Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 37: Phương trình mặt phẳng

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 37: Phương trình mặt phẳng

1. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (tiết 37) I LÍ THUYẾT CẦN NHỚ II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
2. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I LÍ THUYẾT CẦN NHỚ 1. Trong không gian cho điểm 0; 0; 0 và mặt phẳng 푃 : + + + = 0. Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 푃 là: + + + , 푃 = 0 0 0 2 + 2 + 2 2. Cho mặt phẳng 푃 : + + + = 0 và mặt cầu : − 2 + − 2 + − 2 = 푅2. Khi đó mặt cầu có tâm ; ; và bán kính 푅 +) Nếu , 푃 > 푅 suy ra 푃 và không có điểm chung. +) Nếu , 푃 = 푅 suy ra 푃 và tiếp xúc nhau. +) Nếu , 푃 < 푅 suy ra 푃 và cắt nhau.
3. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1 Trong không gian cho mặt phẳng 푃 : − 2 + 2 − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng 푄 song song và cách mặt phẳng 푃 một khoảng bằng 5. Bài giải Vì mặt phẳng 푄 song song với mặt phẳng 푃 : − 2 + 2 − 1 = 0 nên ta có thể đặt: 푄 : − 2 + 2 + = 0 Dễ thấy điểm 1; 0; 0 thuộc mặt phẳng 푃 Mặt phẳng 푄 cách mặt phẳng 푃 một khoảng bằng 5 . suy ra , 푄 = 푃 , 푄 = 5. 푃 1 − 2.0 + 2.0 + ⇒ = 5 ⇒ 1 − = 15 ⇒ = 16 hoặc = −14 2 2 2 1 + −2 + 2 푄 Vậy 푄 : − 2 + 2 + 16 = 0 hoặc 푄 : − 2 + 2 − 14 = 0
4. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 2 Trong không gian cho hai mặt phẳng 푃 : 3 − + 4 + 2 = 0 và 푄 : 3 − + 4 + 8 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng 푅 song song và cách đều hai mặt phẳng 푃 và 푄 . Bài giải Vì mặt phẳng 푅 song song với mặt phẳng 푃 : 3 − + 4 + 2 = 0 nên ta có thể đặt 푅 : 3 − + 4 + = 0. Dễ thấy điểm A 0; ; 0 ∈ 푅 nên theo giả thiết: 3.0 − + 4.0 + 2 3.0 − + 4.0 + 8 , 푃 = , 푄 ⇒ = 32 + −1 2 + 42 32 + −1 2 + 42 ⇒ = 5 ⇒ 푅 : 3 − + 4 + 5 = 0
5. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 3 Trong không gian cho mặt phẳng 푃 : 2 − + 2 + 1 = 0 và mặt cầu : − 1 2 + − 2 2 + − 3 2 = 4. Hãy xét vị trí tương đối giữa 푃 và Bài giải Dễ thấy mặt cầu có tâm 1; 2; 3 và bán kính 푅 = 2. Khoảng cách từ đến mặt phẳng 푃 là 2.1 − 2 + 2.3 + 1 7 , 푃 = = > 푅 = 2 22 + −1 2 + 22 3 Vậy suy ra 푃 và không có điểm chung.
6. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 4 Trong không gian cho mặt phẳng 푃 : 2 − + 2 + 6 = 0 và mặt cầu : − 1 2 + − 2 2 + − 3 2 = 25. Biết 푃 và cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. Bài giải Dễ thấy mặt cầu có tâm 1; 2; 3 và bán kính 푅 = 5. 2.1−2+2.3+6 Khoảng cách từ đến mặt phẳng 푃 là d , 푃 = = 4 22+ −1 2+22 Gọi A là một điểm thuộc giao của 푃 và , H là tâm đường tròn chung của 푃 và . Có = 5 và = 4 suy ra = 2 − 2 = 3. Vậy bán kính đường tròn cần tìm là 3.
7. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 5 Trong không gian cho mặt phẳng 푃 : + 2 − 2 − 1 = 0. Viết phương trình mặt cầu tâm 1; −1; 2 và tiếp xúc với 푃 . Bài giải Dễ thấy mặt cầu có tâm 1; −1; 2 và bán kính 푅 = d , 푃 = 2. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: : − 1 2 + + 1 2 + − 2 2 = 4.
8. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 6 −3 −1 −1 Có bao nhiêu mặt cầu 푆 có tâm thuộc đường thẳng ∆: = = 2 −1 −2 đồng thời tiếp xúc với hai mặt phẳng 푃 : 2 + 2 + − 6 = 0 và 푄 : − 2 + 2 = 0 ? Bài giải − 3 − 1 − 1 = 3 + 2푡 Phương trình tham số của đường thẳng ∆ là: = = ቐ = 1 − 푡 2 −1 −2 = 1 − 2푡 Gọi là tâm mặt cầu 푆 suy ra 3 + 2푡; 1 − 푡; 1 − 2푡 . Vì mặt cầu 푆 tiếp xúc với hai mặt phẳng 푃 và 푄 nên 2 3 + 2푡 + 2. 1 − 푡 + 1 − 2푡 − 6 3 + 2푡 − 2. 1 − 푡 + 2 1 − 2푡 , 푃 = , 푄 = 22 + 22 + 12 12 + −2 2 + 22 3 3 = (luôn đúng). Vậy có vô số mặt cầu thỏa mãn yêu cầu đề bài. 3 3
9. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 7 Cho hai điểm 3; 5; −1 , B 1; 1; 3 . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho + nhỏ nhất? Bài giải Gọi là trung điểm của suy ra + = 2 và B 2; 3; 1 Đặt P = + = 2 = 2 Vậy 푃 nhỏ nhất khi nhỏ nhất. Có thuộc nên nhỏ nhất khi là hình chiếu vuông góc của 2; 3; 4 trên . Suy ra 2; 3; 0 .
10. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 8 Trong không gian cho điểm 2; 1; 3 và mặt phẳng 푃 : + + 2 + 1 − − 2 = 0, là tham số. Gọi ; ; là hình chiếu vuông góc của điểm trên 푃 . Tính + khi khoảng cách từ điểm đến 푃 lớn nhất? Bài giải Ta có + + 2 + 1 − − 2 = 0 ⇔ + 2 − 1 + + − 2 = 0 ∗ + 2 − 1 = 0 Phương trình ∗ có nghiệm với ∀ ⇔ ቊ . + − 2 = 0 = 2 − 푡 Suy ra 푃 luôn đi qua đường thẳng : ቐ = 1 − 2푡. = 푡
11. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài giải 퐾 ∈ ⇒ 퐾 2 − 푡; 1 − 2푡; 푡 , 퐾 −푡; −2푡; 푡 − 3 Đường thẳng có VTCP = −1; −2; 1 . 1 3 1 Theo giả thiết có 퐾. = 0 ⇔ 푡 + 4푡 + 푡 − 3 = 0 ⇔ 푡 = ⇒ 퐾 ; 0; 2 2 2 3 Ta có ≤ 퐾 ⇒ = 퐾 ⇔ ≡ 퐾. Vậy + = . max 2
12. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài 9 −8 4 8 Trong không gian , cho hai điểm 2; 2; 1 , ; ; . Viết phương trình mặt cầu 3 3 3 có tâm là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác và tiếp xúc với mặt phẳng . Bài giải Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . Ta áp dụng bài toán (*) sau: “Cho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp, ta có . + . + . = 0, với = , = , = ”. Ta có: 2 2 2 −8 4 8 = 22 + 22 + 12 = 3, = + + = 4 . 3 3 3 2 2 2 −8 4 8 = − 2 + − 2 + − 1 = 5 3 3 3
13. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Bài giải Áp dụng bài toán (*) ta có: 8 5.0 + 4.2 + 3. − 3 = = 0 3 + 4 + 5 4 5. + 4. + 3. = 0 ⇔ 5.0 + 4.2 + 3. = 3 = 1 3 + 4 + 5 8 5.0 + 4.2 + 3. = 3 = 1 3 + 4 + 5 Mặt phẳng có phương trình = 0. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên mặt cầu có bán kính 푅 = , = 1. Vậy phương trình mặt cầu là 2 + − 1 2 + − 1 2 = 1.
14. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
15. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm −2; 3; 4 , 8; −5; 6 . Hình chiếu vuông góc của trung điểm của đoạn trên mặt phẳng là điểm nào dưới đây. A. 0; −1; 5 . B. 푄 0; 0; 5 . C. 푃 3; 0; 0 . D. 3; −1; 5 . Bài giải Chọn A Tọa độ trung điểm của là 3; −1; 5 . Vậy hình chiếu của trên mặt phẳng là 0; −1; 5 .
16. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu 푆 có đường kính , với 6; 2; −5 , −4; 0; 7 . Viết phương trình mặt phẳng 푃 tiếp xúc với mặt cầu 푆 tại . A. 푃 : 5 + – 6 + 62 = 0. B. 푃 : 5 + – 6 − 62 = 0. C. 푃 : 5 − – 6 − 62 = 0. D. 푃 : 5 + + 6 + 62 = 0. Bài giải Chọn B Mặt phẳng 푃 đi qua điểm 6; 2; −5 và nhận véc-tơ = −10; −2; 12 = −2 5; 1; −6 làm véc-tơ pháp tuyến nên có phương trình: 5. − 6 + 1. − 2 − 6. + 5 = 0 ⇔ 5 + − 6 − 62 = 0.
17. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng 푃 : − 2 + 2 − 2 = 0 và điểm −1; 2; −1 . Viết phương trình mặt cầu 푆 có tâm và cắt mặt phẳng 푃 theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5. A. 푆 : + 1 2 + − 2 2 + + 1 2 = 25. B. 푆 : + 1 2 + − 2 2 + + 1 2 = 16. C. 푆 : − 1 2 + + 2 2 + − 1 2 = 34. D. 푆 : + 1 2 + − 2 2 + + 1 2 = 34. Bài giải Chọn D −1−4−2−2 = , 푃 = = 3. 3 푅2 = 2 + 2 = 9 + 25 = 34. Vậy 푆 : + 1 2 + − 2 2 + + 1 2 = 34.
18. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Trong không gian , cho điểm 2; 1; 1 . Gọi 푃 là mặt phẳng đi qua và cắt các trục tọa độ tại , , sao cho là trực tâm tam giác . Phương trình mặt phẳng 푃 là A. 2 + + − 6 = 0. B. + 2 + − 6 = 0. C. + 2 + 2 − 6 = 0. D. 2 + + + 6 = 0. Bài giải Chọn A Giả sử ; 0 ; 0 ∈ , 0 ; ; 0 ∈ , 0 ; 0 ; ∈ Khi đó mp 푃 có dạng: + + = 1. . Ta có = 2 − ; 1 ; 1 , = 2 ; 1 − ; 1 , = 0 ; − ; , = − ; 0 ; . 2 1 1 + + = 1 = 3 Do là trực tâm tam giác nên: ൞ − + = 0 ⇔ ቐ = 6. Suy ra 푃 là: + + = 1 = 6 3 6 6 −2 + = 0 ⇔ 2 + + − 6 = 0.
19. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG