Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Quận Bắc Từ Liêm - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Phòng GD&ĐT Quận Bắc Từ Liêm - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ II PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề số 3 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề kiểm tra gồm: 01 trang) 1 x 11 x 3 Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = và B = với x 0, x 9 Tính giá x 3 x 9 2 9 trị của biểu thức B khi x 16 1) Rút gọn biểu thức M A.B 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I 3 chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi 10 chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Bài 3 (2,0 điểm). x my 2 1) Cho hệ phương trình: 2x 4y 3 a) Giải hệ phương trình khi m 3 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện x và y là hai số đối nhau. 2 2) Cho hàm số y = - x có đồ thị là parabol (P) và hàm số y = x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d). Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác OAB. Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM. 1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM 3) Chứng minh: AM.BE = AN.AQ 4) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định 1 Bài 5 (0,5 điểm) Cho x 0, tìm GTNN của biểu thức A x2 3x x
2. HƯỚNG DẪN 1 x 11 x 3 Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = và B = với x 0, x 9 x 3 x 9 2 9 1) Tính giá trị của biểu thức B khi x 16 2) Rút gọn biểu thức M = A.B 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M Hướng dẫn 9 3 3 12 3 3 16 9 1) Thay (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được: B 4 4 2 2 2 8 2) Ta có: 1 x 11 x 3 M A.B . x 3 x 9 2 x 3 x 11 x 3 2 x 14 x 7 . x 3 x 3 x 3 x 3 2 x 3 .2 x 3 x 7 4 3) M 1 x 3 x 3 4 4 4 4 7 Vì x 0nên x 3 3 suy ra 1 1 M x 3 3 x 3 3 3 7 Vậy MaxM x 0 3 Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I 3 chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II chảy trong 3 giờ thì được bể. Hỏi nếu mỗi vòi 10 chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Hướng dẫn Gọi x và y là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể là x, y 12 , giờ 1 giờ vòi I 1 1 1 chảy được: (bể); 1 giờ vòi II chảy được: (bể), 1 giờ cả 2 vòi chảy được: (bể) x y 12 1 1 1 Theo đề bài ta có phương trình: x y 12 4 3 4 3 3 4 giờ vòi I chảy được (bể); 3 giờ vòi II chảy được (bể) nên ta có: x y x y 10 1 1 1 3 3 1 1 x y 12 x y 4 Ta có hệ: 4 3 3 4 3 3 2 x y 10 x y 10
3. 1 1 3 1 1 1 1 1 (1) + (2) ta được: nên nên x 20; y 30 x 4 10 20 y 12 20 30 Vậy: Vòi I chảy một mình đầy bể là 20 (giờ), vòi II chảy một đầy bể là 30 (giờ) Bài 3 (2,0 điểm). x my 2 1) Cho hệ phương trình: 2x 4y 3 c) Giải hệ phương trình khi m = 3 d) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện x và y là hai số đối nhau. 2 2) Cho hàm số y = - x có đồ thị là parabol (P) và hàm số y = x – 2 có đồ thị là đường thẳng (d). Gọi A và B là giao điểm của (d) với (P). Tính diện tích tam giác OAB. Hướng dẫn 1) 1 x x 3y 2 2x 6y 4 2x 1 2 a) Thay m = 3 vào hệ ta được: 2x 4y 3 2x 4y 3 x 3y 2 1 y 2 Nên hệ có nghiệm (1, 2) x my 2 2x 2my 4 2m 4 y 1 b) 2x 4y 3 2x 4y 3 x my 2 Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2m 4 0 m 2 1 khi đó hệ phương trình có nghiệm: 1 3m 8 y x 2m 4 2m 4 2m 4 y 1 m 1 x my 2 x 2 y 2m 4 2m 4 1 3m 8 y x 2m 4 2m 4 x và y là hai số đối nhau nên 2 m 1 x 2 y 2m 4 2m 4 7 Từ (1) và (2) suy ra: m 3 2)
4. PT hoành độ giao điểm của (P) và (d): 2 2 x1 1 y1 1 x x 2 x x 2 0 do a b c 0 x2 2 y2 4 Nên A 2; 4 , B 1; 1 Gọi C giao điểm của (d) và trục Oy, ta có C 0; 2 BH.OC AK.OC x . 2 S S S B AOB OBC AOC 2 2 2 1 . 2 2 . 2 S 3 AOB 2 2 Bài 4 (3,5 điểm). Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM. 1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM 3) Chứng minh: AM.BE = AN.AQ 4) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định. Hướng dẫn
5. 1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn Xét (O), đường kính AB có: APB 90o ,AMB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên QPB 90o ;QMA 90o (kề bù) Suy ra: QPE QME 180o nên tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: ∆AKN = ∆BKM K là điểm chính giữa cung AB nên sd KA sd KB AK KB (liên hệ giữa cung và dây) Xét AKN và BKM ta có: AK KB (chứng minh trên); KAN KBM (chắn cung KM); AN BM (gt) Nên ∆AKN = ∆BKM 3) Chứng minh: AM.BE = AN.AQ AMQ : BME (g – g) AM AQ Suy ra: BM EB mà AN BM (gt) nên AM.BE AN.AQ 4) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Chứng minh rằng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định. OPM vuông cân tại O nên sđ PM = 90o PQB vuông cân nên Q 45o Mà OSB OPM 45o Q OSB 45o SO / /QA hay SO / / AR 1 Ta có: QRS SMP (tứ tiếp PRSM nội tiếp) QRS QAB RS / / AB 2 Từ (1) và (2) suy ra: từ giác ARSO là hình bình hành.
6. Lấy điểm I,C, D lần lượt là trung điểm của RS, AO và OB như vậy C, D là các điểm cố định. Chứng minh dễ dàng các tứ giác ARIC, BSID là các hình bình hành AQB CID 45o I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45o I nằm trên cung chứa góc 45o vẽ trên đoạn CD cố định. Vậy điểm I nằm trên cung tròn cố định (đpcm) 1 Bài 5 (0,5 điểm) Cho x > 0, tìm GTNN của biểu thức A = x2 3x x Hướng dẫn 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 Ta có: A x 3x x x 4x x 4x x 4 x 4 2 x 4 2 1 1 Ta thấy: x 0 , dấu “=” xảy ra khi x 2 2 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương: 4x 4 x 1 1 15 1 Dấu “=” xảy ra khi 4x 2 x . Nên A , dấu “=” xảy ra khi x x 2 4 2 15 1 Vậy: Min y khi x 4 2