Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 42: Phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 42: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN LỚP 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 4: BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN II CÁC DẠNG BÀI TẬP BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN I ĐỊNH NGHĨA: . Phương trình tham số của đường thẳng 훥 đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương Ԧ = ( 1; 2; 3), Ԧ ≠ 0 = 0 + 1푡 ቐ = 0 + 2푡 (푡 ∈ 푅) = 0 + 3푡 . Nếu a1, a2 , a3 đều khác không .Phương trình đường thẳng훥 viết dưới dạng − − − chính tắc như sau: 0 = 0 = 0 1 2 3 . Ngoài ra đường thẳng còn có dạng tổng quát là : 풙 + 풚 + 푪 풛 + 푫 = ቊ với ∀ 1, 1, 1, 2, 2, 2 풙 + 풚 + 푪 풛 + 푫 = 2 2 2 2 2 2 thỏa mãn: 1 + 1 + 1 > 0, 2 + 2 + 2 > 0.
3. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng ′ ′ = 표 + 1푡 = 표 + 1푡′ ′ ′ : ቐ = 표 + 2푡 vtcp đi qua 표 và ′: ൞ = 표 + 2푡′ có vtcp ′đi qua 표’ = + 푡 ′ ′ 0 3 = 표 + 3푡′ Phương pháp 1 . ,풖′ cùng phương . ,풖′ Không cùng phương ′ ′ = ′ 표 + 1푡 = 표 + 1푡′ . 풅//풅’ ൝ ′ ′ 0 ∉ ′ ൞ 표 + 2푡 = 표 + 2푡′ (I) + 푡 = ′ + ′ 푡′ = ′ 0 3 표 3 . 풅 ≡ 풅’ ൝ . 풅 chéo ’ Hệ (I) vô nghiệm. 0 ∈ ′ . 풅 cắt ’ Hệ (I) có một nghiệm.
4. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Phương pháp 2 [ , ′] = 0 . // ’ ൝ 표 ∉ ′ [ , ′] = 0 . ≡ ’ ൝ 0 ∈ ′ , ′ ≠ 0 . cắt ’ ൞ ′ , ′ . 표 0 = 0 ′ . chéo ’ , ′ . 0 0 ≠ 0
5. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG: Phương pháp 1 Trong không gian Oxyz cho 훼 : + + + = 0 = 표 + 1푡 và : ቐ = 표 + 2푡 = 0 + 3푡 Phương trình 풙 + 풕 + 풚 + 풕 + 푪 풛 + 풕 + 푫 = (1) . Phương trình (1) vô nghiệm thì d // (α) . Phương trình (1) có một nghiệm thì d cắt (α) . P. trình (1) có vô số nghiệm thì ∈ (α) Đặc biệt : ( ) ⊥ (훼) ⇔ Ԧ, 푛 cùng phưong
6. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Phương pháp 2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d qua M(x0;y0;z0) có vtcp Ԧ = ( 1; 2; 3) và 훼 : + + + = 0 có vtpt 푛 = ; ; . ắ푡 훼 ⇔ Ԧ. 푛 ≠ 0 Ԧ. 푛 = 0 . (d) // (α) ቊ ∉ (훼) Ԧ. 푛 = 0 . (d) nằm trên mp(α) ቊ ∈ (훼) . Đặc biệt : 푛 = . Ԧ ⇔ ⊥ 훼
7. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN IV KHOẢNG CÁCH: . Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 cho bởi công thức : Ax0 + 0 + 0 + ( 0, 훼) = 2 + 2 + 2 Phương pháp 1: Phương pháp 2: . Lập ptmp(훼) đi qua M và vuông d đi qua M0 có vtcp [ , ] góc với d. ( , 훥) = 0 . Tìm tọa độ giao điểm H của mp(훼) và d . 풅 푴, 풅 = 푴푯
8. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN .Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Phương pháp 1 . d đi qua M(x0;y0;z0); cóvtcp Ԧ = ( 1; 2; 3) .d’qua M’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp ′ = ′1; ′2; ′3 . Lập ptmp(훼) chứa d và song song với d’ , ’ = ( ’, (훼)) Phương pháp 2 . d đi qua M(x0;y0;z0); có vtcp Ԧ = ( 1; 2; 3) . d’qua M’(x’0;y’0;z’0) ; vtcp ′ = ( ′1; ′2; ′3) [ , ′]. ′ ℎé (훥, 훥′) = = [ , ′] 푆®¸
9. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng 2.7 훥 đi qua điểm 0( 0; 0; 0), vuông góc và cắt đường thẳng . •Cách 1: ∈ Gọi là hình chiếu vuông góc của 0 trên đường thẳng thì ቊ . Khi 0 ⊥ đó đường thẳng 훥 là đường thẳng đi qua 0, •Cách 2: Gọi 푃 là mặt phẳng đi qua 0 và vuông góc với , 푄 là mặt phẳng đi qua 0 và chứa . Khi đó 훥 = 푃 ∩ 푄 Dạng 2.8 훥 nằm trong mặt phẳng 푃 và cắt cả hai đường thẳng 1, 2 Tìm các giao điểm = 1 ∩ 푃 ; = 2 ∩ 푃 . Khi đó 훥 chính là đường thẳng .
10. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng 2.9 훥 đi qua điểm 0( 0; 0; 0) và cắt hai đường thẳng 1, 2 •Cách 1: Gọi 1 ∈ 1, 2 ∈ 2 Từ điều kiện , 1, 2 thẳng hàng ta tìm được 1, 2 Từ đó suy ra phương trình đường thẳng 훥. •Cách 2: Gọi 푃 = 0; 1 , 푞 = 0; 2 . Khi đó 훥 = 푃 ∩ 푄 Do đó, một VTCP của훥 có thể chọn là 훥 = 푛(푃); (푄) . Dạng 2.10 훥 là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng 푃 thì ta lập phương trình mặt phẳng 푄 chứa và vuông góc với mặt phẳng 푃 bằng cách: •Lấy ∈ . •Vì 푄 chứa và vuông góc với 푃 nên 푛푄 = ; 푛푃 . •Khi đó 훥 = 푃 ∩ 푄
11. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng 2.10 훥 là đường vuông góc chung của hai đường thẳng 1, 2 chéo nhau: Cách 1: - Gọi 1 ∈ 1, 2 ∈ 2 Từ điều kiện ⊥ 1, ⊥ 2, ta tìm được , Khi đó, 훥 là đường thẳng Cách 2: - Vì 훥 ⊥ 1; 훥 ⊥ 2 nên một VTCP của 훥có thể là: 훥 = 1; 2 . - Lập phương trình mặt phẳng 푃 chứa 훥 và 1, Lập phương trình mặt phẳng 푄 chứa 훥 và 2, Khi đó 훥 = 푃 ∩ 푄 . Dạng 2.12 훥 đi qua điểm , vuông góc với 1và cắt 2 • Cách 1: Gọi là giao điểm của훥và 2 Từ điều kiện ⊥ 1 ta tìm được Khi đó, 훥 là đường thẳng • Cách 2: ▪ Viết phương trình mặt phẳng 푃 qua và vuông góc với 1 ▪ Viết phương trình mặt phẳng 푄 chứa và 2 Khi đó 훥 = 푃 ∩ 푄 .
12. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
13. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 6: 1. Trong không gian với hệ tọa độ cho 2; 3; −1 , 1; 2; 4 , phương trình đường thẳng đi qua hai điểm , là: = 2 + 푡 = 1 + 2푡 = 2 − 푡 = −1 + 2푡 A. ቐ = 3 + 2푡 . B. ቐ = 2 + 3푡 . C.ቐ = 3 − 푡 . D.ቐ = −1 + 3푡 . = −1 + 4푡 = 4 − 푡 = −1 + 5푡 = 5 − 푡 . Bài giải Chọn C. Đường thẳng đi qua điểm và nhận = −1; −1; 5 làm vectơ chỉ phương. = 2 − 푡 Phương trình đường thẳng là: ቐ = 3 − 푡 . = −1 + 5푡
14. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN 1. Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho 3; −2; 0 , 1; 1; 4 , −5; 3; 2 , viết phương trình đường thẳng với là trung điểm của đoạn thẳng . −3 +2 − 3 + 2 + 3 + 2 − 3 + 2 A. = = . B. = = . C. = = . D. = = . −6 2 −2 −2 2 3 −5 4 3 −5 4 3 Bài giải Chọn D. Điểm là trung điểm của đoạn thẳng ⇒ −2; 2; 3 . Đường thẳng đi qua điểm và nhận = −5; 4; 3 làm vectơ chỉ phương. −3 +2 Phương trình đường thẳng là: = = . −5 4 3
15. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 8: 1. Trong không gian với hệ tọa độ hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm 3; −2; −1 và song song với trục . 풙 = 풕 풙 = 풙 = 풕 풙 = + 풕 A. ቐ풚 = − 풕 . . B.ቐ풚 = − + 풕 . C.ቐ풚 = − 풕 . D.ቐ풚 = − + 풕 . 풛 = −풕 풛 = − 풛 = −풕 풛 = − + 풕 Bài giải Chọn B. Vì đường thẳng song song với trục nên 훥 = 푗Ԧ = 0; 1; 0 . = 3 Phương trình đường thẳng là: ቐ = −2 + 푡 . = −1
16. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ , viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua điểm −2; 4; 3 và vuông góc với mặt phẳng 훼 : 2 − 3 + 6 + 19 = 0. 풙 − 풚 + ퟒ 풛 + 풙 + 풚 + 풛 − A. = = . B. = = . − ퟒ 풙 + 풚 − ퟒ 풛 − 풙 + 풚 − 풛 + C. = = . D. = = . − ퟒ Bài giải Chọn C. Vì đường thẳng 훥 vuông góc với mặt phẳng 훼 nên 훥 = 푛훼 = 2; −3; 6 . +2 −4 −3 Phương trình đường thẳng 훥 là: = = . 2 −3 6
17. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm 2; 3; −1 và đường thẳng −3 : = = . Gọi 훥 là đưởng thẳng qua , vuông góc và cắt d. Viết phương trình của 훥. 2 4 1 풙 − 풚 + 풛 + 풙 + 풚 + 풛 − A. = = B. = = − 풙 − 풚 − 풛 + 풙 − 풚 − 풛 + C. = = D. = = − Bài giải Chọn C. = 2; 4; 1 Gọi là giao điểm của 훥 và . ∈ ⇒ 2푡; 4푡; 3 + 푡 4 = 2푡 − 2; 4푡 − 3; 푡 + 4 훥 ⊥ ⇒ . = 0 ⇔ 푡 = . 7 6 5 32 Khi đó: = − ; − ; 7 7 7 푞 2; 3; −1 −2 −3 +1 Đường thẳng 훥: ൝ ⇒ 훥 : = = 6 5 −32 훥 = −7. = 6; 5; −32
18. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ , cho điểm 1; −1; 3 và hai đường thẳng: −4 +2 −1 −2 +1 −1 : = = , : = = . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , 1 1 4 −2 2 1 −1 1 vuông góc với đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2. 풙 − 풚 + 풛 − 풙 − 풚 + 풛 − A. = = . B. = = ퟒ ퟒ 풙 − 풚 + 풛 − 풙 − 풚 + 풛 − C. = = D. = = − − − Bài giải Chọn C. = 2 + 푡 Gọi = 1 ∩ 2, 2: ቐ = −1 − 푡 ⇒ 푡 + 2, −푡 − 1, 푡 + 1 . = 1 + 푡 Đường thẳng có VTCP là = 푡 + 1; −푡; 푡 − 2 , đường thẳng 1 có 1 = 1; 4; −2 . Ta có: ⊥ 1 ⇔ . = 0 ⇔ 푡 + 1 − 4푡 − 2 푡 − 2 = 0 ⇔ 푡 = 1 ⇒ = 2; −1; −1 . Đường thẳng qua 1; −1; 3 và nhận = 2; −1; −1 là một VTCP nên: −1 +1 −3 : = = . 2 −1 −1
19. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN −2 −1 +1 Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ . Cho đường thẳng : = = và 1 2 −2 4 +1 −3 +2 : = = . Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua điểm 0; 2; −4 và cắt hai đường 2 −2 3 −1 thẳng 1 và 2. 풙 = − 풕 풙 = −풕 풙 = − 풕 풙 = − 풕 A. ቐ 풚 = + 풕 B. ቐ 풚 = + 풕 C. ቐ 풚 = − 풕 D.ቐ 풚 = − 풕 풛 = −ퟒ − 풕 풛 = −ퟒ + 풕 풛 = −ퟒ + 풕 풛 = −ퟒ − 풕 Bài giải Chọn A. Gọi 훼 là mặt phẳng đi qua và chứa 1. Lấy 2; 1; −1 ∈ 1, ⇒ 푛 훼 = , = 3; 0; −2 . Gọi 훽 là mặt phẳng đi qua và chứa 2. Lấy −1; 3; −2 ∈ 2, ⇒ 푛 훽 = , 2 = −7; −5; −1 . = −10푡 Do vậy, 훥 = 푛 훼 , 푛 훽 = −10; 17; −15 ⇒ 푡훥: ቐ = 2 + 17푡 = −4 − 15푡
20. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng : Tìm tọa độ điểm liên quan đến đường thẳng Phương pháp giải: Để tìm điểm ∈ 훥 thỏa điều kiện cho trước ta thường tham số hóa điểm theo biến 푡, sau đó ta chỉ cần tìm giá trị 푡 (dựa vào điều kiện bài toán đưa ra). Để tham số hóa điểm ta phải đưa đường thẳng 훥 về dạng tham = 0 + 푡 số: 훥: ቐ = 0 + 푡 푡 ∈ ℝ , khi đó 0 + 푡; 0 + 푡; 0 + 푡 . = 0 + 푡
21. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
22. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 14: −1 +2 +1 22. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng 훥: = = và 2 1 −3 điểm 2; −5; −6 . Tìm tọa độ điểm nằm trên 훥 sao cho = 35. A. 푴 ; ; − hoặc 푴 ; ; − . B. 푴 ; − ; − hoặc 푴 ; ; − . C. 푴 ; − ; hoặc 푴 ; ; − . D. 푴 ; − ; − hoặc 푴 − ; −ퟒ; . Bài giải Chọn B. Vì ∈ 훥 ⇒ 1 + 2푡; −2 + 푡; −1 − 3푡 ⇒ = 2푡 − 1; 푡 + 3; −3푡 + 5 . Ta có = 35 ⇔ 2푡 − 1 2 + 푡 + 3 2 + 3푡 − 5 2 = 35 ⇔ 푡2 − 2푡 = 0 푡 = 0 1; −2; −1 ⇔ ቈ ⇒ ቈ . 푡 = 2 5; 0; −7
23. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 15: +1 22. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : = = và mặt 2 −1 1 phẳng 훼 : − 2 − 2 + 5 = 0. Tìm điểm trên sao cho khoảng cách từ đến bằng 3. A. ; ; − . B. − ; ; − . C. ; − ; . D. ퟒ; − ; . Bài giải Chọn C. = 2푡 Phương trình tham số của : ቐ = −푡 푡 ∈ ℝ . Gọi 2푡; −푡; 푡 − 1 ∈ . Ta có: = −1 + 푡 2푡 − 2 −푡 − 2 푡 − 1 + 5 , 훼 = 3 ⇔ = 3 12 + −2 2 + −2 2 2푡+7 푡 = 1 → 2; −1; 0 ⇔ = 3 ⇔ 2푡 + 7 = 9 ⇔ ቈ . 3 푡 = −8 → −16; 8; −9
24. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 16: 22. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng −1 +2 23. 푃 : 2 − − 2 = 0 và đường thẳng : = = . Tìm tọa độ điểm thuộc 1 2 2 sao cho cách đều và 푃 . A. ; ; . B. ; ; . C. ퟒ; ; . D. ; ; . Bài giải Chọn B. Đường thẳng đi qua 1; 0; −2 và có VTCP = 1; 2; 2 . Do ∈ nên ; 0; 0 . Ta có: = − 1; 0; 2 , suy ra , = 4; 2 − 4; −2 + 2 . , 2 16+ 2 −4 2+ −2 +2 2 2 Ta có: , = , 푃 ⇔ = ⇔ = 4+1+4 1+4+4 4+1+4 ⇔ 8 2 − 24 + 36 = 2 ⇔ 2 − 6 + 9 = 0 ⇔ = 3 ⇒ 3; 0; 0 .
25. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 17: 22. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai điểm 1; 4; 2 , −1; 2; 4 và −1 +2 đường thẳng : = = . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho 2 + 2 = 40. −1 1 2 A. 푴 ; ; hoặc 푴 − ; ; . B. 푴 ; − ; hoặc 푴 ; ; . C. 푴 ; − ; hoặc 푴 − ; ; . D. 푴 ; ; hoặc 푴 ; ; . Bài giải Chọn C. Do ∈ nên 1 − 푡; −2 + 푡; 2푡 . Ta có: = 푡; 6 − 푡; 2 − 2푡 , = 푡 − 2; 4 − 푡; 4 − 2푡 . Theo giả thiết: 2 + 2 = 40 ⇔ 푡2 + 6 − 푡 2 + 2 − 2푡 2 + 푡 − 2 2 + 4 − 푡 2 + 4 − 2푡 2 = 40 푡 = 1 0; −1; 2 ⇔ 12푡2 − 48푡 + 36 = 0 ⇔ ቈ ⇒ ቈ . 푡 = 3 −2; 1; 6
26. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng: Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng: Phương pháp giải: Dùng kiến thức mục 4 và 5 trong phần lý thuyết để làm.
27. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
28. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 18: 22. Tính khoảng cách giữa mặt phẳng (훼): 2 − − 2 − 4 = 0 và = 1 + 푡 đường thẳng d: ቐ = 2 + 4푡 . = −푡 ퟒ A. . B. . C. D. Bài giải Chọn B. Ta có đường thẳng d song song với mặt phẳng (훼). Ta lấy điểm 1; 2; 0 thuộc đường thẳng d. Khi đó: 2.1 − 1.2 − 2.0 − 4 4 ( , (훼)) = ( , (훼)) = = . 22 + (−1)2 + (−2)2 3
29. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 19: = 1 + 2푡 ′ +2 −1 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng 훥: ቐ = −3 + 푡 và 훥 : = = −4 −2 = 4 − 2푡 +1 Khoảng cách giữa hai đường thẳng 훥 và 훥′ bằng: 4 A. B. . C. D. Bài giải Chọn D. Đường thẳng 훥 qua 1; −3; 4 và có VTCP 훥 = 2; 1; −2 Đường thẳng 훥′ qua −2; 1; −1 và có VTCP 훥′ = −4; −2; 4 . Ta thấy 훥′ = −2. 훥 và 2; −1; −3 ∉ 훥′ nên kết luận 훥 ∥ 훥′. ; 훥′ 386 Khi đó 훥, 훥′ = , 훥′ = = . 훥′ 3
30. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là = 1 + 2푡 = 3 − 푡 1: ቐ = 2 và 2: ቐ = 4 + 푡. = −푡 = 4 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng 1 và 2 bằng: A. . B. . C. D.ퟒ. Bài giải Chọn A. Đường thẳng 1 có VTCP 1 = 2; 0; −1 , 2 có VTCP 2 = −1; 1; 0 Gọi 1 + 2푡; 2; −푡 ∈ 1 và 3 − 푡′; 4 + 푡′; 4 ∈ 2. Suy ra = 2 − 푡′ − 2푡; 2 + 푡′; 4 + 푡 . . 1 = 0 Mà là đoạn vuông góc chung của 1 và 2 nên ቐ . 2 = 0 2 2 − 푡′ − 2푡 − 4 − 푡 = 0 ⇔ ቊ ⇔ 푡 = 푡′ = 0 ⇒ = 2; 2; 4 ⇒ = 2 6. − 2 − 푡′ − 2푡 + 2 + 푡′ = 0
31. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 21: Cho mặt phẳng (푃): 3 + 4 + 5 + 8 = 0. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (훼): − 2 + 1 = 0; (훽): − 2 − 3 = 0. Góc giữa d và (P) là: A.120°. B.60°. C.150°. D.30°. Bài giải Chọn B. Ta có: 푛푃(3; 4; 5) 푛 = 푛훼, 푛훽 = (2; 1; 1) 푛 . 3 푠푖푛( (푃), ) = 푃 = . 푛푃 . 2
32. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 22: = 2 + 푡 = 1 − 푡 Cho hai đường thẳng 1: ቐ = −1 + 푡 và 2: ቐ = 2 . = 3 = −2 + 푡 Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là: A.30° B.120°. C.150°. D.60° Bài giải Chọn A. Đường thẳng 1 có VTCP 1 = 1; 1; 0 , 2 có VTCP 2 = −1; 0; 1 1. 2 −1 1 표푠 1, 2 = 표푠 1, 2 = = = . 1 . 2 1+1. 1+1 2 ⇒ 1, 2 = 60°.
33. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng : Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng . . Phương pháp giải: Bước 1: Xác định một điểm cố định 0( 0; 0; 0) và véc tơ chỉ phương Ԧ( 1; 2; 3) của . Xác định véc tơ pháp tuyến của (훼) là 푛 = ( ; ; ) Bước 2 : Dùng kiến thức đã nêu ở mục 2 và 3 phần lý thuyết để xét Bước 3: Kết luận
34. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
35. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 23: = 1 + 2푡 Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng : ቐ = −1 + 2푡 , 푡 ∈ ℝ và = 1 + 푡 −1 −1 +1 훥: = = . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 −2 2 A. 훥 cắt và 훥 vuông góc với . B. 훥 và chéo nhau, 훥 vuông góc với . C. 훥 cắt và 훥 không vuông góc với. D. 훥 và chéo nhưng không vuông góc. Bài giải Chọn B. 훥 đi qua điểm 1; 1; −1 có véctơ chỉ phương là 훥 = 1; −2; 2 và đi qua điểm 1; −1; 1 có véctơ chỉ phương là = 2; 2; 1 . Ta có 훥. = 1.2 − 2.2 + 2.1 = 0 ⇔ 훥 ⊥ suy ra 훥 vuông góc với Mặt khác: 훥; = −6; 3; 6 , = 0; −2; 2 ⇒ 훥; . = −6.0 + 3. −2 + 6.2 = 6 ≠ 0 Suy ra 훥 và chéo nhau.
36. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 24: = 푡 26. Cho đường thẳng : ቐ = −1 + 2푡 và mặt phẳng 푃 : − 4 + 2 − 2 = 0. Tìm giá = −1 trị của để đường thẳng nằm trên mặt phẳng 푃 . A. = . B. = . C. = − . D. = . Bài giải Chọn D. • Điều kiện 1: có vtcp Ԧ 1; 2; 0 và 푃 có vtpt 푛 ; −4; 2 . ⊂ 푃 thì trước hết Ԧ. 푛 = 0 ⇔ = 8. • Điều kiện 2: qua 0; −1; −1 ∈ 푃8 : 8 − 4 + 2 − 2 = 0.
37. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 25: −1 +1 26. Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng : = = 1 1 2 và mặt phẳng 푃 : 2 + 2 − − 5 = 0 . Khi đó cắt 푃 tại điểm ; ; . Tìm giá trị = + + ? A. 푴 = − . B. 푴 = . C. 푴 = . D. 푴 = ퟒ. Bài giải Chọn D. Tọa độ giao điểm của và mặt phẳng 푃 là nghiệm của hệ: = 1 + 푡 = 푡 = −1 + 2푡 ⇔ 푡 = 1 ⇔ 2; 1; 1 . Suy ra = 2 + 1 + 1 = 4. 2 + 2 − − 5 = 0
38. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 26: 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox , mặt phẳng 푃 vuông góc với mặt −1 +2 phẳng 훼 : 2 − − 2z+10 = 0, song song và cách đường thẳng 훥: = = một 1 1 −3 khoảng bằng 2 có phương trình là : A. 푷 : 풙 − ퟒ풚 + z + 9 = hoặc 푷 : 풙 − ퟒ풚 + z − 11 = . B. 푷 : 풙 − ퟒ풚 + z + 9 = hoặc 푷 : 풙 − ퟒ풚 + z − = . C. 푷 : 풙 + ퟒ풚 + z + 11 = hoặc. 푷 : 풙 + ퟒ풚 + z − 11 = . D. 푷 : 풙 + ퟒ풚 + z + 11 = hoặc 푷 : 풙 + ퟒ풚 + z − = . . Bài giải Chọn D. 훥 = 1; 1; −3 훥// 푃 훼 ⊥ 푃 Ta có: ቊ 푛푃 = 훥, 푛훼 = −5; −4; −3 ⇒ 푃 : 5 + 4 + 3 + = 0. 푛훼 = 2; −1; −2 5−6+ = 11 Chọn 1; 0; −2 ∈ 훥 ⇒ 훥, 푃 = , 푃 = 2 ⇒ = 2 ⇒ ቈ 50 = −9 Vậy 푃 : 5 + 4 + 3z + 11 = 0 hoặc 푃 : 5 + 4 + 3z − 9 = 0.
39. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Dạng : Bài toán cực trị liên quan đến góc và khoảng cách Phương pháp giải: Để giải nhanh bài toán cực trị trong hình học tọa độ không gian, chúng ta cần tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị ( số đo góc, khoảng cách) xảy ra.
40. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
41. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN Câu 27: Trong không gian với hệ trục toạ độ , gọi 푃 là mặt phẳng chứa −1 +2 đường thẳng : = = và tạo với trục góc có số đo lớn nhất. Điểm nào 1 −1 −2 sau đây thuộc 푃 ? A −3; 0; 4 . B. 3; 0; 2 . C. −1; −2; −1 . D.퐹 1; 2; 1 . Bài giải Chọn C. Gọi 푛 ; ; ; 푛 ≠ 0 là VTPT của 푃 ; 훼 là góc tạo bởi 푃 và , 훼 lớn nhất khi 푠푖푛훼 lớn nhất. Ta có 푛 vuông góc với nên 푛 = + 2 ; ; 푠푖푛 훼 = 표푠 푛, 푗Ԧ = 2 2 + 5 2 + 4 1 2 Nếu = 0 thì sin훼 = 0. Nếu ≠ 0 thì 푠푖푛 훼 = . Khi đó, 푠푖푛훼 lớn nhất khi = − 2 5 5 2 6 + + ⇒ chọn = 5; = −2. 5 5 Vậy, phương trình mp 푃 là + 5 − 2 + 9 = 0. Do đó ta có ∈ 푃 .
42. GIÁO TOÁN THPT DỤC GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN −2 +1 Câu 28: Trong không gian , cho đường thẳng : = = và điểm 2; 1; 2 . −1 2 1 Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua , vuông góc với sao cho khoảng cách giữa và 훥 là lớn nhất? 풙 = + 풕 풙 = − 풕 풙 = + 풕 풙 = + 풕 A.ቐ풚 = + 풕 B. ቐ풚 = + 풕 C.ቐ풚 = − 풕 D.ቐ풚 = + 풕 풛 = − 풕 풛 = − 풕 풛 = − 풕 풛 = + 풕 Bài giải Chọn A. Gọi = ∩ 푃 ⇒ 1; 1; 1 , là hình chiếu vuông góc của lên 훥. Ta có ; 훥 = ≤ . Dấu bằng xảy ra khi ≡ . có VTCP = −1; 2; 1 , = 1; 0; 1 Gọi 푃 là mặt phẳng qua , vuông góc với ⇒ 푃 : − + 2 + − 2 = 0. Suy ra 훥 ⊂ 푃 Vậy , 훥 = khi 훥 có 1 VTCP là = , = (2; 2; −2) 풙 = + 풕 Đường thẳng 훥 đi qua 2; 1; 2 có vectơ chỉ phương 1 = 1; 1; −1 có phương trình :ቐ풚 = + 풕. 풛 = − 풕