Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

1. GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG III - BÀI 3 - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC LỚP GIẢI TÍCH 12 Chương 3: NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG Bài 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG II CÁC VÍ DỤ MINH HỌA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. GIẢI TÍCH 12 - CHƯƠNG III - BÀI 3 - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC I ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
3. I ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho hàm số 풚 = 풇 풙 liên tục, không âm trên đoạn ; . Khi đó diện tích 푺 của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 , trục hoành và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = là: 푺 = න 풇 풙 풅풙. Bài toán 1: Cho hàm số 풚 = 풇 풙 liên tục trên đoạn ; . Khi đó diện tích 푺 của hình phẳng 푫 giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 ; trục hoành 푶풙 (풚 = ) và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = là: . 푺 = ׬ 풇 풙 풅풙
4. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Tính diện tích 푺 của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풍풏 풙, trục hoành và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = . Bài giải Diện tích 푺 của hình phẳng được tính bởi công thức: 푺 = ׬ 풍풏 풙 풅풙 = ׬ 풍풏 풙 풅풙 풖 = 풍풏 풙 풅풖 = 풅풙 Đặt: ቊ ⇒ ൝ 풙 풅풗 = 풅풙 풗 = 풙 푺 = 풙. 풍풏 풙 | − න 풅풙 = 풍풏 − 풙| = 풍풏 − ퟒ = 풍풏 − ퟒ đ풗dt
5. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Biết rằng hình thang cong giới hạn bởi các đường 풚 = − 풙, 풚 = , 풙 = 풌, 풙 = (풌 < ) và có diện tích bằng 푺풌 . Xác định giá trị của 풌 để 푺풌 = Bài giải Diện tích hình phẳng cần tính là: ׬풌 − 풙 풅풙 = ׬풌 − 풙 풅풙 + ׬ 풙 − 풅풙 풙 풙 풌 풌 = 풙 − ฬ + − 풙 ฬ = − 풌 − + = − 풌 + 풌 풌 풌 = − Do 푺풌 = nên − 풌 + = ⇔ ൥ 풌 = + Do điều kiện nên ta nhận 풌 = − .
6. I ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị 풚 = 풇 풙 ; 풚 = 품 풙 và hai đường đường thẳng x=a,x=b là 푺 = ׬ 풇 풙 − 품 풙 풅풙
7. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 풚 = 풙 , 풚 = − 풙 , 풙 = . Bài giải PT hoành độ giao điểm: 풙 = − 풙 ⇔ 풙 + 풙 − = ⇔ 풙 = . Diện tích cần tim 풙ퟒ 풙 . = 푺 = ׬ 풙 + 풙 − 풅풙 = ׬ 풙 + 풙 − 풅풙 = + − 풙 ቤ ퟒ
8. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = − 풙 và 풚 = 풙 Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 풙 = − 풚 = − 풙 và 풚 = 풙 là: 풙 = − 풙 ⇔ ቈ . 풙 = Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = − 풙 và bằng: 풚 = 풙 퐒 = ׬− − 풙 − 풙 풅풙 = ׬− − 풙 − 풙 풅풙 풙 풙 = 풙 − − ቮ = .
9. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 풙 và tiếp tuyến với đồ thị tại M(4; 2) và trục hoành. Bài giải Gọi d là phương trình tiếp tuyến của hàm số y= 풙 tại M(4;2). 1 d:1 y = x + 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 풙 , d và trục Ox là 04 1 1 8 S= x +1 d x + x + 1 − x d x = −40 4 4 3
10. CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
11. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cho hàm số 풚 = 풇(풙) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của 풚 = 풇(풙), trục hoành và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = được tính theo công thức .A. 푺 = 풇(풙)풅풙. C. 푺 = − ׬ 풇 (풙)풅풙. D. 푺 = 풇 (풙)풅풙 ׬ B. 푺 = − ׬ 풇(풙)풅풙. ׬ Bài giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có .푺 = ׬ 풇(풙)풅풙
12. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Cho hàm số 풚 = 풇 풙 xác định, liên tục trên ; . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 đường thẳng 풙 = ; 풙 = và trục 푶풙 được tính bởi công thức: A.푺 = න 풇 풙 풅풙 B.푺 = න 풇 풙 풅풙 C.푺 = න 풇 풙 풅풙 D.푺 = න 풇 풙 풅풙 Bài giải Cho hàm số 풚 = 풇 풙 liên tục trên đoạn ; . Khi đó diện tích 푺 của hình phẳng 푫 giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 ; trục hoành 푶풙 (풚 = ) và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = là . 푺 = ׬ 풇 풙 풅풙
13. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Gọi 푺 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 , trục hoành, đường thẳng 풙 = , 풙 = (như hình bên dưới). Hỏi cách tính 푺 nào dưới đây đúng? A. 푺 = න 풇 풙 풅풙 + න 풇 풙 풅풙 C.푺 = − න 풇 풙 풅풙 + න 풇 풙 풅풙 B. 푺 = න 풇 풙 풅풙 D. 푺 = න 풇 풙 풅풙 + න 풇 풙 풅풙 Bài giải Trên khoảng ; đồ thị nằm dưới trục hoành nên ta lấy phần đối của nó.
14. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 풚 = 풙 , trục hoành và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = là: A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 Bài giải Ta có 풙 ≥ trên đoạn [ ; ] nên 풙ퟒ 푺 = න 풙 풅풙 = න 풙 풅풙 = อ = ퟒ
15. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Cho hàm số 풇 풙 liên tục trên ℝ. Gọi 푺 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 풚 = 풇 풙 , 풚 = , 풙 = − và 풙 = ퟒ (như hình vẽ dưới). Mệnh đề nào dưới đây đúng? ퟒ ퟒ C. 푺 = ׬ 풇 풙 dx + ׬ 풇 풙 dx A. 푺 = − ׬− 풇 풙 dx + ׬ 풇 풙 dx − ퟒ B. 푺 = 풇 풙 dx − 풇 풙 dx ퟒ ׬− ׬ D. 푺 = − ׬− 풇 풙 dx − ׬ 풇 풙 dx Bài giải Ta có: hàm số 풇(풙) ≥ ∀풙 ∈ − ; ; 풇(풙) ≤ , ∀풙 ∈ ; ퟒ , ퟒ ퟒ 푺 = න 풇 풙 dx = න 풇 풙 dx + න 풇 풙 dx − − ퟒ dx dx . ׬− 풇 풙 − ׬ 풇 풙 =
16. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 Cho hình phẳng 푯 giới hạn bởi các đường 풚 = 풍풏 풙 ; 풚 = 풙 = 풌 풌 > . Tìm 풌 để diện tích hình phẳng 푯 bằng đ풗풅풕 . A. = 2 B. = 푒. C. = 푒3. D. = 푒2 Bài giải Xét PT hđgđ: 풍풏 풙 = 풙 = . 풌 풌 Diện tích = (vì thì ). 푺 = ׬ 풍풏 풙 풅풙 ׬ 풍풏 풙 풅풙 풙 ∈ ; 풌 풍풏 풙 ≥ 풖 = 풍풏 풙 풅풖 = 풅풙 풌 풌 Đặt ቊ ൝ 풙 . Do đó 푺 = 풙 풍풏 풙| − ׬ 풅풙 풅풗 = 풅풙 풗 = 풙 =풌 풍풏 풌 − 풌 + . Giả thiết 푺 = 풌 풍풏 풌 = 풌 풌 = 풆.
17. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Tính diện tích hình phẳng được đánh dấu như hình bên. A. 푺 = B. 푺 = − C. 푺 = − D. 푺 = Bài giải Ta có 풚 = 풙 ⇔ 풙 = ± 풚, từ hình vẽ ta thấy 풙 < ⇒ 풙 = − 풚 . 푺 = න − 풚 풅풚 = න 풙풅풙 = 풙 ቤ = − = −
18. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Hình phẳng giới hạn bởi 풚 = 풙 + 풙; 풚 = ; 풙 = > có diện tích bằng thì giá trị của là: 2 A. B. C. D. . 6 Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm 풙 + 풙 = ⇔ 풙 = . Diện tích hình phẳng là: ퟒ ퟒ 풙 . 푺 = ׬ 풙 + 풙 풅풙 = + 풙 ฬ = + ퟒ ퟒ ퟒ Theo đề:푺 = ⇔ + = ⇔ = ⇒ = . ퟒ
19. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 Tìm công thức tính diện tích 푺 của hình phẳng 푯 giới hạn bởi các đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 , 풚 = 품 풙 và hai đường thẳng 풙 = , 풙 = như hình vẽ dưới đây. Biết rằng 풇 풙 ≥ 품 풙 , ∀풙 ∈ ; và 풇 풙 ≤ 품 풙 , ∀풙 ∈ ; . C. 푺 = න 품 풙 − 풇 풙 풅풙 A. 푺 = ׬ 풇 풙 − 품 풙 풅풙 + ׬ 품 풙 − 풇 풙 풅풙 D. 푺 = 풇 풙 − 품 풙 풅풙 B. 푺 = ׬ 품 풙 − 풇 풙 풅풙 + ׬ 풇 풙 − 품 풙 풅풙 ׬ Bài giải Trên ; đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 nằm phía trên đồ thị hàm số 풚 = 품 풙 ⇒ 풇 풙 − 품 풙 ≥ , ∀풙 ∈ ; . Trên ; đồ thị hàm số 풚 = 풇 풙 nằm phía dưới đồ thị hàm số 풚 = 품 풙 ⇒ . Diện tích của hình phẳng là : | − 풇 풙 − 품 풙 ≤ , ∀풙 ∈ ; 푺 푺 = ׬ 풇 풙 | . 품 풙 풅풙 = ׬ 풇 풙 − 품 풙 풅풙 + ׬ 품 풙 − 풇 풙 풅풙
20. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 풚 = 풙 + 풙 − , 풚 = 풙 ,풙 = , 풙 = . 37 9 81 A. 푆 = B. 푆 = C. 푆 = D. 푆 = 13 12 4 12 Bài giải Pthđgđ: 3 − = − 2 ⇔ 3 + 2 − 2 = 0 = 0 1 3 2 ቎ = 1 .Diện tích hình phẳng cần tính là:푆 = ׬−2 + − 2 ⇔ = −2 0 1 = න 3 + 2 − 2 + න 3 + 2 − 2 −2 0 0 1 8 5 37 = න 3 + 2 − 2 − න 3 + 2 − 2 = + = . −2 0 3 12 12
21. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 11 Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao và rộng . 28 26 128 131 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3 3 3 3 Bài giải Vì nếu chọn hệ trục 푶풙풚 như hình vẽ. Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các đường 풚 = 풙 , 풚 = . 풙 = ퟒ Phương trình hoành độ giao điểm: 풙 = ⇔ ቈ . 풙 = −ퟒ ퟒ ퟒ = Diện tích vòm cửa là:푺 = ׬ − 풙 풅풙 = 풙 − 풙 ቤ −ퟒ −ퟒ
22. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 12 Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường y=ex, y=0, x=0, x=ln8. Đường thẳng x=k (0 < k < ln8) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 và S2. Tìm k để S1 = S2 9 2 A. k = ln B. k = ln4 C. k = ln 4 D. k = ln5 2 3 Bài giải ln8 ln8 Ta có xx S12+ S =e d x = e = 7 ( ) 0 k 0 k x x k Sx1 =e d = e = e − 1 ( ) 0 0 Mà 7 7 9 S= S S = ek − 1 =. k = ln 1 2 1 2 2 2
23. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 13 Cho hai hàm số f ( x) = ax22+bcx +x − 2 và g( x) = dx2 ++ex2 a , b , c , d , e R Biết rằng đồ thị của chúng cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là – 2 ; – 1 ; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng: 13 9 37 A. 37 B. C. D. 6 2 2 12 Bài giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị đã cho là ax3++−=bxcx 22 dx 2 ++ +− 3 x 2 a 3( bdx) 2 +−( cex) −= 4 0.( *) Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm – 2; -1 ; 1 nên ax32++( bdx−) ( cex −) −4 = kx( + 2)( x + 1)( x − 1) Khi đó 1 −4 = − 2kk = 2 37 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là 2(xx+2)(x + 1)( − 1) dx = −2 6
24. DẶN DÒ 1 Xem lại các dạng bài tập trên 2 Xem trước bài : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY