Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Tuần 15, Bài 2: Mặt cầu

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Tuần 15, Bài 2: Mặt cầu

1. Tuần dạy: 15 Tppct: 17 BÀI 2. MẶT CẦU A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S O;R . Khi đó SO ;R MOM | R 2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S O;R và một điểm A bất kì, khi đó:  Nếu OA R ASO ;R . Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán   kính sao cho OA OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của B mặt cầu.  Nếu OA R Anằm trong mặt cầu. O A  Nếu OA R Anằm ngoài mặt cầu. A Khối cầu S O;R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R . A 3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S O;R và một mp P . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp P và H là hình chiếu của O trên mp P d OH .  Nếu d R mp P cắt mặt cầu S O;R theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp P có tâm là H và bán kính rHM R2 d 2 R 2 OH 2 (hình a).  Nếu d R mpP không cắt mặt cầu S O;R (hình b).  Nếu d R mpP có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S O;R tiếp xúc mp P . Do đó, điều kiện cần và đủ để mp P tiếp xúc với mặt cầu S O;R là dOP , R (hình c). d d = Hình a Hình b Hình c d d =
2. 4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S O;R và một đường thẳng . Gọi H là hình chiếu củaO trên đường thẳng và d OH là khoảng cách từ tâmO của mặt cầu đến đường thẳng . Khi đó:  Nếu d R không cắt mặt cầu S O;R .  Nếu d R cắt mặt cầu S O;R tại hai điểm phân biệt.  Nếu d R và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu là ddO , R . Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O;R thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O;R .  Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S O;R . 5/ Diện tích và thể tích mặt cầu 4 • Diện tích mặt cầu: S 4 R2 . • Thể tích mặt cầu: V R3 . C C 3 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP II – CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Tính diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu. 1. PHƯƠNG PHÁP 1.1. Định nghĩa Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là S OR; . Khi đó SOR ; MOM | R. 1.2. Diện tích và thể tích mặt cầu 4 • Diện tích mặt cầu: S 4 R2 . • Thể tích khối cầu: V R3 . 3 2.1. Các ví dụ: Câu 1: Tính diện tích mặt cầu có bán kính bằng 1. Lời giải Diện tích mặt cầu S 4π R2 4π (đvdt) Câu 2: Tính thể tích của khối cầu có diện tích mặt ngoài bằng 36 . Lời giải 2 2 Ta có: SC 4 R 36 R 9 R 3. Suy ra thể tích của khối cầu là: 4 4 V R3 .3 3 36 (đvtt) C 3 3 Câu 3: Tính thể tích khối cầu có bán kính R 2 a .
3. Lời giải 4 4 32 a3 Ta có thể tích khối cầu là V . R3 .8a3 (đvtt). 3 3 3 2.2 Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Cho mặt cầu S có tâm O , bán kính R 2. Một mặt phẳng (P ) cách tâm O một khoảng 2 6 bằng . Mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính là: 3 2 42 2 3 2 15 2 7 A. r B. r C. r D. r 3 3 3 3 Câu 2: Cho mặt phẳng (P ) và mặt cầu (S ) có tâm I . Biết mặt phẳng (P ) cắt mặt cầu (S ) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích bằng 2 và khoảng cách từ I mặt phẳng (P ) bằng 1. Tính bán kính của mặt cầu (S ). A. 3 B. 6 C. 9 D. 3 Câu 3: Cho mặt cầu S có tâm O , bán kính R 4 . Một mặt phẳng (P ) có khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P ) bằng 4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. P tiếp xúc với S . B. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn khác đường tròn lớn. C. P và S không có điểm chung. D. P cắt S theo giao tuyến là đường tròn lớn. Câu 4: Cho mặt cầu S có tâm O . Một đường thẳng có khoảng cách từ O đến đường thẳng bằng 3 và đường thẳng cắt mặt cầu S tại 2 điểm A, B sao cho AB 8. Tính bán kính R của mặt cầu S. A. R 10 B. R 5 C. R 6 D. R 4 Câu 5: Cho mặt cầu S OR, , có diện tích đường tròn lớn là 2 . Tính bán kính của mặt cầu S OR, . A. R 2 . B. R 2 . C. R 1. D. R 4 . Câu 6: Cho mặt cầu S và mặt phẳng P , biết khoảng cách từ tâm của mặt cầu S đến mặt phẳng P bằng a. Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến là đường tròn có chu vi 2 3 a . Diện tích mặt cầu S bằng bao nhiêu? A. 12 a2 . B. 16 a2 . C. 4 a2 . D. 8 a2 . Câu 7: Cho khối cầu O bán kính R 3, mặt phẳng cách tâm O của khối cầu một khoảng bằng
4. 1, cắt khối cầu theo một hình tròn. Gọi S là diện tích của hình tròn này. Tính S A. 4 2 . B. 8 . C. 4 . D. 2 2. Câu 8: Cho mặt cầu có bán kính r 4 cm . Thiết diện của mặt cầu cắt bởi mặt phẳng bất kỳ có diện tích lớn nhất bằng 4 A. 32 cm2 . B. 8 cm2 . C. cm2 . D. 16 cm2 . 3 Câu 9: Gọi R, S , V lần lượt là bán kính, diện tích, thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai? 4 A. V R3 . B. S R2 . C. 3V SR . . D. S 4 R2 . 3 Câu 10: Cho khối cầu có bán kính R . Thể tích của khối cầu đó là 4 1 4 A. V 4 R3 B. V R3 . C. V R3 . D. V R2 . 3 3 3 Câu 11: Khối cầu S có diện tích mặt cầu bằng 16 . Tính thể tích khối cầu S . 32 32 32 3 32 3 A. . B. . C. . D. . 9 3 9 3 Câu 12: Biết rằng khi quay 1 đường tròn có bán kính bằng 1 quay quanh một đường kính của nó ta được 1 mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu đó. 4 A. . B. 2 . C. . D. 4 . 3 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.D 9.B 10.B 11.B 12.D