Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 5)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 1: Nguyên hàm (Tiết 5)

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: NGUYÊN HÀM(tiết 5) I NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO IV NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN CHỨA THAM SỐ
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 1 − cos 3 1 :Một nguyên hàm ׬ − 2 sin 3 = − + sin 3 + 2017 thì tổng 푆 = + + bằng A. 푆 = 3. B. 푆 = 15. C. 푆 = 10. D. 푆 = 14. Bài giải ChọnD. = − 2 = Do đó ta suy ra: = 2, = 3, = 9. Đặt: ቊ ⇒ ቐ 1 푣 = 푠푖푛 3 푣 = − 표푠 3 3 Suy ra + + = 14 ׬ − 2 sin 3 1 1 − 2 cos 3 + ׬ cos 3 − = 3 3 1 1 = − − 2 cos 3 + sin 3 + 3 9
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 2 Họ nguyên hàm của hàm số = 3 ( + cos 3 ) là : cos 3 cos 3 A. 3 + sin 3 − + . B. 3 + sin 3 + + . 3 3 cos 3 3 D. 3 − sin 3 − + . C. + sin 3 + cos 3 + . 3 Bài giải ChọnB. = 3 = 3 1 Đặt ቊ ⇒ ൝푣 = 푠푖푛 3 = න3 + cos 3 = න 3 2 + 3 cos 3 푣 = cos 3 3 = sin 3 − sin 3 න 3 2 + න3 cos 3 2 ׬ = 1 = sin 3 + cos 3 + 3 2 2 3 = න3 = + cos 3 1 1 Vậy = 3 + sin 3 + + 3 2 = න3 cos 3
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 3 2x2+x ln x+1 Họ nguyên hàm của hàm số y = là : x x2 x2 A. x2 + x + 1 ln x − + x + C. B. x2 + x − 1 ln x + − x + C. 2 2 x2 x2 C. x2 + x + 1 ln x − − x + C. D. x2 + x − 1 ln x − + x + C. 2 2 Bài giải Chọn C. 1 I = x2 + x ln x − න x2 + x dx 2x2 + x ln x + 1 1 x I = න dx x = x2 + x ln x − න x + 1 dx 1 2 = න 2x + 1 ln x dx + න dx = I1 + I2 x x = x2 + x ln x − − x + C . 2 1 I1 = න 2x + 1 ln x dx 1 1 I2 = න dx = ln + C2 x u = ln x ⇒ ቐdu = dx Đặt ቊ x x2 dv = 2x + 1 dx 2 Vậy I = x2 + x + 1 ln − − x + C. v = x + x 2
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM I NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 4 Tất cả nguyên hàm của hàm số = tan2 trên khoảng − ; 0 là 2 2 2 A. 퐹 = tan + ln(cos ) − + B. 퐹 = − tan + ln(cos ) − + 2 2 2 2 C. 퐹 = tan − ln(cos ) − + D. 퐹 = tan + ln cos ) − + 2 2 Bài giải Chọn A. 2 퐹 = tan − ׬ tan − + 2 2 퐹 = ׬ tan = ׬ tan2 + 1 − 1 2 cos tan − − ׬ + = 2 sin 2 ׬ tan + 1 − ׬ 2 = = tan − + ln cos + 2 ׬ − ׬ = cos2 Vì ∈ − ; 0 nên cos > 0, 2 = = suy ra ln cos = ln(cos ) Đặt ൝ 1 ⇒ ቊ 푣 = 2 푣 = tan 2 cos Vậy 퐹 = tan − + ln(cos ) + 2
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số y = cos ln x . Bài giải t du = etdt Đặt ቊu = e ⇒ ቊ dv = sin t dt v = − cos t I = නcos ln x dx . dx t t t Đặt t = ln x ⇒ dt = J = −e cos t + නe cos t dt + C = −e cos t + I + C x Thay vào , suy ra 푡 Khi đó I = න푒 cos 푡 푡 . 푡 푡 = 푒 sin 푡 + 푒 cos 푡 − + 푡 1 = 푒푡 = 푒 푡 ⇔ = 푒푡 sin 푡 + cos 푡 + Đặt ቊ ⇒ ቊ 2 푣 = cos 푡 푡 푣 = sin푡 1 ln = 푒 sin ln + cos ln + 2 푡 푡 1 .Khi đó = 푒 sin 푡 − ׬ 푒 sin 푡 푡 + = sin ln + cos ln + 2 Đặt 퐽 = න 푒푡 sin 푡 푡.
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 2: 1 .Tìm nguyên hàm I = ׬ dx 2 cos2 x Bài giải Đặt t = x ⇒ t2 = x ⇒ 2tdt = dx 2tdt t Khi đó I = ׬ = ׬ dt 2 cos2 t cos2 t u = t 1 du = dt Đặt ൝dv = dt ⇒ ቊ cos2 t v = tan t Khi đó I = t. tan t − ׬ tan t dt + C = t. tan t − ln cos t + C = x. tan x − ln cos x + C.
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 3: x−1 sin x Tìm nguyên hàm I = ׬ dx cos2 x Bài giải x−1 dx Khi đó I = − ׬ + C cos x cos x x−1 sin x sin sin I = ׬ dx = ׬ − ׬ dx cos x cos x cos2 x cos2 cos2 Đặt K = ׬ = dx = ׬ dx cos x cos2 x 1−sin2 x sin x Đầu tiên ta tìm J = ׬ dx cos2 x Đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx 푡 푡 Khi đó 퐾 = ׬ 2 = ׬ −dt 1 1 1−푡 1−푡 (푡+푡) Khi đó J = ׬ = + C = + C 1 1+푡 1 1+sin t2 t cos x = ln 푡 + = ln + 2 1−푡 2 1−sin u = x − 1 du = dx −1 1 1+sin Đặt: ൝ sin x ⇒ ൝ 1 Vậy = − ln + dv = dx v = cos 2 1−sin cos2 x cos x
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 4: x ln x Tìm nguyên hàm I = ׬ dx x2+1 2 Bài giải 1 1 1 1 I = − . 2 ln x + ׬ 2 dx x 2 x +1 2 x(x +1) Đặt J = ׬ dx 1 1 1 2 2x x2+1 2 = − . ln x + ׬ − dx 2 x2+1 4 x x2+1 2 Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2xdx 1 1 1 1 = − . ln x + ln x − ln x2 + 1 + C 2 x2+1 2 4 dt 1 1 J = ׬ = − + C = − + C 2t2 2t 2 x2+1 1 u = ln x du = dx x x Đặt ൝dv = dx ⇒ ቐ 1 1 x2+1 2 v = − . dx 2 x2+1
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 5: 2+2 푒 +1 Tìm nguyên hàm = ׬ +1 Bài giải Khi đó e x+1 2 x+1 x+1 Đặt J = ׬ dx I = 2 x + 2x e − 4 න(x + 1)e dx x+1 Đặt K = ׬(x + 1)e x+1dx Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Đặt t = x + 1 ⇒ t2 = x + 1 ⇒ 2tdt = dx Khi đó 2tet 3 t J = ׬ dt = ׬ 2etdt = 2et + C = 2e x+1 + C K = න 2t e dt t x2+2x e x+1 Xét I = ׬ dx x+1 2 u = x + 2x du = 2 x + 1 dx Đặt ቐ e x+1 ⇒ ቊ dv = dx x+1 x+1 v = 2e
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 5: 2+2 푒 +1 Tìm nguyên hàm = ׬ +1 Bài giải Khi đó Đạo hàm Dấu Nguyên hàm I = 2 x2 + 2x e x+1 − 4 න(x + 1)e x+1dx 풖 = 풕 풅풗 = 풆풕풅풕 Đặt K = ׬(x + 1)e x+1dx 6푡2 + 푒푡 2 12푡 − 푒푡 Đặt t = x + 1 ⇒ t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx 12 + 푒푡 K = න 2t3etdt 0 − 푒푡 K = ׬ 2t3etdt = 2푡3푒푡 − 6푡2푒푡 + 12푡. 푒푡 − 12푒푡 + 3 = 2푒 +1( + 1 − 3 + 1 + 6 + 1 − 6
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM II NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN KẾT HỢP ĐỔI BIẾN SỐ Câu 5: 2+2 푒 +1 Tìm nguyên hàm = ׬ +1 Bài giải Khi đó 2 x+1 x+1 Đạo hàm Dấu Nguyên hàm I = 2 x + 2x e − 4 ׬(x + 1)e dx 풕 3 풖 = 풕 풅풗 = 풆 풅풕 = 2 x2 + 2x e x+1 − 4 ቀ2푒 +1( + 1 − 6푡2 + 푒푡 3 + 1 + 6 + 1 − 6ቁ + 12푡 − 푒푡 12 + 푒푡 0 − 푒푡 K = ׬ 2t3etdt = 2푡3푒푡 − 6푡2푒푡 + 12푡. 푒푡 − 12푒푡 + 3 = 2푒 +1( + 1 − 3 + 1 + 6 + 1 − 6 +
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 1 Cho ( ) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn + ′ = , ∀ ∈ ℝ và 0 = 1. Tính 1 . 2 1 e A. . B. . C. e. D. . e e 2 Bài giải Chọn A. = ׬ . 푒 = . 푒 − ׬ 푒 ′ + = (1) = . 푒 − 푒 + Nhân 2 vế của (1) với 푒 Suy ra 푒 = . 푒 − 푒 + . Ta được 푒 . + 푒 . ′ = . 푒 . Theo giả thiết (0) = 1 Hay 푒 . ′ = . 푒 푒 . = ׬ . 푒 . Do đó 푒0 0 = 0. 푒0 − 푒0 + ⇒ Xét = ׬ . 푒 . Suy ra = 2 = = .푒 −푒 +2 Đặt ൜ . ⇒ ቊ ⇒ = 푒 = 푣 푣 = 푒 2 푒 ⇒ 1 = 푒
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 2 + Cho hàm số y = f x . Biết hàm số đã cho thỏa mãn hệ thức׬ f x sin x dx = − f x cos x ?׬ πx cos x dx. Hỏi hàm số y = f x là hàm số nào trong các hàm số sau πx πx A. f x = −πx ln π . B. f x = . C. f x = πx ln π . D. f x = − . ln π ln π Bài giải Chọn B. Theo hệ. thức (1), suy ra f′ x = πx. x Xét ׬ f x sin x dx = − f x cos x + ׬ π cos x dx (1). Dựa vào đáp án, ta nhận thấy có một hàm số thỏa πx . = Xét ׬ f x sin x dx. mãn là f x ln π u = f x = ′( ) Đặt ቊ ⇒ ቊ dv = sin x dx 푣 = − cos .Khi đó ׬ f x sin x dx = −f x cos x + ׬ f′ x cos x dx
15. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 3 푙푛 +3 Giả sử 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = thỏa mãn 퐹 −2 + 퐹 1 = 0và 퐹 −1 + 2 퐹 2 = ln 2 + ln 5, với , là các số hữu tỷ. Giá trị của 3 + 6 bằng A. − 4 B. 5 C. 0 D. − 3. Bài giải 1 1 1 = − ln + 3 + ln − ln + 3 + 3 3 푙푛 +3 Xét ׬ = ׬ 1 1 1 2 = − + ln + 3 + ln + 1 3 3 = ln + 3 = +3 +) Xét trên −3; 0 Đặt ቐ 1 ⇒ ቐ 1 푣 = 2 푣 = − 1 1 1 ta được 퐹 = − + ln + 3 + ln − + 3 3 1 Khi đó 1 1 1 Tính 퐹 −2 = ln 1 + ln 2 + = ln 2 + ; 1 1 6 3 1 3 1 ׬ = − 푙푛 + 3 + ׬ 2 1 2 +3 퐹 −1 = ln 2 + ln 1 + = ln 2 + 1 1 1 1 3 3 1 3 1 ln + 3 + ׬ − − = 3 +3
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 3 푙푛 +3 Giả sử 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = thỏa mãn 퐹 −2 + 퐹 1 = 0và 퐹 −1 + 2 퐹 2 = ln 2 + ln 5, với , là các số hữu tỷ. Giá trị của 3 + 6 bằng A. − 4 B. 5 C. 0 D. − 3. Bài giải 1 1 1 = − ln + 3 + ln − ln + 3 + 3 3 1 1 1 +) Xét trên 0; +∞ = − + ln + 3 + ln + 3 3 1 1 1 ta được 퐹 = − + ln + 3 + ln + . +) Xét trên −3; 0 3 3 2 1 1 1 4 1 8 ta được 퐹 = − + ln + 3 + ln − + 1 Tính 퐹 1 = − ln 4 + ln 1 + 2 = − ln 2 + 2; 3 3 3 3 3 1 1 1 5 1 Tính 퐹 −2 = ln 1 + ln 2 + = ln 2 + ; 6 3 1 3 1 퐹 2 = − ln 5 + ln 2 + 2 6 3 2 1 2 퐹 −1 = ln 2 + ln 1 + 1 = ln 2 + 1 Ta có 퐹 −2 + 퐹 1 = 0 3 3 3
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 3 푙푛 +3 Giả sử 퐹 là một nguyên hàm của hàm số = thỏa mãn 퐹 −2 + 퐹 1 = 0và 퐹 −1 + 2 퐹 2 = ln 2 + ln 5, với , là các số hữu tỷ. Giá trị của 3 + 6 bằng A. − 4 B. 5 C. 0 D. − 3. Bài giải 1 8 7 Chọn B. ⇔ ln 2 + − ln 2 + = 0 ⇔ + = ln 2 3 1 3 2 1 2 3 +) Xét trên 0; +∞ Từ đó 1 1 1 2 5 1 ta được 퐹 = − + ln + 3 + ln + . 퐹 −1 + 퐹 2 = ln 2 + 1 − ln 5 + ln 2 + 2 3 3 2 3 6 3 4 1 8 5 5 7 Tính 퐹 1 = − ln 4 + ln 1 + = − ln 2 + ; = ln 2 − ln 5 + 1 + 2. = ln 2 − ln 5 + ln 2 3 3 2 3 2 6 6 3 10 5 5 1 = ln 2 − ln 5 = ln 2 + ln 5 퐹 2 = − ln 5 + ln 2 + 2 3 6 6 3 10 5 Suy ra = ; = − ⇒ 3 + 6 = 5. Ta có 퐹 −2 + 퐹 1 = 0 3 6
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 4 π x Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0; , thoả mãn f x + tan x . f ′ x = . Biết rằng 2 cos3 x π π 3f − f = aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ Q. Giá trị của biểu thức P = a + b bằng 3 6 14 2 7 4 A. . B. − . C. . D. − . 9 9 9 9 Bài giải x ⇒ sin x . f x = න 2 dx x cos x f x + tan x . f ′ x = cos3 x x .Tính I = ׬ 2 dx x cos x ⇔ cos x . f x + sin x . f ′ x = . cos2 x u = x dx du = dx ′ x Đặt ൝ ⇒ ቊ ⇔ sin x . f x = . dv = 2 v = tan x cos2 x cos x ′ x Khi đó Suy ra ׬ sin x . f x dx = ׬ 2 dx cos x x I = ׬ dx = x tan x − ׬ tan x dx cos2 x
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM III NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN NÂNG CAO Câu 4 π x Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0; , thoả mãn f x + tan x . f ′ x = . Biết rằng 2 cos3 x π π 3f − f = aπ 3 + b ln 3 trong đó a, b ∈ Q. Giá trị của biểu thức P = a + b bằng 3 6 14 2 7 4 A. . B. − . C. . D. − . 9 9 9 9 Bài giải Chọn D x ⇒ sin x . f x = න dx d(cos x) cos2 x x tan x + ׬ = x tan x + ln cos x = cos x x .Tính I = ׬ dx x tan x+ln cos x x ln cos x cos2 x Suy ra f x = = + sin x cos x sin x u = x π π dx du = dx aπ 3 + b ln 3 = 3f − f Đặt ൝dv = ⇒ ቊ 3 6 cos2 x v = tan x 2π 2 ln 2 π 3 3 5π 3 = 3 − − + 2 ln = − ln 3. 3 3 9 2 9 Khi đó 5 x Suy ra: a = và b = −1 I = ׬ dx = x tan x − ׬ tan x dx 9 cos2 x
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM IV NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN CHỨA THAM SỐ Câu 1 1 Gọi F x là nguyên hàm trên ℝ của hàm số f x = x2eax a ≠ 0 , sao cho F = a F 0 + 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. 0 < a ≤ 1. B. a < −2. C. a ≥ 3. D. 1 < a < 2. Bài giải u = x du = dx Đặt ൜ ax ⇒ ൝ 1 ax. 2 ax dv = e dx v = e F x = ׬ x e dx. a 1 1 A = xeax − ׬ eaxdx 2 ⇒ u = x2 du = 2xdx a a Đặt ቊ 1 ax ⇒ ൝v = eax . Từ 1 và 2 suy ra dv = e dx a 1 2 2 퐹 = 2푒 − 푒 + ׬ 푒 Khi đó 2 2 1 2 2 1 2 ax 2 ax 1 2 ax 2 2 F x = x e − නxe dx = x e − . A 1 = 푒 − 2 푒 + 3 푒 + . a a a a .Xét A = ׬ xeaxdx
21. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM IV NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN CHỨA THAM SỐ Câu 1 1 Gọi F x là nguyên hàm trên ℝ của hàm số f x = x2eax a ≠ 0 , sao cho F = a F 0 + 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau. A. 0 < a ≤ 1. B. a < −2. C. a ≥ 3. D. 1 < a < 2. Bài giải Chọn A. u = x du = dx Đặt ൜ ax ⇒ ൝ 1 ax. 1 dv = e dx v = e Mà 퐹 = 퐹 0 + 1 a 1 1 A = xeax − ׬ eaxdx 2 ⇒ 1 2 2 2 a a ⇒ 푒 − 푒 + 푒 + = + 1 + 3 3 3 3 Từ 1 và 2 suy ra 1 2 2 퐹 = 2푒 − 푒 + ׬ 푒 3 ⇒ = 푒 − 2 2 2 3 1 2 2 ⇒ = 푒 − 2 ⇒ 0 < ≤ 1. = 2푒 − 푒 + 푒 + . 2 3
22. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM IV NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN CHỨA THAM SỐ Câu 2 1 Cho a là số thực dương. Biết rằng F x là một nguyên hàm của hàm số f x = ex ln ax + thỏa x 1 mãn F = 0 và F 2018 = e2018. Mệnh đề nào sau đây đúng? a 1 1 A. a ∈ ; 1 . B. a ∈ 0; . C. a ∈ 1; 2018 . D. a ∈ (2018; +∞). 2018 2018 Bài giải Chọn A. Thay vào (1), ta được: F x = ex ln ax + C. 1 1 1 x F = 0 ⇒ ൝ea. ln 1 + C = 0 I = න e ln ax + dx Với ቐ a 2018 2018 x 2018 e ln a. 2018 + C = e ex F 2018 = e (׬ ex ln ax dx + ׬ dx (1 = x e 1 C = 0 du = dx ⇔ ቊ ⇒ a = u = ln ax ⇒ ൝ x ln a. 2018 = 1 2018 Đặt ቊ x x dv = e dx v = e 1 Vậy a ∈ ; 1 . ex 2018 ׬ ex ln ax dx = ex ln ax − ׬ dx ⇒ x
23. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 1 NGUYÊN HÀM DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC