Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 39: Phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 39: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN LỚP 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG 표푛𝑔 ℎô푛𝑔 𝑔𝑖 푛 , đườ푛𝑔 푡ℎẳ푛𝑔 ∆ đ𝑖 푞 đ𝑖ể 0 0; 0; 0 và nhận = a; b; là VTCP = 0 + 푡 M ; ; ∈ Δ khi và chỉ khi có một số thực t sao cho ቐ = 0 + 푡 = 0 + 푡 = 0 + 푡  Phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng: ቐ = 0 + 푡 = 0 + 푡  Lưu ý : Nếu a, b, c đều khác 0 thì phương trình của đường thẳng ∆ có dạng − 0 − 0 − 0 chính tắc là: = =
3. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình tham số dạng: = 2푡 ቐ = −3 − 푡 = 2 + 4푡 Bài giải Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là = 2; −1; 4
4. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm (-2;1;-3) và (0;-3;4) Bài giải Đường thẳng đi qua điểm (-2;1;-3) và (0;-3;4) sẽ nhận = 2; −4; 7 là một vectơ chỉ phương.
5. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-2;1;-3) và có một vectơ chỉ phương = 2; −1; 2 . Bài giải Đường thẳng đi qua điểm A(-2;1;-3) và có một vectơ chỉ phương = 2; −1; 2 có = −2 + 2푡 phương trình tham số là: ቐ = 1 − 푡 = −3 + 2푡
6. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-3;1;0) và có VTCP vuông góc với hai vectơ = 1; −1; 0 ; 푣Ԧ = 0; 2; −4 Bài giải Đường thẳng d có VTCP 푤 = , 푣 = ( 4; 4; 2). Khi đó 푤′ = ( 2; 2; 1) cũng là 1 VTCP của d Đường thẳng d đi qua điểm A(-3;1;0) và nhận 푤′ = 2; 2; 1 là một vectơ chỉ phương. Vì vậy đường thẳng d có phương trình tham số là: = −3 + 2푡 ቐ = 1 + 2푡 = 푡
7. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d có dạng −3 +1 = = −2 3 −5 Bài giải Cách 1: Đường thẳng d đi qua điểm M (3;0;-1) sẽ nhận = −2; 3; −5 = 3 − 2푡 là một vectơ chỉ phương nên d có PTTS là: . ቐ = 3 푡 = −1 − 5푡 = 3 − 2푡 −3 +1 Cách 2: Đặt t= = = . Khi đó ta có ቐ = 3 푡 −2 3 −5 = −1 − 5푡
8. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 6: = 3 + 2푡 Tìm 5 điểm khác đểm (3;-1; 4) thuộc đường thẳng d: ቐ = −1 − 푡 = 4 + 푡 Bài giải Để tìm 5 điểm thuộc d, ta chọn 5 giá trị t thay vào pt. Mỗi giá trị của t tương ứng vớ một điểm thuộc d. Vậy 5 điểm khác đểm (3;-1; 4) thuộc đường thẳng d là: A (5;-2;5), B(1; 0; 3), C(-1; 1; 2), D(-3; 2; 1), E(9; -4; 7).
9. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 7: = 3 + 2푡 Cho điểm (2; - 1; - 1) và đường thẳng d có phương trình ቐ = −1 − 푡 = 4 + 푡 Tìm điểm thuộc d sao cho = 3 2 Bài giải Điểm thuộc d nên tọa độ có dạng (3 + 2푡; −1 − 푡; 4 + 푡) = 3 2 ⇔ 2 =18 ⇔ (1 + 2푡)2+(− 푡)2+(5 + 푡)2=18 ⇔ 6 푡2 + 14푡 + 8 = 0 4 ⇔ 푡 = −1 ℎ표ặ 푡 = − 3 1 1 8 Vậy có hai điểm thỏa mãn là 1; 0; 3 và ; ; 3 3 3
10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−+ 2 y 1 z LỚP == PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG và2 điểm−− 2A(–1; 10; 1). Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua đường thẳng d A. (1; 2; 3) B. (1; 2; 1) HÌNHC. (1; –2; 3) HỌC D. (0; 1;BÀI 1) 3 12 KHÔNG GIAN I CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 8: Xác định hình chiếu của điểm = 2; −3; 0 trên đường thẳng d có phương trình: −4 +4 −1 = = 1 −2 3 Bài giải Gọi là hình chiếu của điểm lên đường thẳng d. Khi đó ∈ nên (푡 + 4; −2푡 − 4; 3푡 + 1). Ta có ⊥ (với = (1; −2; 3) là VTCP của d ) . 1 Suy ra . = 0 ⇔ 1 푡 + 2 − 2 −2푡 − 1 + 3(3푡 + 1) = 0 ⇔. t = − 2 7 1 Vậy ( ; −3; − ). 2 2
11. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN I CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: −2 +1 = = 2 −2 −1 và điểm = −1; 0; 1 . Tìm tọa độ điểm đối xứng với qua đường thẳng d Bài giải Gọi là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d. Khi đó ∈ nên (2푡 + 2; −2푡 − 1; −푡). Ta có ⊥ (với = (2; −2; −1) là VTCP của d ) . Suy ra . = 0 ⇔ 2 2푡 + 3 − 2 −2푡 − 1 − (−푡 − 1) = 0 ⇔. t = −1 ⇒ (0; 1; 1). Điểm đối xứng với qua đường thẳng d thì là trung điểm của . Do đó (1; 2; 1)
12. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN I CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 10: Cho hai đường thẳng d: −2 và d’ = 3 + 2푡 = = : −2 1 1 ቐ = 1 − 푡 = 1 .Tìm điểm ; ; thuộc d và cách d’ một khoảng bé nhất. Tính P = 2a − 4b + c Bài giải Dễ dàng chỉ ra được d và d’ là hai đường thẳng chéo nhau. ∈ ⇔ −2 ; ; + 2 , ∈ 푅 Gọi là hình chiếu của lên d’. Khi đó (3 + 2푡; 1 − 푡; 1). Ta có ⊥ ( = 2; −1; 0 là VTCP của d’ ) nên . =0. Ta tìm được: 푡 = − − 1. 2 = (3 + 2푡 + 2 )2+(1 − 푡 − )2+(1 + )2 Thay 푡 = − − 1 ta được 2= 5 + ( + 1)2. đạt GTNN khi 2 đạt GTNN. Ta có 5 + ( + 1)2 ≥ 5. Dấu “=” xảy ra khi = −1 . Vậy 2; −1; 1 , 푃 = 9
13. CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
14. Oxyz , LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng 푃 : 2 + − − 3 = 0 và 푄 : + + − 1 = 0. Phương trình giao tuyến của mặt phẳng 푃 và 푄 là: −2 +1 +1 +2 −1 A : = = B : = = 2 −3 1 −2 3 −1 −1 +2 +1 +2 −1 C : = = D : = = 2 −3 1 2 −3 −1 Bài giải Chọn A. 푃 và 푄 có VTPT lần lượt là 푛 = 2; 1; −1 và = (1; 1; 1) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng 푃 và 푄 , có VTCP là Khi đó ቊ ⊥ 푛 ⇒ = 푛, = (2; −3; 1) . Từ đó loại đáp án D ⊥ Thay các điểm 0 ; 2 ; − 1 , − 1 ; − 2 ; 1 , ( 1 ; − 2 ; − 1 ) vào pt hai mặt phẳng ta được đáp án A thỏa mãn
15. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 2. Trong không gian , điểm nào sau đây thuộc đường thẳng x + 1 y − 2 z − 1 : = = −1 3 3 AA 푃(−1; 2; 1) B 푄(1; 2; −1) C (−1; −3; 2) D (5; 2; 1) Bài giải Chọn A. Thay tọa độ điểm 푃 vào phương trình đường thẳng , ta được: 0 0 0 = = (đúng) −1 3 3 Vậy điểm 푃 thuộc đường thẳng .
16. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 3. Trong không gian , mặt phẳng đi qua 0; 1; −1 và vuông − 5 + 2 − 1 góc với đường thẳng 훥: = = có phương trình là 2 2 1 A 2 + 2 + + 3 = 0. B − 2 − = 0. C 2 + 2 + − 1 = 0. D − 2 − − 2 = 0. Bài giải Chọn C. Gọi 푃 là mặt phẳng cần tìm. − 5 + 2 − 1 Vì 훥: = = nên 훥 có vectơ chỉ phương là 2; 2; 1 . 2 2 1 Vì đường thẳng 훥 vuông góc với mặt phẳng 푃 nên mp 푃 nhận 2; 2; 1 làm vectơ pháp tuyến. Mặt khác, mp 푃 đi qua 0; 1; −1 nên phương trình mp 푃 là : 2 − 0 + 2 − 1 + 1. + 1 = 0 ⇔ 2 + 2 + − 1 = 0.
17. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 4. Trong không gian , vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm 2; 3; −1 và 4; 5; 3 ? A 4 = 1; 1; 1 B 3 = 1; 1; 2 C 1 = 3; 4; 1 D 2 = 3; 4; 2 Bài giải Chọn B. Ta có = 2; 2; 4 , suy ra = 2. 3 Do đó 3 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .
18. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 5. −1 +1 Trong không gian , cho đường thẳng 훥: = = và hai điểm 2 −1 1 1; −1; 2 và 2; −1; 0 . Tìm điểm 푃 ∈ 훥 để tam giác 푃 vuông tại 푃. 푃(1; −1; 0) 푃(1; −1; 0) 푃(−1; −1; 0) 푃(1; 1; 1) A ൦ 7 −5 −2 BB ൦ −7 −5 2 C ൦ 7 5 −2 D ൦ 7 −5 −2 푃 ; ; 푃 ; ; 푃 ; ; 푃 ; ; 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Bài giải Chọn B. 푃 ∈ 훥 nên 푃 2푡 + 1; −푡 − 1; 푡 . Tam giác 푃 vuông tại 푃 nên 푃 . 푃 = 0 ⇔ 2푡; −푡; 푡 − 2 . (2푡 − 1; −푡; 푡) = 0 푡 = 0 푃(1; −1; 0) ⇔ ቎ 2 ⇔ ൦ −7 −5 2 푡 = 푃 ; ; 3 3 3 3
19. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CÂU 6. −1 −2 Trong không gian , cho đường thẳng 훥: = = và A 1; −1; 2 . 2 1 −1 Gọi ( ; ; ) thuộc đường thẳng 훥 để độ dài A ngắn nhất. Tính S = − + 3 A 푆 = −7 B 푆 = −5 CC 푆 = 5 D 푆 = 7 Bài giải Chọn C. ∈ 훥 nên H 2푡; 푡 + 1; −푡 + 2 . 2 = (2푡 − 1)2+(푡 + 2)2+(−푡)2= 6푡2 + 5 ≥ 5, ∀푡 ∈ 푅. A ngắn nhất khi 2 ngắn nhất. Khi đó 푡 = 0 . Suy ra 0; 1; 2
20. LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG HÌNH HỌC BÀI 3 12 KHÔNG GIAN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước phần II- ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU