Bài giảng Toán 12 - Chương 2, Bài 2: Tích phân

Nội dung text: Bài giảng Toán 12 - Chương 2, Bài 2: Tích phân

1. GT ⓶ ➋ ⑫ Chương : § . TÍCH PHÂN ⓵. Tóm tắt lý thuyết Nội dung ⓶. Phân dạng bài tập bài học ⓷. Bài tập minh họa
2. ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➊. Định nghĩa tích phân  Cho hàm số liên tục trên 퐾 và , là hai số bất kì thuộc 퐾.  Nếu 퐹 là một nguyên hàm của trên 퐾 thì hiệu số 퐹 − 퐹 được gọi là tích phân của từ đến  . Kí hiệu là ׬ d Trong trường hợp < , ta gọi ׬ d là tích phân của trên đoạn ; .  Người ta còn dùng kí hiệu 퐹 ȁ để chỉ hiệu số 퐹 − 퐹 .  ȁ .Như vậy ta có: ׬ d = 퐹
3. ⓵ Tóm tắt lý thuyết ➋. Các tính chất của tích phân  Định lý: Giả sử các hàm số , liên tục trên 퐾 và , , là ba số bất kì thuộc 퐾. Khi đó ta có ➀ ;׬ d = 0 . ➁ ; ׬ d = − ׬ d . ➂ ; ׬ d + ׬ d = ׬ d . ➃ ; ׬ + d = ׬ d + ׬ d . ➄ .׬ d = ׬ d với ∈ ℝ.
4. ⓵ Tóm tắt lý thuyết . Phương pháp đổi biến số  = Ghi nhớ: Để tính tích phân = ׬ d nếu . ′ , ta có thể thực hiện phép đổi biến như sau: • Bước 1. Đặt 푡 = ⇒ d푡 = ′ d . = ⇒ 푡 = • Bước 2. Đổi cận: ቊ . = ⇒ 푡 = ( ) Bước 3. Thay vào, ta có = ׬ 푡 d푡 = 푡 ቮ • ( )
5. ⓵ Tóm tắt lý thuyết  Chú ý: Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân Dấu hiệu Có thể đặt 1 Có ( ) 푡 = ( ) 2 Có ( + )푛 푡 = + 3 Có ( ) 푡 = ( ) 4 Có 푣à ln 푡 = ln hoặc biểu thức chứa ln 5 Có 푒 푡 = 푒 hoặc biểu thức chứa 푒 6 Có sin 푡 = cos 7 Có cos 푡 = sin 8 Có 푡 = tan cos2 9 Có 푡 = cot sin2
6. ⓵ Tóm tắt lý thuyết  Định lý:  Cho hai hàm số và 푣 liên tục trên ; và có đạo hàm liên tục trên ; . 푣 = 푣 ቤ − 푣 ׬ ׬  Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện và d푣 Đặt න 푃( ). 푒 න 푃( ). cos න 푃( ). sin න 푃( ). 푙n u P(x) P(x) P(x) lnx dv 푒 표푠 푠푖푛 P(x) Ghi nhớ: đặt theo quy tắc ′′nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ′′.
7. ⓶ Phân dạng bài tập ①. Dạng 1: Tích phân dùng định nghĩa .Phương pháp: ȁ ( ׬ ( ) = 퐹( ) = 퐹( ) − 퐹( Nhận xét: Tích phân của hàm số từ a đến b có thể kí hiệu bởi ׬ ( ) hay ׬ (푡) 푡 . Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.  Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản thường gặp.
