Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 3: Phép chia số phức

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Bài 3: Phép chia số phức

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1 Họ nguyên hàm của hàm số = + 푠𝑖푛 là: 2 − 1 1 A. 푙푛 2 − 1 − 표푠 + . B. 푙푛 2 − 1 + 표푠 + 2 1 1 C. + 표푠 + D. 푙푛 2 − 1 − 표푠 + . 2 2 − 1 2 2 Bài giải Chọn D. Áp dụng công thức cơ bản của nguyên hàm ta có: 1 1 න + 푠𝑖푛 = 푙푛 2 − 1 − 표푠 + . 2 − 1 2
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Nếu න = 3 2 + 푙푛 + với ∈ 0; +∞ thì hàm số là 1 A. = 6 + . B. = 3 + 푙푛 2 . 1 C. = 6 − 푙푛 2 . D. = −6 + . 2 Bài giải Chọn A. Ta có න = 퐹 + ⇒ 퐹′ = 1 Do đó = 3 2 + 푙푛 ′ = 3 2 ′ + 푙푛 ′ = 6 + với ∈ 0; +∞ .
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 2 Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , (1) = 1 và (2) = 2. Tính = න ′( ) . 1 A. 푰 = . B. 푰 = . C. 푰 = − . D. 푰 = . Bài giải Chọn A. 2 2 ó: = න ′( ) = ቚ = 2 − 1 = 1. 1 1
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 2 2 Cho න ( ) = 5. Tính = න ( ) + 2 푠𝑖푛 . 0 0 흅 A. 푰 = + . B. 푰 = + 흅. C. 푰 = . D. 푰 = . Bài giải Chọn D. 2 2 2 . ó: = ׬0 ( ) + 2 푠𝑖푛 = ׬0 + 2 ׬0 푠𝑖푛 = 5 + 2.1 = 7
5. Ta có 13fxdx= 2 f( x)d x + LỚP 1 GIẢI TÍCH BÀI 3 23fxdx=3-1=2. 12 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 2 3 3 Cho න = 3, න = −1. Tính න . 1 2 1 A. 푰 = ퟒ. B. 푰 = −ퟒ. C. 푰 = . D. 푰 = − . Bài giải Chọn C. 3 2 3 ó: න = න + න = 3 − 1 = 2. 1 1 2
6. Ta có 13fxdx= 2 f( x)d x + LỚP 1 GIẢI TÍCH BÀI 3 23fxdx=3-1=2. 12 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 4 Tích phân = න 2 + 1 bằng: 0 ퟒ 17 A. 푰 = . B. 푰 = . C. 푰 = . D. 푰 = . 2 Bài giải Chọn A. 4 1 4 1 26 Ta có = න 2 + 1 = 2 + 1 . 2 + 1ቤ = 9 − = . 3 3 3 0 0 ( 표à𝑖 ò푛 ó 푡ℎể 푠ử ụ푛 )
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Cho , là các hàm số liên tục trên ; với < . Diện tích 푆 của hình thang cong giới hạn bởi , trên ; là: A. 푺 = න 풇(풙) − 품(풙) 풅풙 . B. 푺 = න 풇(풙) − 품(풙) 풅풙 . C. 푺 = න 풇(풙) − 품(풙) 풅풙 . D. 푺 = න 풇 (풙) − 품 (풙) 풅풙 . Bài giải Chọn B. ó: 푺 = න 풇(풙) − 품(풙) 풅풙 .
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Cho hình phẳng trong hình bên (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào trong các công thức sau đây? A. = න 2 − 2 . B. = න 2 − 2 . C. = න − 2 . D. = න − . Bài giải Chọn B. 2 2 Ta có: = න − .
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 Tìm hàm số ( ) biết /( ) = 2 + 1 và 1 = 5. 3 2 A. = + + 3. B. = + + 3. 3 2 2 C. = 2 + − 3. D. = + + 3. 2 Bài giải Chọn B. Ta có: = න ′ = න 2 + 1 = 2 + + . 2 Mà 1 = 5 nên = 3. Suy ra: = + + 3. 2
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Tìm nguyên hàm = 1 − 표푠 bằng cách đặt = 1 − , 푣 = 표푠 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. න ( ) = (1 − ) 푠𝑖푛 − 표푠 + . B. න ( ) = (1 − ) 표푠 + 푠𝑖푛 + . C. න ( ) = 푠𝑖푛 − ( 푠𝑖푛 + 표푠 ) + . D. න ( ) = (1 − ) 푠𝑖푛 + න푠𝑖푛 + . Bài giải Chọn B. Đặt = 1 − ⇒ = − . 푣 = 표푠 ⇒ 푣 = 푠𝑖푛 + . Chọn 푣 = 푠𝑖푛 . 푆 : න = 1 − 푠𝑖푛 + න푠𝑖푛 = 1 − 푠𝑖푛 − 표푠 + = 푠𝑖푛 − 푠𝑖푛 + 표푠 + .
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM −2018 Câu 11 Khi tính nguyên hàm ׬ , bằng cách đặt = + 1 +1 ta được nguyên hàm nào? A. න2 2 − 2019 B. න2 2 − 2019 2 C. න − 2019 D. න2 2 − 2018 . Bài giải Chọn B. = 2 Đặt = + 1, ≥ 0 nên 2 = + 1 ⇒ ቊ . = 2 − 1 − 2018 2 − 1 − 2018 Khi đó න = න . 2 = න2 2 − 2019 . + 1
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12 ?Biết ׬ 2 − 3 = 2. Khẳng định nào sau đây là đúng A. − = 2. B. 2 − 2 = 3 − 3 + 2. C. 2 − 2 = 3 − 3 + 2. D. − = 2. Bài giải Chọn C. Ta có: න 2 − 3 = 2 − 3 ቚ = 2 − 3 − 2 − 3 . Mà න 2 − 3 = 2 ⇔ 2 − 3 − 2 + 3 = 2 ⇔ 2 − 2 = 3 − 3 + 2.
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 13 Biết න = න + . Tích của 푃 = . . ( + 1)(2 + 1) + 1 2 + 1 A. 푷 = . B. 푷 = . C. 푷 = − . D.푷 = . Bài giải Chọn C . 2 + + + Ta có: = + = + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 + 1 2 + 1 Đồng nhất hệ số ta có hệ phương trình: 2 + = 1 = 1 ቊ ⇔ ቊ ⇒ = −1 + = 0 = −1
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 Câu 14 Tính tích phân = ׬ bằng cách đặt = 2 푠𝑖푛 푡 . Mệnh đề nào dưới đây 0 4− 2 đúng? 흅 흅 A. 푰 = න − 풐풔 풕 풅풕 . B. 푰 = න + 풐풔 풕 풅풕 . 흅 흅 C. 푰 = න − 풐풔 풕 풅풕 . D. 푰 = න − 풐풔 풕 풅풕 . Bài giải Chọn A. Đặt = 2 푠𝑖푛 푡 ⇒ = 2 표푠 푡 푡. 1 2 6 4 푠𝑖푛2 푡 . 2 표푠 푡 푡 6 6 = න = න = න 4 푠𝑖푛2 푡 푡 = න 2 1 − 표푠 2 푡 푡 2 0 4 − 0 2 표푠 푡 0 0 = 2푡 − 2 푠𝑖푛 2 푡 ȁ6 = − 3. 0 3
15. LỚP GIẢI TÍCH BÀI 3 xt= 2sin . 12 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 15 2 2 ?Biết tích phân ׬1 − 1 푙푛 = 푙푛 + ; , , ∈ ℝ. Khi đó + + bằng bao nhiêu A. . B. . C. 13 D. 0 Bài giải Chọn A. 1 Đặt = 푙푛 ⇒ = . 3 3 푣 = 2 − 1 ⇒ 푣 = − + . Chọn 푣 = − . 3 3 3 2 3 2 2 2 1 Ta có: ׬1 − 1 푙푛 = 푙푛 . − ฬ − ׬1 − . 3 1 3 2 2 2 2 2 2 2 26 . = 푙푛 2 − ׬ − 1 = 푙푛 2 + . Suy ra: = , = 2, = , + + = 3 1 3 3 9 3 9 9
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 16 푒 푒 ( ) .Cho tích phân = ׬ ′( ) 푙푛 = 2, (푒) = 8. Tính tích phân 퐽 = ׬ 1 1 A. 푱 = . B. 푱 = . C. 푱 = − D. 푱 = − . Bài giải Chọn A. = = ′ Đặt ቐ 1 ⇒ ቊ . 푣 = 푣 = 푙푛 ȁ푒 푒 ′ .Suy ra: 퐽 = 푙푛 . 1 − ׬1 푙푛 = 푒 − 2 = 6
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = 2 − 1 và = − 2 + 2 + 3 không được tính bằng công thức nào sau đây? − A. 푺 = න (−풙 − 풙 + )풅풙 . B. 푺 = න ( 풙 − 풙 − ퟒ)풅풙 . − න . C. 푺 = (풙 − ) − (−풙 + 풙 + ) 풅풙 . D. 푺 = ׬− 풙 − 풙 − ퟒ 풅풙 − Bài giải Chọn A. = −1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 − 1 = − 2 + 2 + 3 ⇔ ቈ . = 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường = 2 − 1 và = − 2 + 2 + 3 là: 2 2 2 2 2 −1 2 .푆 = ׬−1 − 1 + − 2 − 3 = ׬−1 2 − 2 − 4 = ׬2 2 − 2 − 4 .
