Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 12 - Chương III, Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học (Tiết 2)

1. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÉPPHÂN CHIATRONG SỐ HÌNH PHỨC HỌC (t2) LỚP 12 GIẢI TÍCH Chương 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 2) II TÍNH THỂ TÍCH III THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
2. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) II TÍNH THỂ TÍCH 1. Thể tích của vật thể Cắt vật thể 휗 bởi 2 mặt phẳng 푃 , 푄 vuông góc với trục lần lượt tại = , = < . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục tại ≤ ≤ , cắt vật thể 휗 theo thiết diện có diện tích là S . Giả sử S liên tục trên ; . (1)  Thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai = න 푆 d (1) mặt phẳng 푃 , 푄 được tính bởi công thức:
3. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho vật thể 휗 giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình = 0, = 2. Cắt vật thể trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ bằng (0 ≤ ≤ 2), ta thu được thiết diện có diện tích bằng 3 2. Tính thể tích của vật thể đó. Bài giải Hai mặt phẳng: Diện tích thiết diện: S( x) = 3 x2 xx==0, 2 2 Diện tích thiết diện: 2 3 2 Thể tích của vật thể 휗: V= 3 xd x ==x 8 ñvtt S x= 3 x2 0 ( ) ( ) 0 b =V S( x)d x a
4. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2: Cho vật thể 휗 giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình = 0, = . Cắt vật thể trên bởi mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành độ bằng (0 ≤ ≤ ), ta thu được thiết diện là hình tròn có bán kính bằng sin . Tính thể tích của vật thể đó. . Bài giải Hai mặt phẳng: 2 Diện tích thiết diện: S( x) = ( sin x ) = sin x xx==0, 2 Diện tích hình tròn: Thể tích của vật thể 휗: V= sin xd x = − cosx = 2 2 0 SR= 0 b =V S( x)d x a
5. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) II TÍNH THỂ TÍCH 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt Bài toán Tính thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h. Hướng dẫn Ta có: = ℎ Đa giác MNPQ đồng dạng với đáy với tỉ số đồng dạng ℎ Sx( ) x2 B = =S( x) x2 Bh2 h2 h h B Bx3 Bh3 1 Thể tích của khối chóp: V= x2d x = ==. Bh 2 h2 3 2 0 h 0 h 33
6. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) II TÍNH THỂ TÍCH 2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt Thể tích khối chóp 1 Thể tích khối chóp có diện tích B đáy và chiều cao h được tính bởi công thức: = ℎ 3 Thể tích khối chóp cụt Thể tích khối chóp cụt có diện tích hai đáy lần lượt là B, B’ và chiều cao h được tính bởi công thức: ℎ = ( + ′ + ′) 3
7. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) III THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Bài toán Cho một hình thang cong được giới hạn bởi đồ thị hàm số = ( ), trục O và hai đường thẳng = , = quay xung quanh trục O tạo thành một khối tròn xoay. Tính thể tích V của nó. Hướng dẫn Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt phẳng vuông góc với trục O tại ∈ ; là hình tròn có bán kính bằng ( ) . Suy ra S( x) = f2 ( x). b Vậy V= f2 ( x)d. x a
8. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) III THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Cho hàm số = ( ) liên tục trên ; . Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = , trục và hai đường thẳng = , = xung quanh trục được tính bởi công thức: = න 2 d (2)
9. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 3: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường = 푒 , trục O và = 0, = 1 xung quanh trục O . Bài giải ye= x Thể tích của khối tròn xoay: y = 0 (H ) x = 0 1 1 2 2x 1 x =1 V= ( ex ) d x = ex2xd = e =−(e2 1) 2 0 2 b 0 0 V= f2 ( x)d x a
10. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 4: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường = 2 − 2 + 1, = 0 và = 3 xung quanh trục O . Bài giải 2 2 y= x −21 x + Xét phương trình hoành độ giao điểm: xx−2 + 1 = 0 =x 1 3 (Hy) = 0 2 Thể tích của khối tròn xoay: 2 V= ( x −21 x + ) d x x = 3 1 3 3 5 4 ( x −1) PT: fx( ) = 0 =− xx1 d = ( ) b 1 5 32 1 V= f2 xd x = ( ) 5 a
11. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 5: Tính thể tích V của khối cầu có bán kính R. Bài giải Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi y= R22 − x, y = 0, x==0, x R quanh trục Ox : R R 2 V=− R22 xd x =− R22 x d x 1 ( ) ( ) 0 0 R 3 3 2 x 3 R 2 3 =− Rx =− R = R 2 2 2 3 3 3 x+= y R22 0 y=− R x 22 Hyy = R= 0 − x 4 3 ( ) VVR =2 1 = x==0, x R 3
12. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) Ứng dụng tích phân để tính thể tích Thể tích vật thể Thể tích khối tròn xoay y = f( x),0 y = (H ) x== a, x b Khối chóp cụt 2 = න 푆( ) d h = න d V= B + BB'' + B 3 ( )
13. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
14. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 Cắt một vật thể 휗 bới hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục lần lượt tại = và = < . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với tại điểm ( ≤ ≤ ) cắt 휗 theo thiết diện có diện tích là S( ). Giả sử S( ) liên tục trên đoạn ; . Khi đó phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) có thể tích được tính bởi công thức nào dưới đây? b b b b . A. V= S( x)d. x B. V= S( x)d. x C. V= S2 ( x)d. x D. V= S2 ( x)d. x a a a a Bài giải Chọn B. Câu hỏi lý thuyết.
15. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 2 Thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = , trục O và hai đường thẳng = 1, = 4 khi quay quanh trục O được tính bởi công thức nào dưới đây? 4 4 4 4 A. V= xd. x B. V= xd. x C. V= xd. x D. V= xd. x 1 1 1 1 Bài giải Chọn B. b Thể tích khối tròn xoay: V= f2 ( x)d x a 4 2 4 Suy ra V= ( x) d x = xxd 1 1
16. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 3 Cho hàm số bậc ba = liên tục trên R và có đồ thị như hình bên. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số = và trục hoành (phần gạchchéo) quanh trục hoành ta thu được một khối tròn xoay. Thể tích khối tròn xoay đó được tính bởi công thức nào dưới đây? 1 01 A. V= f2 ( x)d. x B. V=− f22( x)d x f( x) d x . −2 −20 1 01 C. V= f2 ( x)d. x D. V=+ f22( x)d x f( x) d x . −2 −20 Bài giải Chọn C. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh Ox được tính bởi công thức:
17. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 4 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng = 0 và = , biết 3 rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục O tại điểm có hoành độ ቀ0 ≤ ≤ ቁ thì được thiết diện là một hình tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt 3 là 2 và cos . 33+ 33− 3 A. V = . B. V = . C. D. V = . 6 3 6 Bài giải 1 Sử dụng máy tính fx- 580VNX Chọn C. Diện tích thiết diện: S( x) = .2 x .cos x = xx.cos 2 Thể tích phần vật thể: 33− V = . =+( xsin x cos x) 3 6 0
18. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 5 Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quanh hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=tan , trục O , trục Oy và đường thẳng = quanh trục O . 4 A. V =− 1. B. V = ln 2. C. V =−1. D. V = ln 2. 4 4 Bài giải Sử dụng máy tính fx- 580VNX Chọn A. Thể tích khối tròn xoay: 4 4 1 V= tan2 x d x =− 1dx 2 0 0 cos x =− (tan xx) 4 0 Vk = ln 2.
19. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 6 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số = 2 − 2 và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho quay quanh trục O . 4 4 16 16 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 3 3 15 15 Bài giải Chọn C. Sử dụng máy tính fx- 580VNX Phương trình hoành độ giao điểm: Thể tích khối tròn xoay: 2 2 16 V=− 2d x x2 x ( ) Vk = . 0 15 4 16 V = . = k 3 15
20. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 7 Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng = 1 và = 4, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục O tại điểm có hoành độ 1 ≤ ≤ 4 thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là 2 . A. V = 63 3 . B. V =126 3. C. V = 63 3. D. V =126 3 . Bài giải Sử dụng máy tính fx- 580VNX Chọn B. (23x)2 Diện tích thiết diện: Sx( ) = 6. = 63x2 4 Thể tích phần vật thể: 4 4 V= 6 3 x2 d x = 23x3 =126 3 1 1
21. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 8 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường = ln , = 0, = 1 và = . Gọi là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình quay trục . Biết rằng = . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. ퟒ < 풌 < . B. < 풌 < . C. < 풌 < . D. < 풌 < ퟒ. Bài giải Chọn C. k k V= ln x d x =− xln x x = kln k − k + 1 k ( ) 1 ( ) 1 Do = nên (kln k− k + 1) = kln k − k + 1 = 1 kk(ln − 1) = 0 =ke (2;3)
22. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 9 Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thànhhai phần bởi parabol (P) có đỉnh tại O. Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ).Tính thể tích V của khối tròn xoay khi cho phần S quay quanh trục Ox. 128 128 64 256 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 5 3 5 5 Bài giải Chọn D. 1 Ta có parabol (P) có đỉnh O và đi qua điểm B(4;4) có phương trình y = 2 4 Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng (phần gạch chéo) khi quay quanh trục Ox là: 2 4 1 64 V= x2 d x = 1 5 0 4 2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình vuông OABC quanh cạnh OC là: V2 == r h 64 64 256 Suy ra thể tích khối tròn xoay cần tính: VVV= − =64 − = 21 55
23. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại. 3 A. 72 m . B. 36 m3 . C. 72 m3 . D. 36 m3 . Bài giải Chọn B. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: Giả sử phương trình parabol là (P) : y= ax2 + bx + c Do parabol có đỉnh là ( 0;3 ) và đi qua điểm nên có hệ phương trình: 4 a =− b = 0 3 4 2 c = 3 = b 0 (P) :3 y = − x + 3 9 c = 3 ac+=0 4
24. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 10 Để chuẩn bị cho hội trại do Đoàn trường tổ chức, lớp 12A dự định dựng một cái lều trại có hình parabol như hình vẽ. Nền của lều trại là một hình chữ nhật có kích thước bề ngang 3 mét, chiều dài 6 mét, đỉnh trại cách nền 3 mét. Tính thể tích phần không gian bên trong trại. 3 A. 72 m . B. 36 m3 . C. 72 m3 . D. 36 m3 . Bài giải Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục tại điểm có hoành 3 3 độ (− ≤ ≤ ) ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật 2 2 4 có hai kích thước lần lượt là − 2 + 3 ( ) và 6 ( ). 3 4 Diện tích thiết diện thu được là: 푆 = 6. ( 2 + 3) = −8 2 + 18 3 3 2 Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là: (−+8xx2 18) d = 36 m3 3 − 2
25. LỚP 12 GIẢI TÍCH BÀI 3 ỨNG DỤNG TÍCHPHÉP PHÂN CHIA TRONG SỐ PHỨCHÌNH HỌC (t2) DẶN DÒ 1 Học công thức và làm lại các ví dụ trong bài. 2 Ôn tập lại kiến thức chương 3