Bài giảng Toán 12 - Chương 2, Bài 1: Nguyên hàm

Nội dung text: Bài giảng Toán 12 - Chương 2, Bài 1: Nguyên hàm

1. GT ⓶ ➊ ⑫ Chương : § . NGUYÊN HÀM ⓵. Tóm tắt lý thuyết Nội dung ⓶. Phân dạng bài tập bài học ⓷. Bài tập minh họa
2. ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➊. Định nghĩa nguyên hàm Cho hàm số xác định trên 퐾. Hàm số 퐹 được gọi là nguyên hàm của trên 퐾 nếu 퐹′ = với mọi thuộc 퐾.  Định lý 1: Giả sử hàm số 퐹 là một nguyên hàm của hàm số trên 퐾. Khi đó ➀. Với mỗi hằng số , hàm số = 퐹 + cũng là một nguyên hàm của trên 퐾. ➁. Ngược lại với mỗi nguyên hàm của trên 퐾 thì tồn tại một hằng số sao cho = 퐹 + với mọi thuộc 퐾.
3. ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➋. Bảng nguyên hàm thường dùng Nguyên hàm của hàm số hợp Nguyên hàm của hàm số đơn giản 풖 = 풖 풙 ׬ x = + 1. ׬ u = + .1 1 1 ׬ 훼 x = 훼+1 + 훼 ≠ −1 2. ׬ 훼 u = 훼+1 + 훼 ≠ −1 .2 훼+1 훼+1 1 1 ׬ x = ln + 3. ׬ u = ln + .3 ׬ 푒 x = 푒 + 4. ׬ 푒 u = 푒 + .4 ׬ x = + > 0, ≠ 1 5. ׬ u = + > 0, ≠ 1 .5 ln ln
4. ⓵ Tóm tắt lý thuyết Hàm số lượng giác ׬ sin dx = −cosx + ׬ sin du = −cosu + .1 ׬ cosxdx = sin + ׬ cosudu = sin + .2 1 1 ׬ x = tan + ׬ u = tan + .3 cos2 cos2 1 1 ׬ x = −cot + ׬ u = −cot + .4 sin2 sin2
5. ⓵ Tóm tắt lý thuyết . Tính chất nguyên hàm  Định lý 2: Nếu , là hai hàm số liên tục trên 퐾 thì: ; ׬ + d = ׬ d + ׬ d .➀ ׬ d = ׬ d . Với mọi số thực ≠ 0 .➁ ׬ d ′ = ; ׬ ′ d = + .➂
6. ⓵ Tóm tắt lý thuyết  Phương pháp đổi biến số  Định lý: Cho hàm số = có đạo hàm liên tục trên 퐾 và hàm số = liên tục sao cho xác định trên 퐾. = Khi đó nếu 퐹 là một nguyên hàm của , tức là ׬ d .퐹 + thì ׬ ′ d = 퐹 + =  Ghi nhớ: ׬ ′ d = ׬ d = ׬ d 퐹 + = 퐹 + . Với = .
7. ⓵ Tóm tắt lý thuyết  Phương pháp từng phần  Định lý: Nếu , 푣 là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên 퐾 thì . ׬ 푣′ d = 푣 − ׬ 푣 ′ d −  Ghi nhớ: Công thức trên viết gọn dưới dạng ׬ d푣 = 푣 . ׬ 푣d
8. ⓶ Phân dạng bài tập ①. Dạng 1: Tìm nguyên hàm cơ bản dùng định nghĩa, tính chất ➀. Cách giải: Sử dụng định nghĩa, tính chất ➁. Casio nếu có: ⬧ Xét hiệu: Nhấn shift / ├ (퐹( ))┤|_( = _0 )− ( )=0 ⬧ Calc =2.5 hay =3, . / ├ (퐹( ))┤|_( = _0 )− ( )≈0 là mệnh đề đúng.
9. ⓷ Bài tập minh họa 1 Câu . Tất cả nguyên hàm của hàm số = là 2 +3 1 1 Ⓐ. ln 2 + 3 + . Ⓐ. ln 2 + 3 + . 2 2 1 Ⓐ. ln 2 + 3 + . Ⓐ. ln 2 + 3 + . ln2 . Lời giải: . PP nhanh trắc nghiệm 1  Casio: ׬ d = ׬ d ❖ 2 +3  Calc: x= 2.5 1 1 ׬ d 2 + 3 = 2 2 +3 1 = ln 2 + 3 + 2  Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt  Chọn C đối, rất dễ chọn nhằm đáp án B
10. ⓷ Bài tập minh họa Câu . Nếu ׬ d = 4 3 + 2 + thì hàm số bằng 3 Ⓐ. = 4 + + . Ⓐ. = 12 2 + 2 + . 3 3 Ⓐ. = 12 2 + 2 Ⓐ. = 4 + . 3 . Lời giải: . PP nhanh trắc nghiệm ′  Thử đạo hàm Ta có: = ׬ d  Casio ❖ = 4 3 + 2 + ′ = 12 2 + 2  Chọn C  Lưu ý: Rất dễ chọn nhằm đáp án B
11. ⓷ Bài tập minh họa 1 1 Câu . Cho hàm số có ′ = với mọi ≠ và 1 = 1. 2 −1 2 Khi đó giá trị của 5 bằng Ⓐ. 푙푛2. Ⓐ. 푙푛3. Ⓐ. 푙푛2 + 1. Ⓐ. 푙푛3 + 1. . Lời giải: . PP nhanh trắc nghiệm Ta có: ׬ ′ d = + nên . Tư duy Casio ❖ 1 5 = ׬ d = ׬1 ′ = 5 − 1 1 d 2 −1 2 −11 5 5 ׬ = ln 2 − 1 + 2 2 −1 2 ⇒ 5 = 1 + න ′ = 1 + න ′  Mặt khác theo đề ra ta có: 1 = 1 1 1 1 ⇔ ln 2.1 − 1 + = 1 ⇔ = 1 . Tổng quát: 2 1 nên = ln 2 − 1 + 1 ׬ ′ = − 2 1 ; Do vậy 5 = ln 2.5 − 1 + 1 = ⇒ = + ׬ ′ 1 2 ln9 + 1 = ln3 + 1 = − ׬ ′ 2  Chọn D
12. ⓶ Phân dạng bài tập ②. Dạng 2: Tìm nguyên hàm của hàm số thỏa mãn điều kiện cho Cách giải:  Xác định 퐹 là một nguyên hàm của hàm số sao cho 퐹 0 = ✓ Tìm nguyên hàm 퐹 . ✓ Thế điều kiện 퐹 0 = tìm hằng số C ✓ Kết luận cho bài toán.
13. ⓷ Bài tập minh họa 1 1 Câu . Cho hàm số có ′ = với mọi ≠ và 1 = 2 −1 2 1. Khi đó giá trị của 5 bằng Ⓐ. 푙푛2. Ⓐ. 푙푛3. Ⓐ. 푙푛2 + 1. Ⓐ. 푙푛3 + 1. 1 . Lời giải: ❖ Do vậy 5 = ln 2.5 − 1 + Ta có: ׬ ′ d = + nên 1 2 ❖ 1 1 = ln9 + 1 = ln3 + 1. = ׬ d = 2 1 d 2 −1 2 −11 ׬ = ln 2 − 1 +  Chọn C 2 2 −1 2 ❖ Mặt khác theo đề ra ta có: . PP nhanh trắc nghiệm 1 1 = 1 ⇔ ln 2.1 − 1 + = 1  Casio: ׬ = 퐹 − 퐹 2 ⇔ = 1 ;퐹 = 퐹 + ׬ • 1 nên = ln 2 − 1 + 1 2 퐹 = 퐹 − ׬ •
14. ⓷ Bài tập minh họa Câu . Biết 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = 2 + 2 thoả mãn 퐹 0 = 0. Ta có 퐹 bằng 2 −1 1−2 Ⓐ. 2 + . Ⓐ. 2 + . 푙푛2 푙푛2 Ⓐ. 1 + 2 − 1 ln2. Ⓐ. 2 + 2 − 1. . Lời giải: 2 . Ta có:׬ 2 + 2 d = 2 + + . Do đó ❖ ln2 20 1  Theo giả thiết 퐹 0 = 0 ⇔ 02 + + = 0 ⇔ = − . ln2 ln2 2 1 2 −1  Vậy 퐹 = 2 + − = 2 + .  Chọn A ln2 ln2 ln2 . PP nhanh trắc nghiệm  Thử đáp án
15. ⓷ Bài tập minh họa Câu . Tìm nguyên hàm 퐹 của hàm số = sin − 2 thỏa mãn 퐹 = 1. 2 − 표푠( −2 ) 1 표푠( −2 ) 1 Ⓐ. 퐹( ) = + . Ⓐ. 퐹( ) = + . 2 2 2 2 표푠( −2 ) 표푠( −2 ) 1 Ⓐ. 퐹( ) = + 1. Ⓐ. 퐹( ) = − . 2 2 2 . Lời giải: cos −2 Ta có 퐹 = ׬ sin − 2 d = + C ❖ 2 1 1  퐹 = 1 ⇔ + = 1 ⇔ = 2 2 2 cos( −2 ) 1  Vậy 퐹( ) = +  Chọn B 2 2 . PP nhanh trắc nghiệm  Thử đáp án
16. ⓶ Phân dạng bài tập ③. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số  Cách giải: Định lí: Cho hàm số = có đạo hàm và liên tục trên trên 퐾 và hàm số = liên tục sao cho xác định trên 퐾. Khi đó nếu hàm số 퐹 là một nguyên hàm của , tức là: ׬ ′ = 퐹 + Phương pháp: Từ đó ta có hai cách đổi biến số trong việc tính nguyên hàm như sau: 1. Đặt biến số: 푡 = 2. Suy ra: 푡 = = ′ rồi đưa về việc tính nguyên hàm . = ׬ . u′ = ׬ 푡 푡 đơn giản hơn .3
17. ⓷ Bài tập minh họa Câu . Tìm họ nguyên hàm ׬ cos2 sin ta được kết quả là 1 Ⓐ. −cos2 + . Ⓐ. cos3 + . 3 1 1 Ⓐ.− cos3 + . Ⓐ. sin3 + . 3 3 . Lời giải: 1 .Ta có:׬ cos2 sin = − ׬ cos2 cos = − cos3 + ❖ 3  Chọn C . PP nhanh trắc nghiệm  Xét hiệu
18. ⓷ Bài tập minh họa 1 1 Câu . Nguyên hàm ׬ cos d bằng 2 1 1 Ⓐ. −sin + . Ⓐ. 푠푖푛 + . 1 1 Ⓐ. −2sin + . Ⓐ. 2sin + . . Lời giải: 1 1 1 1 1 .Ta có ׬ cos d = − ׬ cos d = − sin + ❖ 2  Chọn A . PP nhanh trắc nghiệm  Xét hiệu
19. ⓷ Bài tập minh họa 1 .Câu . Tính nguyên hàm = ׬ d ln +1 2 Ⓐ. = (ln + 1)3 + . Ⓐ. = ln + 1 + . 3 1 Ⓐ. = (ln + 1)2 + . Ⓐ. = 2 ln + 1 + . 2 . Lời giải: 1 −1 .Ta có ׬ d = ׬(ln + 1) 2 d(ln + 1) = 2 ln + 1 + ❖ ln +1  Chọn D . PP nhanh trắc nghiệm  Xét hiệu
20. ⓷ Bài tập minh họa sin Câu . Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) = . 1+3cos 1 .Ⓐ. ׬ ( ) = 푙푛 1 + 3 표푠 + 3 .Ⓐ. ׬ ( ) = 푙푛 1 + 3 표푠 + .Ⓐ.׬ ( ) = 3푙푛 1 + 3 표푠 + −1 .Ⓐ. ׬ ( ) = 푙푛 1 + 3 표푠 + 3 . Lời giải: sin 1 1 1 Ta có: ׬ d = − ׬ d 1 + 3cos = − ln 1 + 3cos + ❖ 1+3cos 3 1+3cos 3  Chọn D . PP nhanh trắc nghiệm  Xét hiệu