Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 4)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 4)

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM (tiết 4) – LUYỆN TẬP I LÝ THUYẾT II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM I LÝ THUYẾT 1. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Cần nhớ 1 ׬ = . 푙푛 − + ≠ 1 • ׬ = − . + • − − −1 − −1 푷(풙) Phương pháp chung: 풇(풙) = 푸(풙) – Nếu bậc của 푷(풙) ≥ bậc của 푸( 풙) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của 푷(풙) < bậc của 푸( 풙) và푸( 풙) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích 풇(풙) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). 1 Chẳng hạn: = + ( − )( − ) − − 1 + 2 = + , với 훥 = − 4 < 0 ( − )( 2+ + ) − 2+ + 1 = + + + ( − )2( − )2 − ( − )2 − ( − )2
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM 2. NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN Phương pháp: ׬ ( ) - Nếu ( ) có dạng: ( ) = ( ) . ′( ) thì ta đặt 푡 = ⇒ 푡 = ′( ) . .Khi đó:׬ ( ) = ׬ (푡) 푡, trong đó ׬ (푡) 푡 dễ dàng tìm được - .(Chú ý: Sau khi tính ׬ (푡) 푡 theo t, ta phải thay lại 푡 = (
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: 2 −1 Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số = trên khoảng −1; +∞ . +1 2 Bài giải 2 −1 2 +1 −3 Ta có ׬ = ׬ +1 2 +1 2 2 −3 = න + න + 1 + 1 2 3 = 2 푙푛 + 1 + + + 1
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( ) = 1 + 2. Bài giải Đặt: 푡 = 1 + 2 ⇒ 푡2 = 1 + 2 ⇒ 푡. 푡 = . 푡3 Khi đó: I = ׬ 푡. 푡. 푡 = ׬ 푡2 푡 = + 3 1 3 Suy ra: I = 1 + 2 + 3
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: 1 Cho 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = thỏa mãn 퐹 0 = 10. Tìm 2푒 +3 퐹 . Bài giải 1 푒 퐹 = න = න = න 2푒 + 3 2푒 + 3 푒 Đặt 푡 = 푒 ⇒ 푡 = 푒 1 1 1 2 1 푡 1 푒 Suy ra 퐹 = ׬ 푡 = න − 푡 = 푙푛 + = 푙푛 + 2푡+3 푡 3 푡 2푡 + 3 3 2푡 + 3 3 2푒 + 3 1 1 푙푛 5 Vì 퐹 0 = 10 nên 푙푛 + = 10⇔ = 10 + 3 5 3 1 푒 푙푛 5 Vậy 퐹 = 푙푛 + 10 + 3 2푒 +3 3
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM Ví dụ 4: 1 Cho hàm số xác định trên ℝ\ 1 thỏa mãn ′ = , − 1 0 = 2017, 2 = 2018. Tính 푆 = 3 − −1 . Bài giải 1 Trên khoảng 1; +∞ ta có න ′ = න = 푙푛 − 1 + − 1 1 ⇒ = 푙푛 − 1 + 1, mà (2) = 2018 ⇒ 1 = 2018 1 Trên khoảng −∞; 1 ta có න ′ = න = 푙푛 1 − + − 1 2 ⇒ = 푙푛 1 − + 2, mà (0) = 2017 ⇒ 2 = 2017 푙푛( − 1) + 2018 khi > 1 3 = 푙푛2 + 2018 ⇒ = ቊ ⇒ ቊ ⇒ 3 − −1 = 1 푙푛( 1 − ) + 2017 khi < 1 −1 = 푙푛2 + 2017
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 3 Tìm họ nguyên hàm của hàm số = 2푒 +1 3 3 1 3 3 3+1 B. 3푒 +1 + . C. 푒 +1 + . D. 푒 +1 + . A. 푒 + . 3 3 Bài giải Đặt 푡 = 3 + 1 ⇒ 푡 = 3 2 3 1 Do đó, ta có : න = න 2푒 +1 = න 푒푡. 푡 3 1 1 3 = 푒푡 + = 푒 +1 + 3 3 1 3 Vậy න = 푒 +1 + . 3
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 1 − 1 − Giả sử න 1 − 2017 = − + với , là các số nguyên dương. Tính 2 − bằng: A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020. Bài giải Đặt 푡 = 1 − 1 − 2018 1 − 2019 − + + ⇒ = 1 − 푡 푣à = − 푡 2018 2019 Do đó න 1 − 2017 = − න(1 − 푡)푡2017 푡 Vậy = 2019, = 2018 ⇒ 2 − = 2020. 푡2018 푡2019 = − න(푡2017 − 푡2018) 푡 = − + + 2018 2019
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 2 + 3 1 Giả sử = න = − + ( là hằng số). + 1 + 2 + 3 + 1 Tính tổng các nghiệm của phương trình = 0. A. − 1. B. 1. C. 3. D. − 3. Bài giải 2 Ta có: + 1 + 2 + 3 + 1 Vậy = + 3 + 1. 2 2 = + 3 + 3 + 2 + 1 = 0 ⇔ 2 + 3 + 1 = 0 2 2 = + 3 + 1 −3 + 5 −3 − 5 ⇔ = hoặc = . 2 2 Đặt 푡 = 2 + 3 , khi đó 푡 = 2 + 3 . Vậy tổng tất cả các nghiệm của 푡 1 1 = න = − + = − + PT bằng − 3. 푡 + 1 2 푡 + 1 2 + 3 + 1
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 2 − 13 Cho biết න = 푙푛 + 1 + 푙푛 − 2 + , , nguyên dương. 2 − − 2 Mệnh đề nào sau đây đúng? A. + = . B. + = . C. − = . D. − = . Bài giải 2 − 13 2 − 13 5 3 Ta có න = න = න − 2 − − 2 + 1 − 2 + 1 − 2 = 5 푙푛 + 1 − 3 푙푛 − 2 + = 5 Vậy ቊ ⇒ − = 8. = −3
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 + 1 2 Gọi 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = , biết rằng + 2 1 퐹 −1 = . Tính 퐹 2 2 A. 퐹 2 = 2 + 푙푛 2 . B. 퐹 2 = 2 1 − 푙푛 2 . C. 퐹 2 = 2 1 + 푙푛 2 . D. 퐹 2 = 4. Bài giải 2 + 1 2 2 + 2 + 1 + 2 + 1 1 Suy ra 퐹 = + 푙푛 + 2 Ta có = = = + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 1 2 ⇒ 퐹 2 = 2 + 푙푛 4 = 2 1 + 푙푛 2 ⇒ 퐹 = න + = + 푙푛 + 2 + + 2 2 1 −1 2 1 Theo gt 퐹 −1 = ⇔ + 푙푛 −1 + 2 + = 2 2 2 ⇔ = 0
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Cho hàm số thỏa mãn ′ 2 + . ′′( ) = 3 − 2 , ∀ ∈ ℝ và 0 = ′ 0 = 1. Tính giá trị của = 2 2 . 43 16 43 26 A. . B. . C. . D. . 30 15 15 15 ′ Bài giải 1 4 ⇔ 2 = − 2 + 1 Ta có: ′ 2 + . ″ = 3 − 2 2 4 1 5 3 ⇔ 2 = − + + ⇔ . ′ ′ = 3 − 2 2 20 3 1 1 4 Ta có 0 = 1 nên = ⇔ . ′ = − 2 + 1 2 4 1 5 3 1 ′ ⇒ 2 = − + + Vì 0 = 0 = 1 nên = 1 2 20 3 2 4 5 3 2 43 ⇒ . ′ = − 2 + 1 ⇔ 2 = − + 2 + 1 ⇒ 2 2 = . 4 10 3 15
15. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM + Câu 7 Biết luôn có hai số và để 퐹 = , 4 − ≠ 0 là nguyên hàm của hàm +4 số và thỏa mãn 2 2 = 퐹 − 1 ′ . Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất? A. = 1, = 4. B. = 1, = −1. C. = 1, ∈ ℝ\ 4 . D. ∈ ℝ, ∈ ℝ. Bài giải 4 − 2 Theo gt: = 퐹′ = ⇔ 2 4 − = + − − 4 2( − 4 ) +4 2 2 − 8 ⇔ 4 − = − + − − 4 ⇒ ′ = + 4 3 ⇔ + 4 1 − = 0 ⇔ = 1, (do + 4 ≠ 0) Do đó: 2 2 = 퐹 − 1 ′ 2 4 − 2 + 2 − 8 Với = 1 mà 4 − ≠ 0 nên ≠ 4. ⇔ = − 1 + 4 4 + 4 + 4 3 Vậy = 1, ∈ ℝ\ 4 .
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM Câu 8 2 Tìm nguyên hàm của hàm số = . 1− 3 2 1 2 1 A. + + . B. − + . − 1 − 1 2 − 1 − 1 2 1 1 1 1 C. + + . D. − + . 1 − 4 1 − 4 1 − 4 1 − 4 Bài giải 2 2 − 2 + 1 + 1 − + Ta có = + + = 1 − 3 1 − 1 − 2 1 − 3 1 − 3 2 2 + −2 − + + + ⇔ = 1 − 3 1 − 3 −2 2 Vậ න ( ) = න + = 0 = 0 1 − 2 1 − 3 ⇒ ቐ−2 − = 2 ⇔ ቐ = −2 2 1 + + = 0 = 2 = − + 2 −2 2 − 1 − 1 2 Do đó = + 1 − 3 1 − 2 1 − 3
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 2 2 + 1 + 2 푙푛 . + 푙푛2 Tìm = න ? 2 + 푙푛 2 −1 1 1 1 1 1 1 1 A. − + . B. − + . C. − + . D. + + . + 푙푛 + 푙푛 + 푙푛 + 푙푛 Bài giải 2 + 2 푙푛 + 푙푛2 + + 2 + 푙푛 2 + + 1 = න = න 2 + 푙푛 2 2 + 푙푛 2 1 + 1 1 + 1 1 = න + = − + න = − + 퐽 2 + 푙푛 2 + 푙푛 2 1 + 1 1 −1 −1 Đặt: 푡 = + 푙푛 ⇒ 푡 = 1 + = ⇒ 퐽 = න 푡 = + = + 푡2 푡 + 푙푛 −1 −1 1 Do đó: = + 퐽 = − + + 푙푛
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Cho hàm số liên tục, không âm trên đoạn 0; , thỏa mãn 0 = 3và 2 . ′ = 표푠 . 1 + 2 , ∀ ∈ 0; . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị 2 lớn nhất của hàm số trên đoạn ; . 6 2 21 5 5 A. = , = 2 2. B. = , = 3. C. = , = 3. D. = 3, = 2 2. 2 2 2 Bài giải Từ giả thiết . ′ = 표푠 . 1 + 2 . ′ . ′ ⇒ = 표푠 ⇒ න = 푠푖푛 + (1) 1 + 2 1 + 2 Đặt 푡 = 1 + 2 ⇒ 푡2 = 1 + 2 ⇒ 푡 푡 = . ′ . Thay vào (1) ta được ׬ 푡 = 푠푖푛 + ⇒ 푡 = 푠푖푛 +
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM Bài giải ⇒ 1 + 2 = 푠푖푛 + . Do 0 = 3 ⇒ = 2. Vậy 1 + 2 = 푠푖푛 + 2 ⇒ 2 = 푠푖푛2 + 4 푠푖푛 + 3 Vì hàm số liên tục, không âm trên đoạn 0; ⇒ = 푠푖푛2 + 4 푠푖푛 + 3. 2 1 Ta có ≤ ≤ ⇒ ≤ 푠푖푛 ≤ 1, 6 2 2 Xét hàm số 푡 = 푡2 + 4푡 + 3 có hoành độ đỉnh 푡 = −2 loại. 1 21 Suy ra 푡 = 1 = 8, 푖푛 푡 = = . 1 1 ;1 ;1 2 4 2 2 21 Suy ra = = 2 2, 푖푛 = = . ; 2 ; 6 2 6 2 6 2
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH CHƯƠNG 3 BÀI 1 LUYỆN TẬP NGUYÊN HÀM DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài