Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 2)

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀIBÀI 3 1 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 1 Phương pháp đổi biến số ĐỊNH LÝ 1: Nếu ׬ d = 퐹 + và = ( ) là hàm số có đạo hàm liên tục thì .׬ ′ d = 퐹 + 1 .  HỆ QUẢ : Với = + ≠ 0 , 푡 ó ׬ + d = 퐹 + +  1 1 1 . ׬ + 푛d = . + 푛+1 + 푛 ≠ −1 ׬ d = ln + + 푛+1 + 1 1 훼 + . ׬ 푒( + )d = 푒 + + . ׬ 훼 + d = + 푙푛훼 1 1 .׬ sin + d = − cos + + . ׬ cos + d = sin + d + 1 1 1 1 ׬ d = tan( + ) + ׬ d = − cot + + 표푠2( + ) 푠푖푛2( + )
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1 ׬(2 − 3)7d 2) ׬ 31−2 d 3) ׬ d (1 3+2 ׬ 푒4−5 d 5) ׬ sin 3 − 2 d 6) ׬ cos 3 − 4 d (4 1 1 ׬ d 8) ׬ π d (7 표푠2 2 + sin2 −3x 4 3 Bài giải 7 1 1 1) න(2 − 3) d = (2 − 3)8+ = (2 − 3)8+ . 2.8 16 1−2 1 31−2 2) න 3 d = − + . 2 ln3 1 1 3) න d = ln 3 + 2 + . 3 + 2 2 1 4) න 푒4−5 d = − 푒4−5 + . 5
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau 1 ׬(2 − 3)7d 2) ׬ 31−2 d 3) ׬ d (1 3+2 ׬ 푒4−5 d 5) ׬ sin 3 − 2 d 6) ׬ cos 3 − 4 d (4 1 1 ׬ d 8) ׬ π d (7 표푠2 2 + sin2 −3x 4 3 Bài giải 1 5) න sin 3 − 2 d = − cos 3 − 2 + . 3 −1 6) න cos 3 − 4 d = sin 3 − 4 + . 4 1 1 7) න d = tan 2 + + . 표푠2 2 + 2 4 4 1 1 8) න d = − cot − 3 + C. sin2 − 3 3 3 3
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC 2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Các bước tính ׬ 풇 풙 퐝풙 bằng phương pháp đổi biến số + Đặt 푡 = . + Tính d푡 = ′ d + Biến đổi d theo 푡 và d푡. Tính nguyên hàm mới theo 푡 + Thay 푡 = ( ) để được kết quả theo biến
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau ln +2 . = ׬ d (2 2020 = ׬ + 2 d (1 Bài giải 1) Đặt 푡 = + 2 ⇒ d푡 = d = න ( + 2)2020d = න(푡 − 2)푡2020d푡 = න(푡2021 − 2푡2020)d푡 푡2022 2푡2021 ( + 2)2022 2( + 2)2021 = − + = − + 2022 2021 2022 2021 1 2) Đặt 푡 = ln + 2 ⇒ d푡 = 2 2 ln +2 푡 (ln + 2) = ׬ d = න 푡d푡 = + = + 2 2
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀIBÀI 3 1 1 PHÉPNGUYÊNNGUYÊN CHIA SỐ HÀM HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau 2+2 −3 3 +3 (2 +1) . = ׬ d . 2) = ׬ d . 3) = ׬ d (1 +2 − 2− +2 2+ +1 Bài giải 2+2 −3 3 1 . = ׬ d = ׬ − d = 2 − 3ln + 2 + (1 +2 +2 2 3 +3 2 1 = ׬ d = ׬ − d (2 − 2− +2 1− +2 = −2ln 1 − − ln + 2 + = −ln 1 − 2 − ln + 2 + = −ln 1 − 2 + 2 + 3) Đặt 푡 = 2 + + 1 ⇒ d푡 = 2 + 1 d (2 +1) d푡 = ׬ d = ׬ = ln 푡 + = ln 2 + + 1 + ⇒ 2+ +1 푡
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀIBÀI 3 1 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính nguyên hàm của các hàm số 표푠 = ׬ 푠푖푛2020 표푠 d = ׬ 표푠3 d = ׬ d 1 2 3 9−2푠푖푛 Bài giải 2020 1 = න 표푠 푠푖푛 d Đặt 푡 = 표푠 ⇒ d푡 = −푠푖푛 d ⇒ 푠푖푛 d = −dt 푡2021 표푠2021 = − න 푡2020d푡 = − + = − + 1 2021 2021