8. ⓷ Bài tập minh họa  .Câu . Tính tích phân ׬ Ⓐ. − . Ⓐ. . . Ⓐ. − . Ⓐ. + . . Lời giải: Ta có: ׬ = ቤ = − ❖  Chọn C
9. ⓷ Bài tập minh họa 0  +1 Câu . Giá trị của ׬−1 푒 bằng Ⓐ. 1 − 푒 . Ⓐ. 푒 − 1. Ⓐ.−푒. Ⓐ. 푒. . Lời giải: 0 ❖ +1 +1ȁ0 . Ta có ׬−1 푒 = 푒 −1 = 푒 − 1  Chọn B
10. ⓷ Bài tập minh họa 1  2020 Câu . Tích phân = ׬0 bằng 1 1 Ⓐ. . Ⓐ. 0. Ⓐ. . Ⓐ. 1. 2021 2019 . Lời giải: 1 1 2021 1 . = Ta có = ׬ 2020 = ฬ ❖ 0 2021 2021 0  Chọn A
11. ⓶ Phân dạng bài tập ② Dạng 2. Tích phân dùng tính chất .Phương pháp: Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên 퐾, , , là ba số bất kỳ thuộc 퐾. Khi đó ta có: ׬ ( ) = 0 .① .׬ ( ) = − ׬ ( ) .② ׬ ( ) = ׬ ( ) + ׬ ( ) .③ .׬ ( ) ± ( ) = ׬ ( ) ± ׬ ( ) .④ .׬ ( ) = . ׬ ( ) .⑤
12. ⓷ Bài tập minh họa 2 2  Câu . Cho biết ׬0 = 3 và ׬0 = −2. Tính tích 2 .phân = ׬0 2 + − 2 Ⓐ. = 11. Ⓐ. = 18.Ⓐ. = 5. Ⓐ. = 3. . Lời giải: 2 ❖ Ta có: = ׬0 2 + − 2 2 2 2 ׬0 2 + ׬0 − 2 ׬0 = = 4 + 3 − 2. −2 = 11.  Chọn A
13. ⓷ Bài tập minh họa 2  ;Câu . Cho hàm số liên tục trên ℝ và có ׬0 = 9 4 4 ?׬2 = 4. Tính = ׬0 9 Ⓐ. = . Ⓐ. = 36.Ⓐ. = 13. Ⓐ. = 5. 4 . Lời giải: 4 2 4 ❖ .Ta có ׬0 = ׬0 + ׬2 = 9 + 4 = 13  Chọn C
14. ⓷ Bài tập minh họa 1 5  Câu . Cho ׬0 = −2 và ׬1 2 = 6 khi đó 5 ׬0 bằng Ⓐ. 1. Ⓐ. 2.Ⓐ.4. Ⓐ. 3. . Lời giải: 5 5 ❖ Ta có ׬1 2 = 6 ⇔ ׬1 = 3 5 1 5 ׬0 = ׬0 + ׬1 = −2 + 3 = 1  Chọn A
15. ⓶ Phân dạng bài tập ③. Dạng 3: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c 훽 훽 1 훽 1 ( Dạng ①: I = ׬ = ׬ = ln + ฬ . (với a≠0 훼 + 훼 + 훼 훽 1 훽  Chú ý: I = ׬ = ׬ ( + )− . 훼 ( + ) 훼 1 1 = . ( + )− +1 ฬ 훽 = . ( + )− +1 ฬ 훽 1− 훼 1− 훼 1 = . ( + )− +1 ฬ 훽 (1− ) 훼
16. ⓶ Phân dạng bài tập ③. Dạng 3: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c 휷 풅풙 . Dạng②: 푰 = ׬ ≠ ( 2 + + ≠ 0 với mọi ∈ 훼; 훽 ),éΔ = 2 − 4 휶 풙 + 풙+ − + Δ − − Δ  Δ > 0,thì = ; = 1 2 2 2 1 훽 1 1 1 훽 = ׬ − = ln − 1 − ln − 2 ቤ ( 1− 2) 훼 − 1 − 2 ( 1− 2) 훼 1 − = ln 1 ቤ 훽 ( 1− 2) − 2 훼 1 1 −  Δ = 0 thì 2 = 2 0 = + + ( − 0) 2 훽 1 훽 1 thì I = ׬ = ׬ = − ฬ 훽 훼 2+ + 훼 ( − )2 ( − ) 훼 훽 훽 0 0  Δ < 0 thì = ׬ 2 = ׬ 2 훼 + + 훼 2 −Δ + + 2 4 2 −Δ 1 −Δ Đặt + = tan푡 ⇒ = 1 + tan2푡 푡 2 4 2 2 2
17. ⓶ Phân dạng bài tập ③. Dạng 3: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c 휷 풙+풏 +푛  Dạng ③: 푰 = ׬ 풅풙, ≠ .( ( ) = liên tục 휶 풙 + 풙+ 2+ + trên đoạn 훼; 훽 )  Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm và sao cho: +푛 ( 2+ + )′ (2 + ) = + = + 2+ + 2+ + 2+ + 2+ + 2+ + 훽 +푛 훽 (2 + ) 훽  Ta có I= ׬ = ׬ + ׬ 훼 2+ + 훼 2+ + 훼 2+ + 훽 (2 + ) 훽 Tích phân ׬ = ln 2 + + ȁ 훼 2+ + 훼 훽 .Tích phân ׬ thuộc dạng 2 훼 2+ +
18. ⓷ Bài tập minh họa 1 −1 3 .Câu . Cho biết ׬ = + 푙푛 , với , là các số nguyên 0 +2 2 Giá trị của biểu thức − 2 bằng Ⓐ. 6 Ⓐ. 3. Ⓐ.−5. Ⓐ. 7. . Lời giải: 1 −1 1 3 Ta có: ׬ = ׬ 1 − = − 3 푙푛 + 2 ȁ1 ❖ 0 +2 0 +2 0 3 = 1 − 3 푙푛 3 − 0 − 3 푙푛 2 = 1 − 3 푙푛 . 2 = 1  Suy ra ቊ . Vậy − 2 = 7. = −3  Chọn D
19. ⓷ Bài tập minh họa 1 Câu . Cho ׬ = + 푙푛 2 + 푙푛 3 với , , là các số hữu 0 2 +1 2 tỉ. Giá trị của + + bằng 1 5 1 1 Ⓐ. . Ⓐ. . Ⓐ.− . Ⓐ. . 12 12 3 4 . Lời giải: 1 1 1 2 +1−1 1 1 1 1 + Ta có׬ = ׬ = ׬ − (2 ❖ 0 2 +1 2 2 0 2 +1 2 4 0 2 +1 2 +1 2 1) 1 1 1 1 1 1 1 = 푙푛 2 + 1 + ቚ = 푙푛 3 + − 1 = 푙푛 3 − . 4 2 +1 0 4 3 4 6 1 1 1  Vậy + + = − + = . 6 4 12  Chọn A
20. ⓷ Bài tập minh họa 3 1−5 Câu . Cho ׬ = 푙푛 + , với , , là các số hữu 2 9 2−24 +16 tỷ. Giá trị của 9 + 11 + 22 bằng Ⓐ. 15. Ⓐ. −10. Ⓐ.7. Ⓐ. 9. . Lời giải: 5 17 3 1−5 3 1−5 3 − 3 −4 − Ta có ׬ = ׬ = ׬ 3 3 ❖ 2 9 2−24 +16 2 3 −4 2 2 3 −4 2 5 3 17 3 5 5 3 −4 17 5 3 −4 ׬ − ׬ = − ׬ − ׬ − = 3 2 3 −4 3 2 3 −4 2 9 2 3 −4 9 2 3 −4 2 5 17 1 5 5 2 17 = − 푙푛 3 − 4 + . ቚ = 푙푛 − 9 9 3 −4 2 9 11 22 5 2 17 ⇒ = , = , = − 9 11 22 5 2 17 ⇒ 9 + 11 + 22 = 9. + 11. − 22. = −10  Chọn C 9 11 22