = ; ; làm véc tơ pháp tuyến.
7. Ví dụ 1 : Trong không gian cho 3 điểm không thẳng hàng A 0; 1; 2 , 1; −1; 1 , −4; 3; 2 a) Tìm tọa độ một VTPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm , , b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng 훼 Giải: Nhắc lại câu a = ( 1; −2; −1) = −4; 2 ; 0 ⇒ 푃 푛 = , = 2; 4; −6 푃 2; 4; −6 Giải câu b: mp(훼) ቊ 푄 A 0; 1; 2 훼 : 2 − 0 + 4 − 1 − 6 − 2 = 0 Thu gọn ta được + 2 − 3 + 4 = 0
8. III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Trong không gian cho 푄 : − 3 + 1 = 0. Tọa độ một VTPT của mặt phẳng 푄 là A. 1; −3; 1 B. −3; 1; 0 C. 1; −3; 0 D. −2; 6; −2
9. III CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Trong không gian , phương trình nào sau đây không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng A. 2 − = 0 B. + 1 = 0 C. + 2 − 1 − − 2 = 0 D. + 2 + 3 − 4 = 0 Bài giải Chọn D. Nếu A = 0 Vi phạm điều kiện VTPT khác véc tơ 0 . Muốn câu D đúng thì phải thêm điều kiện ≠ 0, khi đó VTPT là (1; 2; 3)
10. CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
11. Dạng 1: Tìm VTPT của mặt phẳng Câu 1 Trong không gian cho 푄 : 3 + 1 = 0. Tọa độ một VTPT của mặt phẳng 푄 là A. ( ; ; ) B. ( ; ; ) C. ( ; ; ) D. ( ; ; )
12. Dạng 1: Tìm VTPT của mặt phẳng CâuCâu 22 Số phức nghịch đảo của số phức = 1 + 3𝑖 là : Trong không gian cho 푄 : − + 3 + 2 + 1 = 0. Tọa độ một A. − 풊 B. − 풊. C. + 풊 . D. + 풊 . VTPT của mặt phẳng 푄 là A. ( ; ; ) B. ( ; ; ) C. ( ; − ; −ퟒ) D. (− ; ; )
13. Dạng 1: Tìm VTPT của mặt phẳng Câu 3 Trong không gian , tọa độ một VTPT của mặt phẳng chứa (0; 2; 1) và song song Ԧ(−1; 2; 3) Tìm một VTPT của mặt phẳng đi qua 3 điểm , , A. 2; 1; −4 . B. −4; 1; 2 . C. 1; −4; 2 . D. 1; 2; −4 . Bài giải Chọn B. 0; 2; 1 Ԧ(−1; 2; 3) ⇒ 푃 푛 = , Ԧ = 4; −1; 2
14. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG BIẾT MỘT ĐIỂM VÀ MỘT VTPT Câu 4 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm (−1; 2; 0) và có VTPT Ԧ(2; 2; −4) A. 2 + 2 − 4 + 4 = 0. B. − − + − 2 = 0. C. + − 2 + 2 = 0. D. 2 + 2 − 4 + 2 = 0. Bài giải Chọn D. 푃 Ԧ(2; 2; −4) Ta có: ቊ 푞 (−1; 2; 0) 2 + 2 − 4 + 2 = 0
15. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG BIẾT MỘT ĐIỂM VÀ MỘT VTPT Câu 5 Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng qua điểm (−1; 0; 2) và vuông góc với Ԧ(2; 4; −6) A. 2 + 4 − 6 + 5 = 0. B. − − 2 − 3 + 5 = 0. C. + 2 − 3 + 5 = 0. D. + 2 − 3 + 10 = 0. Bài giải Chọn C. 푃 Ԧ(2; 4; −6) Ta có: ቊ 푞 (−1; 0; 2) 2 + 4 − 6 + 10 = 0 ⇔ + 2 − 3 + 5 = 0
16. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ, ỨNG DỤNG Câu 6 Trong không gian Oxyz , tích có hướng của Ԧ 2; −1; 1 và 4; 0; 2 là A. 2; 0; 4 . B. 4; 0; −2 . C. −2; 4; 0 . D. −2; 0; 4 . Bài giải Chọn D. Ta có: Ԧ 2; −1; 1 4; 0; 2 Ԧ Ԧ, = −2; 0; 4
17. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ, ỨNG DỤNG Câu 7 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D( 1 ; 1 ; 1). Chọ câu trả lời đúng trong các đáp án sau A. A,B,C,D cùng nẳm trên một mặt phẳng. B. , = −2; 0; 4 . C. A,B,C,D tạo thành một tứ diện. D. , = 0. Bài giải Chọn C. Ta có: 0; 1; −2 Nhắc lại : bốn điểm A,B,C,D cùng 4; 0; 2 ; 0; 1; −1 nẳm trên một mặt phẳng thì , = 2; −8; −4 loại B , 푪 . 푫 = hay , 푪푫 = , . = −4 ≠ 0 Chọn C
18. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ, ỨNG DỤNG Câu 8 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 2), B(1 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D( 1 ; 1 ; 1). Thể tích tứ diện ABCD là 2 1 1 A. . B. . C. 4. D. . 3 24 24 Bài giải Chọn A. Ta có: 0; 1; −2 Nhắc lại : Thể tích tứ diện 퐕 = , 푪 . 푫 4; 0; 2 ; 0; 1; −1 , = 2; −8; −4 1 2 = , . = (đ푣푡푡) 6 3
19. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Câu 9 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình 푆 : + 3 2 + − 4 2 + − 5 2 = 16 . Khẳng định nào sau đây đúng A. (S) tiếp xúc với mặt phẳng Oxy . B. (S) tiếp xúc với mặt phẳng Ox . C. (S) tiếp xúc với mặt phẳng Oyz . D. (S)cắt tất cả các mặt phẳng Oxy , , ( ). Bài giải Chọn B. Nhắc lại : â (−3; 4; 5) 푆 : ൜ ∗(S) tiếp xúc với mặt phẳng P ℎ𝑖 á푛 í푛ℎ 푅 = 2 푡â ặ푡 ầ , (푃) =R , ( ) = 5 > 푅 ⇒ không có điểm chung ∗(S) tiếp cắt mặt phẳng P ℎ𝑖 , ( ) = 4 = 푅 ⇒ tiếp xúc 푡â ặ푡 ầ , (푃) R
20. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Câu 10 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình 푆 : + 3 2 + − 5 2 + − 7 2 = 4 và mặt phẳng P : x − y + z + 4 = 0. Biết Mặt cầu cắt mặt phẳng theo một đường tròn . Chu vi đường tròn bằng A. 2 . B. 4 . C. 6 D. 8 . Bài giải Chọn A. â (−3; 5; 7) 푆 : ൜ 푃 : 푃 푛 = (1; −1; 1) á푛 í푛ℎ 푅 = 2 −3 − 5 + 7 + 4 A , ( ) = = 3 R 12 + (−1)2+12 d ⇒ = 푅2 − 2 = 1 ⇒ 푣 푡 = 2 = 2 r
21. ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG Câu 11 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng 푃 : 2 − 3 + + 1 = 0. Điểm nào sau đây thuộc 푃 A. −3; 0; 2 . B. 0; 0; −1 . C. −1; 1; 1 . D. −3; 1; 2 . Bài giải Chọn B. Nhắc lại: Thay lần lượt các điểm vào (P) ta thấy điểm B Điểm ( 0; 0; 0 푡ℎ ộ mặt thỏa phẳng 푃 : + + + = 0 khi + + + = 0 2.0 − 3.0 − 1 + 1 = 0 0 0 0
22. ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG Câu 12 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm 1,0,2 푣à (−1; 1; 1) . Mặt phẳng nào sau đây chứa A 푣à A. − − 2 + 3 − 5 = 0. B. + + 3 − 7 = 0. C. − + + 3 − 5 = 0. D. − + 3 − 1 = 0. Bài giải Chọn C. Nhắc lại: Thay diểm A lần lượt các đáp án, loại D. Điểm ( 0; 0; 0 푡ℎ ộ mặt Tiếp tục thay điểm B vào 3 đáp án còn lại, phẳng 푃 : + + + = 0 chọn C khi 0 + 0 + 0 + = 0
23. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN Câu 13 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm 1,0,0 ; 0; −2; 0 ; (0; 0; 5) . Mặt phẳng đi qua 3 điểm A có phương trình A. − 2 + 5 = 0. B. − 2 + 5 − 1 = 0. C. + + = 0. D. + + = 1. 1 −2 5 1 −2 5 Bài giải Chọn D. Nhắc lại , 0,0 ∈ ; 0; ; 0 ∈ ; 0; 0; ∈ . Mặt phẳng đi qua 3 điểm A có phương trình + + = 1.
24. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG THEO ĐOẠN CHẮN Câu 14 Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua G 1,2,3 và cắt các trục ; ; tại điểm A , , với G là trọng tâm tam giác A có phương trình A. + 2 + 3 = 0. B. + + = 1. 1 2 3 C. + + = 0. D. + + = 1. 1 2 3 3 6 9 Bài giải Chọn D. , 0,0 ∈ ; 0; ; 0 ∈ ; 0; 0; ∈ + + = 3 = 3 푃 : + + = 1 ⇔ ൞ + = 3 ⇔ ቐ = 6 + G là trọng tâm tam giác A + + = 3 = 9 (푃) + + = 1. 3 6 9
25. DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG VÀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG