Đề cương ôn tập Toán 12 - Tuần 9 - Bài 3: Thể tích của khối đa diện

Nội dung text: Đề cương ôn tập Toán 12 - Tuần 9 - Bài 3: Thể tích của khối đa diện

1. Tuần: 9 Tiết ppct:9 BÀI 3. THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. THỂ TÍCH CỦA KHỐI HỘP CHỮ NHẬT * Định lí 1: Thể tích của một khối hình hộp chữ nhật bằng tích số của ba kích thước. Như vậy: c a - Với khối hộp chữ nhật có ba kích thước là abc,, thì V abc.. . b a a a - Khối lập phương có cạnh bằng a thì V a3 . II. THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ * Định lí 2: Thể tích của một khối lăng trụ bằng tích của diện tích đáy và chiều cao. h h Như vậy: Với khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S S S và chiều cao bằng h ta có: V S. h . III. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP 1 * Định lí 3: Thể tích của một khối chóp bằng tích 3 của diện tích đáy và chiều cao. h Như vậy: Với khối chóp có diện tích đáy bằng S và 1 S chiều cao bằng h ta có: .V S. h 3 IV. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN S Cho khối tứ diện SABC và A', B ', C ' là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,, SB SC ta có: A' C' B' VSA' B ' C ' SA' SB ' SC ' .. A C VSABC SA' SB SC B B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABCA.' B ' C ' là tam giác vuông cân tại A , có cạnh BC a 2 , biết A' B 3 a . Tính thể tích của khối lăng trụ. Lời giải
2. A' C' B' 3a A C a a 2 B Ta có: ABC vuông cân tại A nên AB AC a . ABCA.' B ' C ' là lăng trụ đứng AA'  AB . ABC AA' AB '2 AB 2 8 a 2 AA ' 2 a 2 . Vậy V S. h a3 2 . Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA.''' B C D ' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a . Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA.''' B C D ' . Lời giải D' C' A' B' 4a 5a D C A B ABCDA.''' B C D ' là lăng trụ đứng nên BD2 BD' 2 DD ' 2 9 a 2 BD 3 a . 3a ABCD là hình vuông AB . 2 9a2 Suy ra S . Vậy V S. h S . h 9 a3 . ABCD 4 ABCD PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: [2H1-3.2-2] Cho hình lăng trụ đều ABC. A B C có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Thể tích của khối lăng trụ là 3 3 a3 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. . 2 6 3 Câu 2: [2H1-3.2-2] Cho hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a .Thể tích khối lăng trụ đều là 2a3 2 a3 2a3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 4 Câu 3: [2H1-3.6-2] Nếu ba kích thước của một khối chữ nhật tăng lên 4 lần thì thể tích của nó tăng lên A. 4 lần. B. 16 lần. C. 64 lần. D. 192 lần.
3. Câu 4: [2H1-3.1-2] Cho lăng trụ đứng ABC. A ’ B ’ C ’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB AC a, cạnh bên AA' a 2. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ’ B ’ C ’ . a3 2 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V a3 2 . 2 6 3 Câu 5: [2H1-3.5-2] Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm của các mặt của một khối bát diện đều cạnh a. 8a3 a3 16a3 2 2a3 2 A. V . B. V . C. V . D. V . 27 27 27 27 Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a , biết A' B hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải A' C' B' A o C 60 a a B Ta có AA' ABC  AA ' AB và AB là hình chiếu của A' B trên đáy ABC . Vậy góc 0 A' B , ABC ABA ' 60 . ABA' AA ' AB .tan 600 a 3 1 a2 S BABC. ABC 2 2 a3 3 Vậy V S. AA ' . ABC 2 Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC a , ACB 600 , biết BC ' hợp với AA' C ' C một góc bằng 300 . Tính AC ' và thể tích lăng trụ. Lời giải
4. A' C' B' 30o a A 60o C B Ta có ABC AB AC.tan 600 a 3 Mặt khác: AB ACAB;   AA ' AB AACC '' nên AC ' là hình chiếu của BC ' trên 0 AA' C ' C . Vậy góc BC'; AA ' C ' C BC ' A 30 AB AC' B AC ' 3 a tan 300 AA' C ' AA ' AC '2 A ' C ' 2 2 a 2 a2 3 ABC là nửa tam giác đều nên S ABC 2 Vậy V a3 6 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 6: [2H1-3.1-2] Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.’’’ A B C có đáy là một tam giác vuông cân tại A . Cho AC AB 2 a , góc giữa AC’ và mặt phẳng ABC bằng 300 . Thể tích khối lăng trụ ABC.’’’ A B C là 4a3 3 2a3 3 4a2 3 4a 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 7: [2H1-3.6-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A B C D có AB a; AD 2 a , đường thẳng AC tạo với đáy một góc 600 . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD. A B C D . A. V 2 a3 15 . B. V a3 15 . C. V 2 a3 3 . D. V 4 a3 3 . Câu 8: [2H1-3.6-2] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.’’’ A B C D ’ với AB 10 cm , AD 16 cm . Biết rằng BC’ 8 hợp với đáy một góc sao cho cos . Tính thể tích khối hộp. 17 A. 4800 cm3 . B. 5200 cm3 . C. 3400 cm3 . D. 6500 cm3 . Câu 9: [2H1-3.2-2] Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.’’’ A B C D ’ có cạnh đáy a , góc của đường chéo với đáy là 600 . Tính thể tích khối lăng trụ a3 6 a3 6 A. a3 6 . B. a2 6 . C. . D. . 3 2
5. Câu 10: [2H1-3.2-2] Cho lăng trụ tam giác đều ABCA.' B ' C 'có khoảng cách từ điểm A đến mp A' BC bằng a và đường thẳng AA' hợp với mp A' BC một góc300 . Thể tích khối lăng trụ ABCA.' B ' C '. 32a3 31a3 30a3 33a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 9 9 9 9 Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a , biết A' BC hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải A' C' B' A o C 60 a a B 0 Ta có AA'  ABC và BC AB BC  A' B vậy góc A' BC ; ABC ABA ' 60 ABA' AA ' AB .tan 600 a 3 1 a2 S BABC. ABC 2 2 a3 3 Vậy V S. AA ' ABC 2 Ví dụ 2. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABCA.' B ' C 'là tam giác đều. Mặt A' BC tạo với đáy một góc 300 và diện tích tam giác A' BC bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ. Lời giải A' C' B' o A 30 C x I B ABC đều AI  BC mà AA'  ABC nên AI'  BC 0 Vậy góc A' BC ; ABC A ' IA 30
6. 2x 3 Giả sử BIxAI x 3 . Ta có 2 AI 3 AAIAI' ' 2 xAAAI ; ' .tan 300 x 3. x cos300 3 3 Vậy VABC.'' A B C ' CIAIAA. . ' x 3 Mà SA' BC BIAIxx. ' .2 8 x 2 Do đó VABC.'' A BC ' 8 3 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 11: [2H1-3.2-2] Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.’’’ A B C D ’ cạnh đáy 4 3 dm . Biết mặt phẳng BCD’ hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ. A. 325dm3 . B. 478dm3 . C. 576dm3 . D. 648dm3 . Câu 12: [2H1-3.1-2] Cho lăng trụ đứng ABCA. ' B' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a, BC a 2 , mặt bên (A' BC) hợp với mặt đáy ABC một góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ. a3 3 a3 6 a3 3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 6 3 3 6 Câu 13: [2H1-3.1-2] Cho hình lăng trụ đứng ABCA.' B ' C 'có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA BC a . Biết rằng mp A' BC hớp với mp ABC một góc 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA.' B ' C '. a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . 2 4 3 6 Câu 14: [2H1-3.2-2] Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A ’ B ’ C ’ có AB a, góc giữa hai mặt phẳng A’ BC và ABC bằng 600 . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 3 3 3 3 3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V a3 . 8 8 4 4 Câu 15: [2H1-3.1-2] Cho hình lăng trụ đứng ABCA.' B ' C 'có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ; AC 2 a . Biết rằng mp A' BC hợp với mp ABC một góc 450 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA.' B ' C '. a3 2 a3 2 a3 2 A. V a3 2 . B. V . C. V . D. V . 2 3 4 Dạng 4: Khối lăng trụ xiên Ví dụ 1. Cho lăng trụ xiên tam giác ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là a 3 và hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ Lời giải
7. A' C' B' C 60o A a H B Ta có CH'  ABC CH là hình chiếu của CC ' trên ABC . 0 Vậy góc CC'; ABC C ' CH 60 3a CHC' CH ' CC '.sin 600 2 a2 3 3a3 3 S . Vậy V S. CH ' ABC 4 ABC 8 Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ xiên tam giác ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A ' xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 600 . Tính thể tích lăng trụ. Lời giải A' B' 60o A C O B 2 2a 3 a 3 ABC đều nên AO AH . 3 3 2 3 a3 3 AOA' A ' O AO tan 500 a . Vậy V S. AO ' . ABC 4 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 16: [2H1-3.4-2] Cho lăng trụ ABCA.' B ' C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết A'. O a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho. a3 3 a3 3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 4 4 6 Câu 17: [2H1-3.3-2] Cho hình lăng trụ ABC. A ’ B ’ C ’ có đáy là tam giác vuông tại B, AB a , BC 2 a . Hình chiếu vuông góc của A' trên đáy ABC là trung điểm H của cạnh AC , đường thẳng A' B tạo với đáy một góc 450 . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC. A ’ B ’ C ’ .
8. a3 5 a3 5 a3 5 A. V . B. V . C. V . D. V a3 5 . 6 3 2 Câu 18: [2H1-3.4-2] Một khối lăng trụ tam giác có các cạnh đáy bằng 13, 14, 15, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 300 và có chiều dài bằng 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. A. V 340. B. V 336. C. V 274 3 . D. V 124 3 . Câu 19: [2H1-3.4-2] Cho hình lăng trụ ABCD.’’’ A B C D ’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a, AD a 3 và A B 3 a . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.’’’ A B C D ’. 2 A. V 2 a3 6 . B. V a3 6 . C. V a3 6 . D. V 6 a3 2 . 3 Câu 20: [2H1-3.3-2] Cho hình lăng trụ ABC.’’’ A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của C’ trên ABC là trung điểm I của BC . Góc giữa AA’ và BC là30o . Thể tích của khối lăng trụ ABC.’’’ A B C là a3 a3 a3 a3 A. . B. . C. . D. . 3 4 6 8 Dạng 5: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABC có SB SC BC CA a . Hai mặt ABC và ASC cùng vuông góc với SBC . Tính thể tích hình chóp. Lời giải A a C a B a a S Ta có ABC  SBC AC  SBC ASC  SBC 1 1a2 3 a 3 3 Do đó V S.. AC a 3SBC 3 4 12 Ví dụ 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AC a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 600 . Tính thể tích hình chóp. Lời giải
9. S a C A 60o B Ta có SA ABC AB là hình chiếu của SB trên ABC . 0 Vậy góc SB, ABC SAB 60 a1 a2 ABC vuông cân nên BABC .. S BABC 2 ABC 2 4 a 6 1 1a2 a 6 a 3 6 SAB SA AB.tan 600 . Vậy V S... SA . 2 3ABC 3 4 2 24 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 21: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a , AC 2 a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . a3 a3 a3 A. V a3 . B. V . C. V . D. V . 2 3 4 Câu 22: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . 2a3 a3 3 a3 3 a3 3 A. V B. V C. V D. V . 3 12 3 4 Câu 23: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD . a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. a3 2 . D. . 6 4 3 Câu 24: [2H1-2.1-2] Cho hình chóp S. ABC có SA a và vuông góc với đáy ABC . Biết rằng tam giác ABC đều và mặt phẳng SBC hợp với đáy ABC một góc 30 . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . a3 3 2a3 a3 3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 3 3 12 3 Câu 25: [2H1-2.1-2] Cho khối chóp S. ABC có SA vuông góc với ABC , đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , BC 2 a , góc giữa SB và ABC là 30 . Tính thể tích khối chóp S. ABC .
10. a3 6 a3 6 a3 3 a3 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 3 4 Dạng 6: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . Lời giải S A D H B a C a) Gọi H là trung điểm AB . SAB đều SH  AB mà SAB  ABCD  SH ABCD . Vậy H là chân đường vuông góc. a3 1 a3 3 b) Ta có tam giác SAB đều nên SA V S. SH . 2 3ABCD 6 Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D , AD a , ABC  BCD và AD hợp với BCD một góc 600 . Tính thể tích tứ diện ABCD . Lời giải A a 60o B D C Gọi H là trung điểm của BC . Ta có ABC đều nên AH BCD , mà ABC  BCD  AH BCD a 3 Ta có AH HD AH AD.tan 600 a 3 và HD AD.cot 600 3 2a 3 BCD BC2 HD 3 1 1 1a3 3 Vậy V S.... AH BCHDAH . 3BCD 3 2 9
11. PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 26: [2H1-2.2-2] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. 3 3 3 a 3 a 3 a 3 A. . B. . C. . D. a . 6 2 3 Câu 27: [2H1-2.2-2] Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC 2 a . Mặt bên SBC là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S. ABC . 2a3 2a3 a3 A. V a3. B. V . C. V . D. V . 3 3 3 Câu 28: [2H1-2.2-2] Cho hình chóp S. ABC có SA a , tam giác ABC đều, tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích khối chóp S. ABC bằng 6a3 6a3 6a3 6a3 A. . B. . C. . D. . 4 24 12 8 Câu 29: [2H1-2.2-2] Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S. ABCD là: A. 12a3 . B. 14a 3 . C. 15a3 . D. 17a3 . Câu 30: [2H1-2.2-2] Cho khối chóp S. ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 3a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S. ABCD , biết góc giữa SC và ABCD bằng 60o . 9a3 15 A. V 18 a3 3. B. V . 2 C. V 9 a3 3 D. V 18 a3 15. Dạng 7: Khối chóp đều Ví dụ 1. Có Cho chóp tam giác đều S. ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a . Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC . Tính thể tích chóp đều S. ABC . Lời giải S 2a A a C O H a a B Dựng SO ABC . Ta có SA SB SC OA OB OC . Vậy O là tâm tam giác đều ABC . Ta có tam giác ABC đều nên
12. 2 2a 3 a 3 OA AH . 3 3 2 3 11a2 a 11 SAO SO2 SA 2 OA 2 SO 3 3 1a3 11 Vậy V S. SO . 3ABC 12 Ví dụ 2. Cho khối chóp tứ giác S. ABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . a) Chứng minh rằng S. ABCD là chóp tứ giác đều. b) Tính thể tích khối chóp S. ABCD . Lời giải S a D C O A a B Dựng SO ABCD . Ta có SA SB SC SD nên OA OB OC OC ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông. Ta có SA2 SB 2 AB 2 BC 2 AC 2 nên ASC vuông tại a2 1 1 a 2 a3 2 S OS V S.. SO a2 2 3ABCD 3 2 6 a3 2 Vậy V . 6 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 31: [2H1-2.3-2] Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a và chiều cao của hình chóp là a 2 . Tính theo a thể tích khối chóp S. ABC a3 6 a3 6 a3 a3 6 A. . B. . C. . D. . 4 12 6 6 Câu 32: [2H1-2.3-2] Tính thể tích của chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . a3 2 a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. . 12 4 6 2 Câu 33: [2H1-2.3-2] Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp S. ABC . a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 4 2 4 4 Câu 34: [2H1-2.3-2] Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 là
13. 2 2 2 1 A. . B. . C. . D. 2 2 . 3 12 8 Câu 35: [2H1-2.3-2] Cho hình chóp đều S. ABCD có chiều cao bằng a 2 và độ dài cạnh bên bằng a 6 . Tính thể tích khối chóp S. ABCD . 8a3 2 10a3 2 8a3 3 10a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 36: [2H1-2.3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a , cạnh bên bằng 3a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho 4 7a3 4a3 4 7a3 A. V 4 7 a3 . B. V . C. V . D. V . 9 3 3 Câu 37: [2H1-2.3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối chóp S. ABCD 2a3 3 2a3 6 4a3 3 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 1.A 2.D 3.C 4.A 5.A 6.A 7.A 8.A 9.A 10.A 11.C 12.D 13.A 14.A 15.A 16.B 17.C 18.B 19.A 20.D 21.C 22.B 23.D 24.A 25.A 26.A 27.D 28.C 29.A 30.B 31.B 32.A 33.D 34.A 35.A 36.D 37.C