Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 2: Tích phân

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 2: Tích phân

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 2: TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN II II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 1. Diện tích hình thang cong. a. Hình thang cong: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [a; b] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong.
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 1. Diện tích hình thang cong. b. Diện tích hình thang cong. Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường thẳng = , = ( < ), trục hoành và đường cong = ( ) liên tục, không âm trên [ ; ]. Giả sử 퐹( ) là một nguyên hàm của ( ). Bằng cách chia nhỏ phần hình phẳng cần tính diện tích ra thành các hình chữ nhật, người ta chứng minh được diện tích của hình thang cong cần tìm là: F(b) – F(a)
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa tích phân a) Định nghĩa: Cho ( ) là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ]. Giả sử 퐹( ) là một nguyên hàm của ( ) trên đọan [ ; ]. Hiệu số 퐹( ) – 퐹( ) được gọi là tích phân từ đến (hay gọi là tích phân xác định trên đoạn của hàm số ). Kí hiệu là: ; ] ( ) ׬ ( ) ] Vậy: න ( ) = 퐹( )ቚ = 퐹( ) − 퐹( ) Ta gọi là dấu tích phân, là cận dưới, là cận trên. ׬ ( ) gọi là biểu thức dưới dấu tích phân. ( ) là hàm số dưới dấu tích phân.
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa tích phân b) Chú ý: Nếu a = b thì න ( ) = 0 Nếu a > b thì න ( ) = − න ( )
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa tích phân c) Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 2 1 3 a. න 3 − + 푒 b. = න 2푒 1 0 Lời giải 2 2 4 a. 3 3 න − + 푒 = − 3 푙푛 + 푒 อ 1 4 1 24 14 = − 3 푙푛 2 + 푒2 − − 3 푙푛 1 + 푒1 4 4 3 = − 3 푙푛 2 + 푒2 − 푒 4 1 1 b. = න 푒 = 푒 ቚ = 푒 − 1 0 0
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN I ĐỊNH NGHĨA 2. Định nghĩa tích phân d) Nhận xét  Tích phân không phụ thuộc vào biến số: න ( ) = න ( ) = 퐹( ) − 퐹( ) ✓ Ý nghĩa hình học của tích phân: Cho hàm số = ( ) liên tục và không âm trên đoạn [ ; ]. Diện tích 푆 của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ), trục , và hai đường thẳng = ; = là: 푆 = න ( )
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN II TÍNH CHẤT Tính chất 1: න . ( ) = . න ( ) (với k là hằng số) Tính chất 2: න ( ) ± = න ( ) ± න ( ) Tính chất 3: න ( ) = න ( ) + න ( ) ( < < )
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN II TÍNH CHẤT 2 5 5 Ví dụ 2: Cho , và . ׬1 = −3 ׬2 = 5 ׬1 = 6 5 Tính tích phân . = ׬1 2. − 3 Lời giải 2 5 5 . Ta có ׬ = −3 và ׬ = 5 nên ׬1 = 2 2 1 5 5 5 = න 2. − 3 = 2 න − 3 න 1 1 1 = 2.2 − 3.6 = −14
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN II TÍNH CHẤT 2 Tính tích phân . Ví dụ 3: = ׬0 | − 1| Lời giải 2 1 2 = න − 1 = න − 1 + න − 1 0 0 1 1 2 = න (1 − ) + න ( − 1) 0 1 1 2 1 1 = − 2 อ + 2 − อ 2 2 0 1 1 1 = + 0 + 2 2 = 1
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 3 thỏa 3 mãn và . Tính ′ . 1 = 2 3 = 9 = ׬1 A. = 11. B. = 7. C. = 2. D. = 18. Bài giải Hướng dẫn: Ta có: 3 Sử dụng định nghĩa nguyên hàm để có: ′ = න = න ′ = + 1 3 = ቚ = 3 − 1 1 = 9 − 2 = 7.
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 1 2 +3 :Biết tích phân ׬ = 푙푛 2 + ( , ∈ ℤ), giá trị của bằng 0 2− A. 7 B. 2 C. 3 D. 1 Bài giải Hướng dẫn: 1 2 + 3 න Phân tích đa thức f(x) để đưa về dạng 0 2 − cơ bản và dùng công thức 1 7 = න −2 + 1 1 0 2 − න = . ln + + 1 + = −2 − 7 푙푛 2 − ቚ (với ≠ 0) 0 = 7 푙푛 2 − 2
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 2 Đặt ( là tham số thực). Tìm để . = ׬1 2 + 1 = 4 A. = −1. B. = −2. C. = 1. D. = 2. Bài giải 2 2 Ta có = න 2 + 1 = 2 + ቚ 1 1 = 4 + 2 − + 1 = 3 + 1. Do = 4 ⇔ 3 + 1 = 4 ⇔ = 1.
15. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 1 .Cho׬2 − 1 + 푠푖푛 2 = − + 1, với , là các số nguyên dương 0 Tính + 2 . A. 10. B. 14. C. 12. D.8. Bài giải 2 1 1 2 න − 1 + 푠푖푛 2 = 2 − − 표푠 2 อ 0 2 2 0 1 2 1 1 = − − 표푠 2. + 2 2 2 2 2 2 2 1 = − + 1 = − + 1. 8 2 8 2 Vậy = 8; = 2 nên + 2 = 12.
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 +1−1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để có ׬ 2 − 1 = 4. 푙푖 1 →0 = 1 = 1 = −1 = −1 A. ቈ . B. ቈ . C. ቈ . D. ቈ . = 2 = −2 = −2 = 2 Bài giải k k 1 k 2x − 1 2 2k − 1 2 1 Ta có: න 2x − 1 dx = න 2x − 1 d 2x − 1 = อ = − 2 4 4 4 1 1 1 x + 1 − 1 x + 1 − 1 x + 1 + 1 1 4. lim = 4. lim = 4. lim = 2 x→0 x x→0 x x + 1 + 1 x→0 x + 1 + 1 2k − 1 2 − 1 k = 2 Từ giả thiết suy ra: = 2 ⇔ 2k − 1 2 = 9 ⇔ ቈ 4 k = −1
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1 2 Câu 6 Cho hàm số xác định trên ℝ\ thỏa mãn ′ = và 2 2 −1 0 = 1; 1 = −2. Giá trị của biểu thức −1 + 3 bằng A. 2 + 푙푛 1 5. B. 3 − 푙푛 1 5. C. 푙푛 1 5 − 1. D. 푙푛 1 5. Bài giải 1 = −2 ⇔ 1 = −2 ⇒ = 푙푛 2 − 1 − 2 2 = න ′ = න 2 − 1 0 = 1 ⇔ 2 = 1 ⇒ = 푙푛 2 − 1 + 1. = 푙푛 2 − 1 + −1 = 푙푛 3 + 1 1 Suy ra: ቊ 푙푛 2 − 1 + 1 khi > 3 = 푙푛 5 − 2 = 2 1 푙푛 1 − 2 + khi < Nên −1 + 3 = 푙푛 1 5 − 1. 2 2
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 2 TÍCH PHÂN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Đọc tiếp phần: Các phương pháp tính tích phân