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 18 Giả sử hàm số = liên tục, nhận giá trị dương trên 0; +∞) và thỏa mãn 0 = 푒, = ′ . 2 + 1 , với mọi ≥ 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. < 풇 < . B. < 풇 < . C. ퟒ < 풇 < . D. < 풇 < ퟒ. Bài giải Chọn A. Hàm số = liên tục, nhận giá trị dương trên 0; +∞). ′ 1 ′ 1 Ta có = ′ . 2 + 1 ⇔ = ⇒ ׬ = ׬ 2 +1 2 +1 1 1 ⇔ න = න ⇔ 푙푛 = 푙푛 2 + 1 + 2 + 1 2 1 ⋅푙푛 2 +1 + ⇔ = 푒2 = 2 + 1. 푒 Mà 0 = 푒 nên 푒 = 푒 ⇔ = 1. 3 3 Suy ra = 2푒 ≈ 5,43656 ⇒ 5 < < 6. 2 2
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 19 Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn 0 = 3và 2 . ′ = 표푠 . 1 + 2 , ∀ ∈ 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 2 nhất của hàm số trên đoạn ; . 6 2 5 21 B. = , = 3. A. = , = 2 2. 2 2 5 C. = , = 3. D. = 3, = 2 2. 2
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Bài giải Chọn A. ( ) ′( ) . ′ Từ giả thiết . ′ = 표푠 . 1 + 2 = = 표푠 ⇒ ׬ = 푠𝑖푛 + 1+ 2( ) 1+ 2 Đặt 푡 = 1 + 2 ⇒ 푡2 = 1 + 2 ⇒ 푡 푡 = ′ . .Thay vào ta được ׬ 푡 = 푠𝑖푛 + ⇒ 푡 = 푠𝑖푛 + ⇒ 1 + 2 = 푠𝑖푛 + Do 0 = 3 ⇒ = 2. Vậy 1 + 2 = 푠𝑖푛 + 2 ⇒ 2 = 푠𝑖푛2 + 4 푠𝑖푛 + 3 ⇒ = 푠𝑖푛2 + 4 푠𝑖푛 + 3, vì hàm số liên tục, không âm trên đoạn 0; . 2 1 Ta có ≤ ≤ ⇒ ≤ 푠𝑖푛 ≤ 1, xét hàm số 푡 = 푡2 + 4푡 + 3 có hoành độ đỉnh 푡 = −2 loại. 6 2 2 1 21 Suy ra 푡 = 1 = 8, 𝑖푛 푡 = = . 1 1 2 4 ;1 ;1 2 2 21 Suy ra = = 2 2, 𝑖푛 = = . 2 6 2 ; ; 6 2 6 2
21. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 20 2 .Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 0; 2 và thỏa mãn 2 = 16, ׬0 = 4 1 ′ .Tính tích phân = ׬0 . 2 A. 푰 = B. 푰 = . C. 푰 = . D. 푰 = . Bài giải Chọn C . 푡 = 2 1 2 Đặt 푡 = 2 ⇒ ቐ 푡 + Đổi cận: = 0 ⇒ 푡 = 0; = 1 ⇒ 푡 = 2 ⇒ = ׬ 푡. ′ 푡 푡 + = 4 0 2 = 푡 = 푡 1 2 2 1 .Đặt ቊ ⇒ ቐ ⇒ = 푡. 푡 ቤ − ׬ 푡 푡 = 2 2 − 4 = 7 푣 = ′ 푡 푡 4 0 4 푣 = 푡 0
22. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 21 1 2 Cho hàm số liên tục trên ℝ và các tích phân ׬4 푡 푛 = 4 và ׬ = 2, tính 0 0 2+1 1 .tích phân = ׬0 A. 푰 = B. 푰 = . C. 푰 = . D. 푰 = . Bài giải Chọn B . 푡 푛 .Xét = ׬4 푡 푛 = ׬4 1 + 푡 푛2 0 0 1+푡 푛2 Đặt = 푡 푛 ⇒ = 1 + 푡 푛2 . Khi = 0 thì = 0; khi = thì = 1. 4 1 1 1 .Nên = ׬ = ׬ . Suy ra ׬ = 4 0 1+ 2 0 1+ 2 0 1+ 2 1 2 1 2+1 −1 1 1 .Mặt khác ׬ = ׬ = ׬ − ׬ 0 2+1 0 2+1 0 0 1+ 2 1 1 .Do đó 2 = ׬0 − 4 ⇔ ׬0 = 6
23. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 22 Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m). Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 (m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) A.3.895.000 (đồng) B.1.948.000 (đồng) C. 2.388.000 (đồng) D. 1.194.000 (đồng)
24. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài giải Chọn B . Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. 2 Khi đó phương trình nửa đường tròn là = 푅2 − 2 = 2 5 − 2 = 20 − 2. Phương trình parabol 푃 có đỉnh là gốc sẽ có dạng = 2. Mặt khác 푃 qua điểm 2; 4 do đó: 4 = −2 2 ⇒ = 1. Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 푃 và nửa đường tròn.(phần tô màu) 2 2 2 2 . Ta có công thức 푆1 = ׬−2 20 − − ≅ 11,94 Vậy phần diện tích trồng cỏ là: 1 푆 = 푆 − 푆 ≈ 19,47592654 푡 표푛 표 2 ℎ𝑖푛ℎ푡 표푛 1 Vậy số tiền cần có là: 푆푡 표푛 표 × 100000 ≈ 1.948.000 (đồng).
25. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 23 2+2 −1 Cho hàm số có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn ′ − = 2 + 1 푒 2 , ∀ ∈ ℝ và 1 = 푒. Giá trị của 5 bằng A. 3푒12 − 1. B. 5푒17. C. 5푒17 − 1. D. 3푒12. Bài giải Chọn B . 2+2 −1 2−1 Ta có: ′ − = 2 + 1 푒 2 ⇔ ′ 푒− − 푒− = 2 + 1 푒 2 2 ′ −1 ⇔ 푒− = 2 + 1 푒 2 . 5 5 2 5 2 5 2 ′ −1 5 −1 −1 ⇒ න 푒− = න 2 + 1 푒 2 ⇔ 푒− ቚ = න 2푒 2 + න 푒 2 1 1 1 1 1 −5 ⇔ 푒 5 − 1 = 1 + 2 ∗ 2 2−1 2−1 5 −1 2 = 푒 2 = 푒 2 . Xét: 2 = ׬1 푒 Đặt: ൝ ⇒ ൝ 푣 = 푣 = 2 5 2 −1 5 −1 2 ቚ 2 2 12 −5 12 17 . 2 = 푒 1 − ׬1 푒 = 5푒 − 1 − 1 ∗ ⇔ 푒 5 − 1 = 5푒 − 1 ⇔ 5 = 5푒
26. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 24 Cho hàm số xác định và liên tục trên ℝ. Gọi là một nguyên hàm của hàm số = 2 2 2 Biết rằng ׬ = 1 và 2 2 − 1 = 2. Tích phân ׬ bằng . + 2 1 1 + 2 A. 푰 =1,5 B. 푰 = . C. 푰 = . D. 푰 = . Bài giải Chọn B . Vì là một nguyên hàm của hàm số = nên ′ = . + 2 + 2 2 2 2 .Đặt = ׬ ⇒ = ׬ ′ 1 + 2 1 = = Đặt ቊ ⇒ ቊ . 푣 = ′ 푣 = 2 2 .Khi đó = ቤ − ׬ = 2 2 − 1 − 1 = 1 1 1
27. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 25 Cho hàm số ( ) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn 2 ( ) + 3 (1 − ) = 1 − , với mọi ∈ 2 Tích phân ׬ ′ bằng .[1 ;0] 0 2 16 4 4 16 A. − . B. − . C. − . D. − . 75 25 75 25
28. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài giải Chọn A . Đặt 1 − = ⇒ = 1 − . Khi đó ta có hệ. 2 + 3 1 − = 1 − 1 ൝ ⇒ = 3 1 − − 2 1 − . 3 + 2 1 − = 1 − 5 1 Đặt 푡 = ⇒ 푡 = ; = 0 ⇒ 푡 = 0; = 2 ⇒ 푡 = 1. Khi đó tích phân cần tính: 2 2 1 1 1 1 1 = න 2푡. ′(푡)2 푡 = 4 න 푡. ′(푡) 푡 = 4 න 푡 ( (푡)) = 4 푡 (푡) ቤ − න (푡) 푡 0 0 0 0 0 1 1 1 −4 −16 . = . (1) − ׬ ( ) = 4 0 − ׬ 3 1 − − 2 1 − = 4 4 = 0 0 5 75 75
29. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài Số Phức.