Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 43: Phương trình đường thẳng trong không gian

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 12 - Chương 3, Tiết 43: Phương trình đường thẳng trong không gian

1. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LỚP 12 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 3: PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN (LUYỆN TẬP - Tiết 2) I Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách II Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng III Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu IV Hình chiếu của điểm lên đường thẳng, hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng V Các bài toán tổng hợp khác
2. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho điểm 1; −2; 2 . Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua và cắt tia tại điểm sao cho = 2 . − 6 − 4 + 1 − 6 + 6 A.훥: = = . B. 훥: = = C훥: = = . D. 훥: = = . 1 −2 −4 −1 2 2 −1 2 4 −1 2 4 Bài giải Đường thẳng 훥 đi qua 0; 0; 6 và có +) thuộc tia ⇒ 0; 0; , với > 0. VTCP = 1; −2; −4 có phương trình là: +) = 3, = −6 훥: = = . Chọn A. = 6 1 −2 −4 +) = 2 ⇔ = 6 ⇔ ቈ = −6 푙 ⇒ 0; 0; 6 , = 1; −2; −4
3. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM −1 −2 −3 Câu 2 Cho hai điểm (1;0;0); (0;−2;0) và đường thẳng : = = . 2 1 1 Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua , vuông góc với và tạo với một góc nhỏ nhất. − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 A. = = B. = = . C. = = . D. = = . 1 −4 2 1 4 2 1 2 −2 1 1 2 Bài giải +) Đường thẳng có VTCP = 2; 1; 1 . +) Xét mp 훼 qua 1; 0; 0 và vuông góc với ⇒ 훥 ⊂ 훼 . +) Mp 훼 nhận = 2; 1; 1 làm VTPT ⇒ 훼 : 2 + + − 2 = 0. +) Gọi là hình chiếu của lên 훼 ⇒ nhận vecto = 2; 1; 1 làm VTCP. = 2푡 ⇒ PTTS của : ቐ = −2 + 푡. = 푡
4. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM −1 −2 −3 Câu 2 Cho hai điểm (1;0;0); (0;−2;0) và đường thẳng : = = . 2 1 1 Viết phương trình đường thẳng 훥 đi qua , vuông góc với và tạo với một góc nhỏ nhất. − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − 1 A. = = B. = = . C. = = . D. = = . 1 −4 2 1 4 2 1 2 −2 1 1 2 Bài giải ⇒ tọa độ điểm ứng với 푡 là nghiệm của pt: 2 4푡 − 2 + 푡 + 푡 − 2 = 0 ⇔ 푡 = . 3 4 4 2 1 4 2 ⇒ ; − ; và = ; − ; . 3 3 3 3 3 3 +) 훥 tạo với một góc nhỏ nhất khi và chỉ khi 훥đi qua hai điểm và . Vậy phương trình đườngthẳng +) Khi đó 훥 đi qua 1; 0; 0 , có −1 훥: = = . 1 −4 2 Chọn A. VTCP 훥 = 3 = 1; −4; 2 .
5. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Tìm tất cả các mặt phẳng 훼 chứa đường thẳng : = = 1 −1 −3 và tạo với mặt phẳng 푃 : 2 − + 1 = 0 góc 45°. A. 훼 : 3 + = 0. B. 훼 : − − 3 = 0 C. 훼 : + 3 = 0 D. 훼 : 3 + = 0 hay 훼 : 8 + 5 + = 0 Bài giải 푛. 2 − +) Ta có 표푠 4 5° = = = +) đi qua điểm 0; 0; 0 có vtcp 푛 5 2+ 2+ 2 2 = 1; −1; −3 . ⇔ 10 2 + 2 + 2 = 4 − 2 2 +) 훼 qua có vtpt 푛 = ; ; có dạng 2 2 2 2 2 + + = 0, ⇔ 10 + 6 + 9 + + = 4 + 12 − 2 2 +) 푛. = 0 ⇒ − − 3 = 0. ⇔ 10 2 2 + 6 + 10 2 = 4 + 10 2 +) 푃 : 2 − + 1 = 0 nên vtpt = 2; 0; −1 .
6. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Tìm tất cả các mặt phẳng 훼 chứa đường thẳng : = = 1 −1 −3 và tạo với mặt phẳng 푃 : 2 − + 1 = 0 góc 45°. A. 훼 : 3 + = 0. B. 훼 : − − 3 = 0 C. 훼 : + 3 = 0 D. 훼 : 3 + = 0 hay 훼 : 8 + 5 + = 0 Bài giải = 0 ⇔ 4 2 − 20 = 0 ⇔ ቈ . = 5 +) = 0 ⇒ = 3 ⇒ 훼 : + 3 = 0. +) = 5 , chọn = 1 ⇒ = 5, = 8 ⇒ 훼 : 8 + 5 + = 0. Chọn D.
7. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng + 1 − 2 훼 : 2 − 3 + − 2 = 0 và chứa đường thẳng : = = −1 2 −1 A. + + − 1 = 0. B. 3 + − + 3 = 0. C. − + − 3 = 0. D. 2 + − + 3 = 0. Bài giải α +) Đường thẳng đi qua điểm 0; −1; 2 và có vectơ chỉ phương = −1; 2; −1 . d M P +) Mặt phẳng (훼) có vectơ pháp tuyến 푛(푃) = , 푛(훼) = −1; −1; −1 = − 1; 1; 1 푛(훼) = 2; −3; 1 . có phương trình là + + − 1 = 0. +) Mặt phẳng (푃) cần tìm đi qua điểm 0; −1; 2 Chọn A. và có vectơ pháp tuyến:
8. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Viết phương trình đường thẳng 훥 là giao tuyến của hai mặt phẳng 훼 : + 2 + − 1 = 0 và 훽 : − − + 2 = 0 = −1 − 3푡 = 2 + 푡 = −1 − 푡 = −1 + 푡 A. ቐ = 1 + 2푡 B. ቐ = 2푡 C. ቐ = 1 − 2푡 . D. ቐ = 1 − 2푡 . = 푡 = −1 − 3푡 = 3푡 = 3푡 Bài giải +) 훼 : + 2 + − 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là: 푛훼 = 1; 2; 1 . +) 훽 : − − + 2 = 0 có vectơ pháp tuyến là: 푛훽 = 1; −1; −1 . Khi đó: 푛훼, 푛훽 = −1; 2; −3 . +) Vì đường thẳng 훥 là giao tuyến của hai mặt phẳng 훼 và 훽 nên vectơ chỉ phương của đường thẳng 훥 là cùng phương với 푛훼, 푛훽 . Do đó chọn = 1; −2; 3 .
9. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Viết phương trình đường thẳng 훥 là giao tuyến của hai mặt phẳng 훼 : + 2 + − 1 = 0 và 훽 : − − + 2 = 0 = −1 − 3푡 = 2 + 푡 = −1 − 푡 = −1 + 푡 A. ቐ = 1 + 2푡 B. ቐ = 2푡 C. ቐ = 1 − 2푡 . D. ቐ = 1 − 2푡 . = 푡 = −1 − 3푡 = 3푡 = 3푡 Bài giải + 2 + − 1 = 0 +) Tọa độ ; ; ∈ 훥 thỏa hệ phương trình: ቊ . − − + 2 = 0 2 + = 2 = 1 +) Cho = −1 ta được: ቊ ⇔ ቊ ⇒ −1; 1; 0 . + = 1 = 0 +) Phương trình đường thẳng 훥 đi qua điểm −1; 1; 0 và có vectơ chỉ phương = = −1 + 푡 1; −2; 3 là: 훥: ቐ = 1 − 2푡 . Chọn D. = 3푡
10. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 Trong không gian , cho mặt cầu ( − 1)2 + ( + 3)2 + ( − 2)2 = 1 = 2 + 푡 Giá trị của để đường thẳng 훥 cắt mặt và đường thẳng 훥: ቐ = 1 + 푡 . = −2푡 cầu (푆) tại hai điểm phân biệt là: 15 5 15 5 5 15 A. ∈ ℝ. B. > .hoặc 0 ⇔ < < . 2 2 (2 + 푡 − 1)2 + (1 + 푡 + 3)2 + (−2 푡 − 2)2 = 1 Chọn C. ⇔ (1 + 푡)2 + (4 + 푡)2 + (−2 푡 − 2)2 = 1 ⇔ 2 + 5 푡2 + 2(5 + 4 )푡 + 20 = 0 (1)
11. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (푃): 2 − 2 − += 0 và mặt phẳng (푄): + 2 − 2 − 4 = 0. Mặt cầu (푆) có phương trình 2 + 2 + 2 + 4 − 6 + = 0. Tìm để đường thẳng ( ) cắt mặt cầu (푆) tại hai điểm phân biệt , sao cho = 8. A. − 12. B. − 9. C. 5. D. 2. Bài giải +) Mặt phẳng (푃) có 푃 푛1 = 2; −2; −1 , mặt phẳng (푄) có 푃 푛2 = 1; 2; −2 1 ⇒ Đường thẳng có 푃 = 푛 , 푛 = 2; 1; 2 3 1 2 +) 6; 4; 5 là điểm chung của hai mặt phẳng (푃) và (푄)nên ∈ +) Mặt cầu (푆) có tâm (−2; 3; 0), bán kính 푅 = 13 − , < 13 , +) , = = 3
12. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (푃): 2 − 2 − += 0 và mặt phẳng (푄): + 2 − 2 − 4 = 0. Mặt cầu (푆) có phương trình 2 + 2 + 2 + 4 − 6 + = 0. Tìm để đường thẳng ( ) cắt mặt cầu (푆) tại hai điểm phân biệt , sao cho = 8. A. − 12. B. − 9. C. 5. D. 2. Bài giải +) Gọi 퐾 là trung điểm của ⇒ 퐾 = 4 và 퐾 = , = 3 +) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông 퐾 +) 푅 = 퐾2 + 퐾2 = 5 ⇒ 13 − = 5 ⇒ 13 − = 25 ⇒ = −12(nhận). Chọn A.
13. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Trong không gian , cho điểm −1; 1; 6 và đường thẳng = 2 + 푡 훥: ቐ = 1 − 2푡 . Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng 훥. = 2푡 A. −1; 0; 4 . B. 7; 1; −1 . C. 3; −1; 2 . D. 0; 2; −5 . Bài giải Gọi 2 + 푡 ; 1 − 2푡 ; 2푡 là hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng 훥. Ta có = 3 + 푡 ; − 2푡 ; 2푡 − 6 và véc tơ chỉ phương của đường thẳng 훥 là 훥 = 1; − 2; 2 . Có ⊥ 훥 ⇒ . 훥 = 0 ⇔ 3 + 푡 + 4푡 + 4푡 − 12 = 0 ⇔ 푡 = 1 ⇒ 3; − 1; 2 .
14. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM + 1 + 3 + 2 Câu 9 Trong không gian , cho đường thẳng : = = 1 2 2 và điểm 3; 2; 0 . Điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng có tọa độ là A. −1; 0; 4 . B. 7; 1; −1 . C. 7; 1; −1 . D. 0; 2; −5 . Bài giải +) Gọi 푃 là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng . +) Phương trình của mặt phẳng 푃 là: 1 − 3 + 2 − 2 + 2 − 0 = 0 ⇔ + 2 + 2 − 7 = 0. +) Gọi là hình chiếu của lên đường thẳng , khi đó = ∩ 푃 Suy ra ∈ ⇒ −1 + 푡; −3 + 2푡; −2 + 2푡 . +) Mặt khác ∈ 푃 ⇒ −1 + 푡 − 6 + 4푡 − 4 + 4푡 − 7 = 0 ⇒ 푡 = 2. Vậy 1; 1; 2 . +) Gọi ′ là điểm đối xứng với qua đường thẳng , khi đó là trung điểm của ′ suy ra ′ −1; 0; 4 . Chọn A.
15. +) Mặt cầu .(S) có tâm I(0;1;1) và bán kính +) Mặt cầu (S) có tâm I(0;1;1) và bán kính R = 3 +) Mặt cầu (S) có tâm I(0;1;1) và bán kính . LỚP HÌNH BÀI 3 . . 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Trong không gian và mặt cầu (푆): 2 + 2 + 2 − 2 − 2 − 7 = 0. Mặt phẳng (푃) đi qua và cắt (푆) theo thiết diện là đường tròn ( ) có diện tích nhỏ nhất. Bán kính đường tròn ( ) là A. 1. B. 5. C. 3. D. 2. Bài giải +) Gọi 푃 là mặt phẳng đi qua và vuông góc với đường thẳng . +) Ta có = (2 − 0)2 + (1 − 1)2 + (2 − 1)2 = 5 <= 푅 nên nằm trong mặt cầu (푆). +) Đặt ℎ là khoảng cách từ đến mặt phẳng (푃), là bán kính đường tròn ( ). Khi đó:ℎ ≤ = 5 và ℎ = 5 khi và chỉ khi ⊥ (푃). 2 +) 2 = 푅2 − ℎ2 ≥ 32 − 5 = 4 ⇒ ≥ 2. Đường tròn ( ) có diện tích nhỏ nhất nên = 2. Chọn D.
16. +) Ta có dA; P=AK ≤AH (không đổi) LỚP HÌNH BÀI 3 dA; P lớn nhất khi K ≡H.12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 11 = 1 + 2푡 Trong không gian , cho điểm 2; 1; 1 và đường thẳng : ቐ = 푡 . = −2 − 푡 Mặt phẳng 푃 chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ điểm đến 푃 lớn nhất có phương trình là A. + 2 + 4 + 7 = 0. B. 4 − 7 + − 2 = 0. C. 4 − 5 + 3 + 2 = 0. D. + + 3 + 5 = 0. Bài giải +) Gọi là hình chiếu của trên ; 퐾 là hình chiếu của trên 푃 . +) Mặt phẳng (훼) có vectơ pháp tuyến 푛(훼) = 2; −3; 1 . +) Vì ∈ nên 1 + 2푡; 푡; −2 − 푡 . Ta có = 2푡 − 1; 푡 − 1; −3 − 푡 . +) Đường thẳng có vectơ chỉ phương = 2; 1; −1
17. +) Ta có dA; P=AK ≤AH (không đổi) LỚP HÌNH BÀI 3 dA; P lớn nhất khi K ≡H.12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 11 = 1 + 2푡 Trong không gian , cho điểm 2; 1; 1 và đường thẳng : ቐ = 푡 . = −2 − 푡 Mặt phẳng 푃 chứa đường thẳng sao cho khoảng cách từ điểm đến 푃 lớn nhất có phương trình là A. + 2 + 4 + 7 = 0. B. 4 − 7 + − 2 = 0. C. 4 − 5 + 3 + 2 = 0. D. + + 3 + 5 = 0. Bài giải +) Đường thẳng có vectơ chỉ phương = 2; 1; −1 +) Vì là hình chiếu của trên nên . = 0 Chọn D. ⇔ 2 2푡 − 1 + 1 푡 − 1 + 3 + 푡 = 0 ⇔ 푡 = 0. Vậy = 1; 0; −2 ⇒ = −1; −1; −3 . +) Mặt phẳng 푃 qua và vuông góc với nên 푃 có phương trình + + 3 + 5 = 0.
18. +) Ta có dA; P=AK ≤AH (không đổi) LỚP HÌNH BÀI 3 dA; P lớn nhất khi K ≡H.12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 2 2 Câu 12 Trong không gian , cho 푆1 : − 1 + + = 4, 2211 A. = 2 − 푡 11 2 2 2 푆 : − 2 + − 3 + − 1 = 1 và đường thẳng : ቐ = −3푡 3707 2 B. − 3. = −2 − 푡 11 Gọi , là hai điểm tùy ý thuộc 푆1 , 푆2 và 1771 + 2 110 C. thuộc đường thẳng . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 3707 D. . 푃 = + bằng: 11 Bài giải +) Mặt cầu 푆1 có tâm 1; 0; 0 , bán kính 푅1 = 2. I J B A +) Mặt cầu 푆 có tâm 퐽 2; 3; 2 , bán kính 푅 = 1. d 2 2 H M +) Đường thẳng đi qua điểm 2; 0; −2 và có VTCP = −1; −3; −1 . A' +) Ta có: 퐽 = 1; 3; 1 // và ∉ nên 퐽 // . K ′ +) Gọi 푆 là mặt cầu đối xứng của 푆1 qua ;
19. LỚP HÌNH BÀI 3 12 HỌC Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 2 2 2 Câu 12 Trong không gian , cho 푆1 : − 1 + + = 4, 2211 A. = 2 − 푡 11 2 2 2 푆2 : − 2 + − 3 + − 1 = 1 và đường thẳng : ቐ = −3푡 3707 B. − 3. = −2 − 푡 11 Gọi , là hai điểm tùy ý thuộc 푆1 , 푆2 và 1771 + 2 110 C. thuộc đường thẳng . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức 11 3707 푃 = + bằng: D. . 11 Bài giải +) 퐾, ′ lần lượt là điểm đối xứng của và qua . Thì 퐾 là tâm I J B ′ ′ ′ A của 푆 và ∈ 푆 . d +) Khi đó : 푃 = + = ′ + ≥ ′ . H M 3 66 6 66 A' +) Suy ra 푃′ 푅1 + 푅2 푖푛. Ta lại có : = ; = ⇒ 퐾 = . 11 11 K 3707 3707 Và 퐽 = 11 ⇒ 퐽퐾 = . Vậy 푃 . Chọn B. 11 11 푖푛