Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 2: Tích phân (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 2: Tích phân (Tiết 3)

1. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG Bài 2: TÍCH PHÂN (tiết 3) III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2 Phương pháp tính tích phân từng phần BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1 Phương pháp đổi biến số 2 Phương pháp tính tích phân từng phần 2.1. Định lí Nếu = ( ), 푣 = 푣( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn ; ȁ thì ׬ ( )푣′( )d = ( )푣( ) − ׬ ′( )푣( )d ȁ .(hay ׬ d푣 = 푣 − ׬ 푣d (2 Nhận xét Ta thường sử dụng công thức (2) khi hàm số dưới dấu tích phân là tích của hai hàm 1 푒 2 2 không cùng loại, chẳng hạn: ׬0 푒 , ׬0 sin , ׬1 (2 − 1)ln
3. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN 2.2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: 푒 .Tính tích phân = ׬1 ln d Bài giải 1 = = 푙푛 Đặt ቊ ⇒ ൞ 2 푣 = 푣 = 2 2 푒 푒 2 푒 2 푒 Khi đó = ln ฬ − ׬ d = ln ฬ − ฬ 2 1 1 2 2 1 4 1 2 2 푒 1 2 푒 +1 = − 푒 − 1 = 2 4 4
4. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN 2.2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: 1 Tính tích phân = ׬0 2 + 3 푒 d Bài giải = 2 + 3 = 2 Đặt ቊ ⇒ ቊ 푣 = 푒 푣 = 푒 ȁ1 1 Khi đó = 2 + 3 푒 0 − 2 ׬0 푒 d 1 = 5푒 − 3 − 2 푒 ቚ = 3푒 − 1. 0
5. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: 1 .Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên ℝ. Biết 4 = 1 và ׬0 4 d = 1 4 2 Tính tích phân ׬0 ′ d Bài giải +) Biến đổi giả thiết: Đặt 4 = 푡 ⇒ 4d = d푡, Đổi cận = 0 ⇒ 푡 = 0, = 1 ⇒ 푡 = 4 1 4 푡. 푡 4 Suy ra ׬ 4 d = ׬ d푡 = 1 ⇒ ׬ d = 16 0 0 16 0 2 4 = = 2 d +) Xét 2 ′ d . Đặt ቊ ⇒ ቊ (׬0 푣 = ′( ) 푣 = ( 4 2 2 ȁ4 4 .Khi đó ׬0 ′ d = 0 − ׬0 2 . d = −16
6. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: 1 2 . Tính tích phân = ׬0 ln 2 + d Bài giải = 0 ⇒ 푡 = 2 Đặt 푡 = 2 + 2 ⇒ d푡 = 2 d . Đổi cận ቊ . = 1 ⇒ 푡 = 3 d푡 1 3 d푡 3 = ln푡 d = . = ׬ ln 2 + 2 d = ׬ ln푡 ⇔ 2 = ׬ ln푡d푡. Đặt ቊ ⇒ ൝ 푡 0 2 2 2 d푣 = d푡 푣 = 푡 3 ȁ3 3 ȁ3 ȁ3 .2 = ׬2 ln푡d푡 = 푡ln푡 2 − ׬2 d푡 = 푡ln푡 2 − 푡 2 = 3ln3 − 2ln2 − 1 3ln3−2ln2−1 Vậy = . 2
7. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 5: 2 4 .Tính tích phân = ׬0 cos d Bài giải 1 = 0 ⇒ 푡 = 0 Đặt 푡 = ⇒ d푡 = d ⇒ d = 2푡d푡. Đổi cận ൝ 2 . 2 = ⇒ 푡 = 4 2 2 . = ׬ 4 cos d = ׬2 cos푡. 2푡d푡 = 2 ׬2 푡. cos푡d푡 ⇔ = ׬2 푡. cos푡d푡 0 0 0 2 0 = 푡 d = d푡 Đặt ൜ ⇒ ቊ . d푣 = cos푡d푡 푣 = sin푡 .׬2 푡. cos푡d푡 = 푡sin푡ȁ2 − ׬2 sin푡d푡 = 푡sin푡ȁ2 + cos푡ȁ2 = − 1. Vậy = − 2 = 2 0 0 0 0 0 2
8. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
9. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 1 .Cho hàm số thỏa mãn ׬0 ( + 1) ′( )d = 10 và 2 (1) − (0) = 2 1 . Tính = ׬0 ( )d A. − . B. . C. . D. − . Bài giải 1 Xét 퐾 = ( + 1) ′( )d ׬0 Chọn D. = + 1 d = d Đặt: ቊ ⇒ ቊ 푣 = ′ d 푣 = 1 1 ⇒ 퐾 = + 1 ′ d = + 1 . ȁ1 − d = 2 1 − 0 − = 2 − = 10 ׬0 0 ׬0 ⇒ = −8.
10. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 4 2 Biết = ׬0 ln( + 9)d = ln5 + ln3 + trong đó , , là các số thực. Giá trị của biểu thức = + + . A. 푻 = . B. 푻 = . C. 푻 = . D. 푻 = . Bài giải Chọn D. 4 4 4 1 1 4 1 = න ln( 2 + 9)d = න ln( 2 + 9)d 2 = 2ln( 2 + 9) ቚ − න 2d ln( 2 + 9) 2 2 0 2 0 4 0 4 0 1 2 1 2 + 9 − 9 = 8ln25 − න 2. d = 16ln5 − න d( 2 + 9ቇ 2 2 + 9 2 2 + 9 1 0 4 0 = 16ln5 − 2 + 9 − 9ln 2 + 9 ቚ = 25ln5 − 9ln3 − 8. 2 0 Suy ra = + + = 25 − 9 − 8 = 8.
11. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 2 1 .Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ và (2) = 16, ׬0 ( )d = 4. Tính = ׬0 . ′(2 )d A. 7. B. 12. C. 20. D. 13. Bài giải Chọn A. = d = d 1 Đặt ൜d푣 = ′ 2 d ⇒ ൝푣 = . 2 . 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có, = ׬0 . ′(2 )d = . 2 ฬ − ׬0 2 d = f 2 − ׬0 2 d 2 2 0 2 2 4 1 2 1 2 .׬ 푡 d푡 = 8 − ׬ d = 7 − 8 = 4 0 4 0
12. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 1 5 2 Biết (5) = 1 và ׬0 (5 )d = 1. Khi đó giá trị của ׬0 ′( )d bằng A. . B. . C. − . D. . Bài giải Chọn C. 5 푡 d푡 5 . Đặt 푡 = 5 ⇒ d푡 = 5d . Khi đó: 1 = ׬ (푡) ⇔ 25 = ׬ ( )d 0 5 5 0 = 2 d = 2 d Chọn ቊ ⇒ ቊ . d푣 = ′( )d 푣 = ( ) 5 2 2 ȁ5 5 .Khi đó: ׬0 ′( )d = . ( ) 0 − 2 ׬0 ( )d = 25. (5) − 2.25 = −25
13. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 2 2 Cho hàm số ( ) liên tục trên ℝ thỏa mãn (4) = 5 và ׬0 (2 )d = 10. Giá 4 3 trị của tích phân ׬0 ′( )d bằng A. 80. B. 70. C. 60. D. 90. Bài giải Chọn A. 2 1 = 0 ⇒ 푡 = 0 Xét ׬ 2 (2 )d = 10. Đặt 푡 = 2 ⇒ 푡 = 2 ⇒ = 푡 Đổi cận ቊ 0 2 = 2 ⇒ 푡 = 4 2 4 푡 2 1 1 4 4 න 2 (2 )d = න (푡) dt = න 푡2 (푡)dt = 10 ⇔ න 푡2 (푡)dt = 80. 0 0 2 2 8 0 0 3 2 4 = = 3 Xét = ׬ 3 ′( )d Đặt ቊ ⇔ ቊ 0 푣 = ′ 푣 = 4 4 ⇒ = 3 ȁ − 3 න 2 ( )dx = 43 4 − 3.80 = 463.5 − 3.80 = 80. 0 0
14. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 1 1 . Cho ( ) liên tục thỏa (1) = 1 và ׬ ( )d = ⋅ Tính = ׬2 sin2 . ′(sin )d 0 3 0 4 2 1 2 A. = ⋅ B. = ⋅ C. = . D. = − ⋅ 3 3 3 3 Bài giải Chọn A. = 0 ⇒ 푡 = 0 Đặt 푡 = sin ⇒ 푡 = cos . Đổi cận ൝ = ⇒ 푡 = 1 2 1 1 Khi đó = 2sin cos ′(sin )d = 2 푡 ′(푡)dt ׬0 ׬0 = 푡 du = dt Đặt ቊ ⇔ ቊ dv = ′ 푡 dt 푣 = 푡 1 1 1 2 4 ⇒ = 2 푡 푡 ȁ − න (푡)dt = 2 1. 1 − 0. 0 − = 2. = . 0 3 3 3 0
15. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 1 2 .Cho hàm số ( ) thỏa mãn׬0 ′′( )d = 12 và 2 (1) − ′(1) = −2 1 . Tính = ׬0 ( )d A. . B. . C. . D. . Bài giải Chọn B. 2 1 = d = 2 d Xét 퐾 = ׬ 2 ′′( )d . Đặt ቊ ⇒ ቊ 0 푣 = ′′ d 푣 = ′ 1 1 ⇒ 퐾 = 2 ′ ȁ1 − 2 ′ d = ′ 1 − 2 ′ d . ׬0 ׬0 0 = d = d Đặt ൜ ⇒ ቊ 푣 = ′ d 푣 = 1 1 1 ⇒ ′ = ȁ1 − = 1 − . ׬0 0 ׬0 ׬0 1 1 .Vậy 퐾 = ′ 1 − 2 1 − ׬0 d = 12 ⇔ ׬0 d = 5
16. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 2 Biết ׬4 1 + sin2 d = + với , là phân số tối giản. Tính + + + 0 A. . B. ퟒ. C. . D. . Bài giải Chọn D. = d = d = 4 sin2 d + 4 d . Đặt ൜ ⇒ ൝ 1 . ׬0 ׬0 d푣 = sin2 d 푣 = − cos2 2 1 4 1 1 4 1 . = ׬4 sin2 d = − cos2 ቚ + ׬4 cos2 d = sin2 ቚ 0 2 0 2 0 4 0 4 2 4 2 . = ׬4 d = ቚ 0 2 0 32 1 2 2 Khi đó = + = + ⇒ = 1; = 4; = 1; = 32. Vậy + + + = 38. 4 32
17. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 e 1 .Biết ׬ + ln d = + e2 với , là phân số tối giản. Tính + + + 1 A. 12. B. 14. C. 16. D. 18. Bài giải d = 1 d Chọn A. e e 1 = ln . = ׬ ln d + ׬ ln d . Đặt ቊ ⇒ ൞ 2 1 1 d푣 = d 푣 = 2 푒 푒 푒 2 1 푒 푒2 2 푒2 푒2 1 푒2 1 . + = + − = Khi đó ׬ ln d = . ln ቚ − ׬ d = − ቚ 1 2 1 2 1 2 4 1 2 4 4 4 4 1 Đặt 푡 = ln ⇒ 푡 = . Đổi cận = 1 ⇒ 푡 = 0; = 푒 ⇒ 푡 = 1. 1 e 1 1 푡2 1 . = ׬ ln d = ׬ 푡 d푡 = ቚ 1 0 2 0 2 1 1 3 푒2 Do đó = + + = + = + e2 ⇒ = 3; = 4; = 1; = 4. 4 2 4 4 Vậy + + + = 12.
18. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 ( + 1)e khi ≥ 0 1 .Cho hàm số ( ) = ቊ . Biết ׬ ( )d = + . e, với là phân số tối giản 2 + + 1 khi < 0 −1 Giá trị của tổng + + bằng A. . B. . C. . D. ퟒ. Bài giải 1 0 1 0 2 1 Ta có: ׬−1 ( )d = ׬−1 ( )d + ׬0 ( )d = ׬−1( + + 1) d + ׬0 ( + 1)푒 d 3 2 0 0 2 5 = Tính ׬−1( + + 1)d = + + ฬ * 3 2 −1 6 1 = + 1 = Tính ׬ ( + 1)푒 . Đăኇ 푡 ቊ ⇒ ቊ * 0 푣 = 푒 푣 = 푒
19. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 ( + 1)e khi ≥ 0 1 .Cho hàm số ( ) = ቊ . Biết ׬ ( )d = + . e, với là phân số tối giản 2 + + 1 khi < 0 −1 Giá trị của tổng + + bằng A. . B. . C. . D. ퟒ. Bài giải Chọn C. Theo công thức tích phân từng phần, ta có: 1 1 1 1 න ( + 1)푒 d = ( + 1)푒 ቚ − න 푒 d = 2푒 − 1 − 푒 ቚ = 푒 0 0 0 0 1 5 Vậy: ׬ ( )d = + 푒 ⇒ = 5, = 6, = 1 ⇒ + + = 12 −1 6
20. LỚP 12 TOÁN THPT GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ - DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC