Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 41: Phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 41: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III LỚP 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I. CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 1: Tính khoảng cách từ điểm ( ; ; ) đến đường thẳng ∆ đi qua điểm ( 0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương = ( 1; 2; 3). Cách giải Cách 1: Cách 2: - Viết ptmp 훼 chứa điểm A và - Tính 푛 = ; . vuông góc với ∆. 푛 - Tìm giao điểm của 훼 và ∆. - Tính , ∆ = . - Tính , ∆ = .
3. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1: −1 +1 −2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : = = , điểm 2; −1; 0 . Tính 2 1 −1 khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . Bài giải Cách 1: - Tọa độ giao điểm của và (훼) là nghiệm của - d có vtcp = 2; 1; −1 và đi qua (1; −1; 2). = 1 + 2푡 = 1 + 2푡 = −1 + 푡 - Phương trình tham số của là : ቐ = −1 + 푡 = 2 − 푡 = 2 − 푡 2 + − − 3 = 0 - Ptmp 훼 đi qua và vuông góc với là: 7 −1 4 - Như vậy ( ; ; ) 2 − 2 + 1 + 1 − 1 − 0 = 0 3 3 3 21 2 + − − 3 = 0 - , = =
4. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 1: −1 +1 −2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng : = = , điểm 2; −1; 0 . Tính 2 1 −1 khoảng cách từ điểm đến đường thẳng . Bài giải Cách 2: - d có vtcp = 2; 1; −1 và đi qua (1; −1; 2). - Ta có = 1; 0; −2 - Do đó 푛 = ; = 2; −3; 1 푛 21 - Vậy , = = 3
5. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (훼) song song với ∆. Biết 훼 : + + + = 0 và ∆ đi qua điểm ( 0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương = ( 1; 2; 3). Cách giải + + + Ta có ∆, 훼 = , 훼 = 0 0 0 2+ 2+ 2
6. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 2: +1 −3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : = = và mặt phẳng 2 4 3 훼 : 3 − 3 + 2 − 5 = 0. Biết song song với 훼 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và (훼). Bài giải Đường thẳng đi qua điểm −1; 3; 0 . Do song song với 훼 . 3 −1 −3.3+2.0−5 17 Nên ta có , 훼 = , 훼 = = 32+(−3)2+22 22
7. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Bài toán 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, trong đó: • ∆ đi qua điểm 0( 0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương = ( 1; 2; 3). ′ • ∆ đi qua điểm 1( 1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương 푣Ԧ = (푣1; 푣2; 푣3). Cách giải Cách 1: Cách 2: ′ - Lập ptmp 훼 chứa ∆ và song song với ∆ . - Tính 푛 = ; 푣Ԧ - Khi đó: - Tính = . 푛 ′ 0 1 ∆, ∆ = ( 1, 훼 ) - Ta có: ∆, ∆′ = 푛
8. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau = 1 + 푡 −3 −1 : ቐ = −1 − 푡 và ∆: = = −1 2 1 = 2 Cách giải Cách 1: có vtcp = 1; −1; 0 và đi qua (1; −1; 2). ∆ có vtcp 푣Ԧ = −1; 2; 1 và đi qua N(3; 1; 0). Gọi 훼 là mp chứa d và song song với ∆. (훼) có vtpt 푛 = ; 푣Ԧ = (−1; −1; 1). 훼 đi qua 1; −1; 2 và có vtpt 푛 = ; 푣Ԧ = (−1; −1; 1) nên có pt: −1 − 1 + −1 + 1 + 1 − 2 = 0 ⟺ − − + − 2 = 0. −3−1+0−2 Vậy , ∆ = , 훼 = = 2 3. (−1)2+(−1)2+12
9. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I CÁC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau = 1 + 푡 −3 −1 : ቐ = −1 − 푡 và ∆: = = . −1 2 1 = 2 Cách giải Cách 2: có vtcp = 1; −1; 0 và đi qua (1; −1; 2). ∆ có vtcp 푣Ԧ = −1; 2; 1 và đi qua N(3; 1; 0). Ta có: 푛 = ; 푣Ԧ = (−1; −1; 1); = (2; 2; −2) 푛. −6 Vậy , ∆ = = = 2 3. 푛 3
10. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III II.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương và đường thẳng ∆′ có vectơ chỉ phương 푣Ԧ. Gọi 휑 là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆′. .푣 Ta có: 표푠휑 = . . 푣 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương và mặt phẳng (훼) có vectơ pháp tuyến là 푛. Gọi 휑 là góc giữa hai đường thẳng ∆ và mặt phẳng (훼). .푛 Ta có: sin휑 = . . 푛
11. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I II.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Ví dụ 4: = 3 − 푡 +1 −2 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng : ቐ = 1 + 2푡 và ∆: = = . 1 −1 2 = −2 Tính cosin của số đo góc tạo bởi hai đường thẳng và ∆. Cách giải có vectơ chỉ phương là = (−1; 2; 0). ∆ có vectơ chỉ phương là 푣Ԧ = (1; −1; 2). Gọi 휑 là góc giữa hai đường thẳng và đường thẳng ∆. .푣 −1.1+2. −1 +0.2 3 Ta có: 표푠휑 = = = . . 푣 1+4+0 1+1+4 30
12. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III I II. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Ví dụ 5: = 1 − 푡 Trong không gian Oxyz tính số đo góc giữa đường thẳng : ቐ = 2 + 2푡 và mặt = 3 + 푡 phẳng 훼 : − + 3 = 0. Cách giải có vectơ chỉ phương là = (−1; 2; 1). (훼) có vectơ pháp tuyến là 푛 = (1; −1; 0). Gọi 휑 là góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng (훼). .푛 −1.1+2. −1 +1.0 3 Ta có: sin휑 = = = . 푛 1+4+1. 1+1+0 2 Vậy 휑 = 60표.
13. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
14. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 푃 : 2 − 2 − + 1 = 0 và −1 +2 −1 đường thẳng ∆: = = . Tính khoảng cách giữa ∆ và (푃). 2 1 2 5 2 1 A. = 2. B. = . C. = . D. = . 3 3 3 Chọn A. Bài giải (푃) có vtpt 푛 = (2; −2; −1) và đi qua (1; −2; 1) và có vtcp là = 2; 1; 2 . Ta có: 푛. = 0 nên ∆ song song (푃) hoặc ∆ chứa trong 푃 . Lấy thế vào (푃) không thỏa nên ∆ song song (푃). Nên ∆, 푃 = , 푃 = 2.
15. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 푃 : + + + 2 = 0 = 1 + 푡 và đường thẳng ∆: ቐ = 푡 . Tính khoảng cách giữa ∆ và (푃). = −2푡 3 2 3 A. = 2 3. B. = . C. = . D. = 3. 3 3 Chọn D. Bài giải (푃) có vtpt 푛 = (1; 1; 1) và đi qua (1; 0; 0) và có vtcp là = 1; 1; −2 . Ta có: 푛. = 0 nên ∆ song song (푃) hoặc ∆ chứa trong 푃 . Lấy thế vào (푃) không thỏa nên ∆ song song (푃). Nên ∆, 푃 = , 푃 = 3.
16. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng = 2 + 2푡 = 1 : ቐ = −1 + 푡 và ∆: ቐ = 1 + 푡. = 1 = 3 − 푡 2 5 4 A. . B. . C. 3. D. . 3 2 3 Chọn C. Bài giải có vtcp = 2; 1; 0 và đi qua (2; −1; 1). ∆ có vtcp 푣Ԧ = 0; 1; −1 và đi qua N(1; 1; 3). Ta có: 푛 = ; 푣Ԧ = (−1; 2; 2); = (−1; 2; 2) 푛. 1+4+4 Vậy , ∆ = = = 3. 푛 1+4+4
17. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 푃 : + 2 − + 5 = 0 = 9 + 2푡 và đường thẳng ∆: ቐ = 4 + 푡 . Tính số đo góc giữa ∆ và (푃). = 푡 A. 45표. B. 60표. C. 30표. D. 0표. Chọn C. Bài giải ∆ có vectơ chỉ phương là = (2; 1; 1). Mp (푃) có vectơ pháp tuyến là 푛 = (1; 2; −1). Gọi 휑 là góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng (훼). .푛 2.1+1.2+1.(−1) 1 Ta có: sin휑 = = = . 푛 4+1+1. 1+4+1 2 Vậy 휑 = 30표.
18. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 훼 : − 2 − 2 + 5 = 0 +1 và đường thẳng : = = . Tìm tọa độ điểm trên sao cho khoảng cách từ đến 2 −1 1 (훼) bằng 3. A. (0; 0; −1). B. (−2; 1; −2). C. (2; −1; 0). D. (4; −2; 1). Chọn C. Bài giải Gọi (2푡; −푡; −1 + 푡) ∈ . 2푡+7 푡 = 1 ⟹ (2; −1; 0) Ta có: , 훼 = 3 ⟺ = 3 ⟺ 2푡 + 7 = 9 ⟺ ቈ 3 푡 = −8 ⟹ (−16; 8; −9)
19. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 푃 : 2 − − 2 = 0 và = 1 + 푡 đường thẳng d: ቐ = 2푡 . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho A cách đều và (푃). = −2 + 2푡 A. (2;0;0). B. (3; 0; 0). C. (4; 0; 0). D. (5; 0; 0). Chọn B. Bài giải (푃) có vtpt 푛 = (2; −1; −2) và đi qua (1; 0; −2) và có vtcp là = 1; 2; 2 . Do ∈ ⟹ ; 0; 0 . = ( − 1; 0; 2) suy ra Ԧ = , = (4; 2 − 4; −2 + 2). 2 Ta có: , = , 푃 ⟺ = ⟺ 8 2 − 24 + 36 = 2 4+1+4 ⟺ 2 − 6 + 9 = 0 ⟺ = 3 ⟹ (3; 0; 0).
20. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 = 2 + 3푡 −4 +1 Cho hai đường thẳng d: ቐ = −3 + 푡 và ′: = = . Phương trình đường thẳng 3 1 −2 = 4 − 2푡 thuộc mặt phẳng chứa và ′ đồng thời cách đều hai đường thẳng là −3 +2 −2 +3 −2 −2 +3 −2 +2 −3 −2 −2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 3 1 −2 3 1 −2 3 1 −2 3 1 −2 Chọn A. Bài giải d đi qua (2; −3; 4) và có vtcp = (3; 1; −2); ′ đi qua B(4; −1; 0) và có vtcp 푣Ԧ = 3; 1; −2 . Nhận thấy song song ′. Trung điểm của AB là 3; −2; 2 . Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm nên ∆ song song với ⟹ ∆ có vtcp Ԧ = (3; 1; −2). −3 +2 −2 ∆ đi qua 3; −2; 2 và có vtcp Ԧ = (3; 1; −2) nên có pt: ∆: = = . 3 1 −2
21. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu 푆 : ( + 1)2+( − 1)2+ 2 = 9 và 1; 0; −2 . Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (푆) tại và tạo với trục 1 một góc 훼 sao cho 표푠훼 = 3 10 −1 +2 −1 +2 +1 −2 +1 −2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . 1 −8 5 1 8 −5 1 −8 5 1 8 5 Chọn A. Bài giải Gọi ∆ = ; ; là vtcp của ∆. Mặt cầu (푆) có tâm (−1; 1; 0). Vì ∆ tiếp xúc với (푆) tại A nên: (2; −1; −2) ⊥ ∆ ⟺ 2 − − 2 = 0 ⟺ = 2 − 2 1 . 1 1 ∆ tạo với một góc 훼 sao cho 표푠훼 = ⟺ = ⟺ 2 = 89 2 − 2(2). 3 10 2+ 2+ 2 3 10 Từ (1) và (2) ta có: 85 2 + 8ac − 5 2 = 0(3). 1 −5 Với = 0 ⟹ = 0, = 0 푙표ạ𝑖 . Với ≠ 0 ⟹ = ℎ표ặ = . 5 17 1 −1 +2 Với = , ta chọn = 1, = 5 ⟹ = −8. Suy ra ∆: = = nên chọn A. 5 1 −8 5
22. LỚP HÌNH BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 12 HỌC Chương III DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên. 2 Làm thêm các bài tập trong sách bài tập.