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính nguyên hàm của các hàm số 표푠 = ׬ 푠푖푛2020 표푠 d = ׬ 표푠3 d = ׬ d 1 2 3 9−2푠푖푛 Bài giải 3 2 2 2 = ׬ 표푠 d = ׬ 표푠 . 표푠 d = ׬(1 − 푠푖푛 ). 표푠 d Đặt 푡 = 푠푖푛 ⇒ d푡 = 표푠 d 2 1 3 1 3 2=׬ 1 − 푡 d푡 = 푡 − 푡 + = 푠푖푛 − 푠푖푛 + 3 3
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính nguyên hàm của các hàm số 표푠 = ׬ 푠푖푛2020 표푠 d = ׬ 표푠3 d = ׬ d 1 2 3 9−2푠푖푛 Bài giải 표푠 = න d 3 9 − 2푠푖푛 Đặt 푡 = 푠푖푛 ⇒d푡 = 표푠 d d푡 1 1 3 = න d푡 = − ln|9 − 2푡| + = − ln(9 − 2푠푖푛 ) + 9 − 2푡 2 2
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: 1 Tìm một nguyên hàm 퐹 của hàm số = biết 퐹 0 = 2. 1+푒− Bài giải 1 푒 Ta có ׬ − d =׬ d 1+푒 1+푒 Đặt 푡 = 1 + 푒 ⇒d푡 = 푒 d 푒 d푡 Do đó F = ׬ d =׬ =ln 푡 +C =ln 푒 + 1 +C 1+푒 푡 Mà 퐹 0 = 2 nên suy ra ln2 + C = 2 ⇔C = 2 − ln2 Vậy 퐹 = ln 푒 + 1 + 2 − ln2
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 5: Cho hàm số ( ) liên tục và có đạo hàm trên 0; 1 thỏa mãn ′ = 2 . 푒− ( ) và 0 = 0. Tính 1 . Bài giải ′( ) Ta có ′ = 2 . 푒− ( ) ⇒ = 2 ⇔푒 . ′( ) = 2 푒− ( ) ′ ′ 2 ∗ ׬ 푒 . d = ׬ 2 d ⇔׬ 푒 . d = + 1⇒ Đặt 푡 = 푒 ( ) ⇒d푡 = 푒 . ′ d ′ ( ) ⇒ න 푒 . d = න d푡 = 푡 + 2 = 푒 + 2 Do đó ∗ ⇔푒 ( ) = 2 + ⇔ ( ) = 푙푛 2 + mà 0 = 0 ⇒ ln( ) = 0 ⇒ = 1 Vậ ( ) = 푙푛 2 + 1 ⇒ (1) = 푙푛2
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) liên tục và không âm trên 0; thỏa mãn . ′ = 표푠 1 + 2( ) với mọi 2 ∈ 0; và 0 = 3. Tính 2 2 Bài giải . ′ . ′ = 표푠 1 + 2( ) ⇒ = 표푠 1 + 2( ) . ′ ⇒ න d = න 표푠 d = 푠푖푛 + 1 ∗ 1 + 2( ) . ′ Đặt 푡 = 1 + 2( ) ⇒ d푡 = d 1+ 2( ) . ′ ׬ d = ׬ d푡 = 1 + 2( ) + ⇒ 1+ 2( ) = 푡 + 2 2 Do đó (∗)⇔ 1 + 2( ) = 푠푖푛 + mà 0 = 3 ⇒ = 2 ⇒ 1 + 2( ) = 푠푖푛 + 2 ⇒ = (푠푖푛 + 2)2−1. Vậ = 2 2. 2
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
15. LỚP BÀI 1 NGUYÊN HÀM 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = (2 − 3 )10 11 (2−3 )11 (2−3 ) B. 퐹 = + A. 퐹 = + 33 11 11 (2−3 )11 (2−3 ) C. 퐹 = − + D. 퐹 = − + 3 33 Bài giải 11 11 10 1 (2 − 3 ) 2 − 3 න(2 − 3 ) d = . + = − + −3 11 33 Chọn D.
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 푒3+2 3+2 1 A. 퐹 = 푒 + B. 퐹 = 푒3+2 + 3 푒3+2 푒 C. 퐹 = + C. 퐹 = + 2 2 Bài giải 푒3+2 න 푒3+2 d = + 2 Chọn C.
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 푠푖푛 − 3 4 1 1 A. 퐹 = 표푠 − 3 B. 퐹 = − 표푠 − 3 3 4 3 4 C. 퐹 = 3 표푠 − 3 D. 퐹 = 표푠 − 3 + 4 4 Bài giải 1 1 න 푠푖푛 − 3 d = − . 표푠 − 3 = 표푠 − 3 4 −3 4 3 4 Chọn A.
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 2 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 5−3 −2 1 A. 퐹 = 푙푛 5 − 3 + B. 퐹 = − 푙푛 5 − 3 + 3 3 −2 C. 퐹 = 푙푛 5 − 3 + D. 퐹 = 푙푛 5 − 3 + 3 Bài giải 2 2 න d = . 푙푛 5 − 3 + 5 − 3 −3 Chọn A.
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 3 2 Tìm một nguyên hàm 퐹( ) của hàm số = thỏa mãn 퐹 −3 3 = 2. 3+4 A. 퐹 = 푙푛 3 + 4 + 1 B. 퐹 = 푙푛 3 + 4 + 2 3 C. 퐹 = 푙푛 3 + 4 − 1 D. 퐹 = 푙푛 + 4 − 2 Bài giải 3 Mà 퐹 − 3 = 2⇒ln1 + C = 2 Đặt 푡 = 3 + 4 ⇒d푡 = 3 2d ⇒C = 2 3 2 d푡 ⇒ න d = න = 푙푛 푡 + 3 3 + 4 푡 ⇒퐹 = 푙푛 + 4 + 2 Chọn B. = 푙푛 3 + 4 +
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 d .Biết , 푛, ∈ ℝ thỏa mãn ׬ = (3 − 2 )푛+ trong đó là phân số tối giản (3−2 )5 Tính + 푛 + . A. 2. B. −1. C. 5. D. 4. Bài giải d 1 3 − 2 −4 1 න = න(3 − 2 )−5d = − . + = . (3 − 2 )−4+ (3 − 2 )5 2 −4 8 ⇒ = 1, 푛 = −4; = 8. Vậ + 푛 + = 5. Chọn C.
21. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 3 2 + 1. 3 3 3 A. 퐹 = 3 2 + 1 4 + B. 퐹 = 2 + 1 4 + 8 4 3 3 3 C. 퐹 = 3 2 + 1 4 + D. 퐹 = 2 + 1 + 2 8 Bài giải 3 3 Đặt 푡 = 2 + 1⇒ 푡3 = 2 + 1 ⇒ 3푡2d푡 = 2 ⇒ d = 푡2d푡 2 3 3 3 3 3 න 2 + 1d = න 푡. 푡2d푡 = න 푡3d푡 = 푡4 + = 3 2 + 1 4 + 2 2 8 8 Chọn A.
22. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 3 Tìm một nguyên hàm 퐹 của hàm số = 2. 푒 +1 thỏa mãn 퐹 −1 = 1. 3 3 푒 +1 2 B. 퐹 = 푒 +1 A. 퐹 = + 33 3 3+1 푒 +1 푒 C. 퐹 = − 1 D. 퐹 = + 1 3 6 Bài giải d푡 Đặt 푡 = 3 + 1 ⇒ d푡 = 3 2d ⇒ 2d = 3 3 1 1 1 3 න 2. 푒 +1 d = න 푒푡d푡= 푒푡 + = 푒 +1 + 3 3 3 3 1 2 푒 +1 2 à 퐹 −1 = 1 ⇒ + = 1⇒ = . Vậy 퐹 = + . Chọn A. 3 3 3 3
23. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 ln 2+1 Tìm một nguyên hàm 퐹 của hàm số = thỏa mãn 퐹 0 = 1 2+1 1 1 A. 퐹 = ln2 2 + 1 B. 퐹 = ln2 2 + 1 + 1 4 2 1 1 C. 퐹 = ln2 2 + 1 +1 D. 퐹 = ln 2 + 1 + 1 4 4 Bài giải 2 d푡 Đặt 푡 = ln 2 + 1 ⇒d푡 = d ⇒ d = 2+1 2+1 2 ln 2 + 1 푡d푡 푡2 ln2 2 + 1 න = න = + = + 2 + 1 2 4 4 1 mà 퐹 0 = 1⇒ = 1. Vậy 퐹 = ln2 2 + 1 + 1. Chọn C. 4
24. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 푒 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 푒2 −3푒 +2 푒 +2 푒 −2 A. 퐹 = ln + B. 퐹 = ln + 푒 −1 푒 −1 푒 −1 푒 +2 C. 퐹 = ln + D. 퐹 = ln + 푒 −2 푒 +1 Bài giải Đặt 푡 = 푒 ⇒ d푡 = 푒 d 푒 d d푡 1 1 න = න = න − d푡= ln 푡 − 2 − ln 푡 − 1 + 푒2 − 3푒 + 2 푡2 − 3푡 + 2 푡 − 2 푡 − 1 푒 − 2 = ln 푒 − 2 − ln 푒 − 1 + = ln + 푒 − 1 Chọn B.
25. LỚP BÀI 1 NGUYÊN HÀM 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 11 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 푠푖푛3 . 표푠2 3 5 표푠3 표푠5 표푠 표푠 A. 퐹 = + + B. 퐹 = − + + 3 5 3 5 3 5 표푠3 표푠5 표푠 표푠 C. 퐹 = − + D. 퐹 = − − + 3 5 3 5 Bài giải Đặt 푡 = 표푠 ⇒ d푡 = −sin d ⇒ sin d = −d푡 න 푠푖푛3 . 표푠2 d = න(1 − 표푠2 ). 표푠2 . 푠in d = − න(1 − 푡2). 푡2. d푡 푡3 푡5 표푠3 표푠5 = − න(푡2 − 푡4). d푡 = − + + = − + + 3 5 3 5 Chọn B.
26. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12 Tìm một nguyên hàm 퐹 của hàm số = 푠푖푛5 1 − 푠푖푛2 표푠 thỏa mãn 퐹 0 = 1. 6 8 푠푖푛6 푠푖푛8 푠푖푛 푠푖푛 A. 퐹 = − − 1. B. 퐹 = − + + 1. 6 8 6 8 6 8 푠푖푛6 푠푖푛8 푠푖푛 푠푖푛 C. 퐹 = − + 1. D. 퐹 = + + 1. 6 8 6 8 Bài giải Đặt 푡 = 푠푖푛 ⇒ d푡 = cos d 푡6 푡8 න 푠푖푛5 1 − 푠푖푛2 표푠 d = න 푡5 1 − 푡2 d푡 = න 푡5 − 푡7 d푡 = − + 6 8 푠푖푛6 푠푖푛8 = − + . 6 8 푠푖푛6 푠푖푛8 Mà 퐹 0 = 1 ⇒ = 1 ⇒ 퐹 = − + 1. Chọn C. 6 8
27. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 13 Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn các điều kiện 0 = 2, > 0, ∀ ∈ ℝ và 2 2+ 2 . ′( ) 2 = 2 + 2( ) 3, ∀ ∈ ℝ. Tính 1 . 2 A. 142. B. 42. C. 14. D. 142. Bài giải 2 . ′( ) d푡 2 2 ⇒ න d = න = − + 2 2 + 2 + 2( ) 3 푡3 푡 Chọn2 . A. ′( ) 2 = 2 + 2( ) 3 2 2 2 . ′( ) = − + 2 ⇔ = 2 + 2 + 2( ) 2 + 2( ) 3 2 3 2 Do đó ∗ ⇔ − 2 = + + 2 . ′( ) 3 2 2+ 3 2 ⇒ න d = + + 1 ∗ Mà 0 = 2 suy ra = −1 2 + 2( ) 3 3 2 2 3 2 ⇒ − = + − 1⇒ 1 = 142 Chọn D. Đặt 푡 = 2 + 2( )⇒ 2 . ′ d = d푡 2+ 2 3 2
28. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 14 Cho hàm số ( ) liên tục trên 0; 1 thỏa mãn các điều kiện 0 = 0, > 0, ∀ ∈ ℝ và ( ). ′( ) ( + 1) = 2 + 1, ∀ ∈ 0; 1 . Tính 1 . A. 2 − ln2 2 − 1 B. ln2 + 1. C. 2 + ln2 2 − 1 D. 2 + 1. . . Bài giải ( ). ′ d 푡d푡 ⇒ න = න = න d푡 = 푡 + 2 ( ). ′( ) ( + 1) = 2 + 1 2 + 1 푡 ′ ( ). ( ) 1 2 ⇔ = = 1 − = + 1 + 2 2 + 1 + 1 + 1 Do đó ∗ ⇔ 2 + 1 = − ln + 1 + . ( ). ′ d ⇒ න = − ln + 1 + 1 ∗ . Theo giả thiết 0 = 0suy ra = 1. 2 + 1 Ta có 2 + 1 = − ln + 1 + 1 Đặt 푡 = 2 + 1 ⇒ . ′ d = 푡d푡 ⇒ 1 = 2 − ln2 2 − 1. Chọn A.
29. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀIBÀI 3 1 PHÉPNGUYÊN CHIA SỐ HÀM PHỨC DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước phương pháp nguyên hàm từng phần