Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Chuyên Hà Nội - Amsterdam - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Chuyên Hà Nội - Amsterdam - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II HÀ NỘI – AMSTERDAM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán – Lớp 9 Đề số 11 Thời gian làm bài: 45 phút 1 y 1 1 x 1 Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trinh: 3 2 y 1 7 x 1 Bài 2 (3 điểm) Giải bài toán sau bằng cách hệ phương trình Một nhóm gồm 15 học sinh nam và nữ tham gia lao động trồng cây. Cả buổi lao động thầy giáo nhận thấy các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây. Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC AB AC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm D và E (D nằm giữa B và E) sao cho D· AB E· AC . Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn (O) tại I và J. a) Chứng minh: phân giác của đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn (O) b) Chứng minh: tứ giác BCJI là hình thang cân. c) Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại điểm A. Chứng minh rằng: đường thẳng xy cũng là tiếp tuyến tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Bài 4 (1 điểm) Cho a,b,c là các số thỏa mãn a b c 1 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A a b c 3ab HẾT
2. HƯỚNG DẪN 1 y 1 1 x 1 Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trinh: 3 2 y 1 7 x 1 Hướng dẫn Điều kiện: x 1; y 1 1 Đặt a; y 1 b hệ phương trình đã cho trở thành x 1 a b 1 2a 2b 2 a b 1 b 2 3a 2b 7 3a 2b 7 a 1 a 1 1 Với a 1 ta có 1 x 1 1 x 0 (thỏa mãn) x 1 Với b 2 ta có y 1 2 y 1 4 y 5 (thỏa mãn) Vậy hệ phương trình có nghiệm là: x; y 0;5 Bài 2 (3 điểm) Giải bài toán sau bằng cách hệ phương trình Một nhóm gồm 15 học sinh nam và nữ tham gia lao động trồng cây. Cả buổi lao động thầy giáo nhận thấy các bạn nam trồng được 30 cây, các bạn nữ trồng được 36 cây. Mỗi bạn nam trồng được số cây như nhau và mỗi bạn nữ trồng được số cây được số cây như nhau. Tính số học sinh nam và số học sinh nữ của nhóm, biết rằng mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây. Hướng dẫn Gọi số học sinh nam là x (học sinh) với 0 x 15; x N * Số học sinh nữ là y (học sinh) với 0 y 15; y N * Vì nhóm gồm 15 học sinh nên ta có phương trình: x y 15 1 30 Mỗi học sinh nam trồng được số cây là: (cây) x 36 Mỗi học sinh nữ trồng được số cây là: (cây) y Vì mỗi bạn nam trồng nhiều hơn mỗi bạn nữ 1 cây nên ta có phương trình:
3. x y 15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 30 36 1 x y x y 15 y x 15 Giải hệ phương trình ta có: 30 36 30 36 1 1 x y x y 30 36 30 36 Suy ra 1 1 30 x 15 36x x x 15 x x 15 x x 15 30x 450 36x x2 x 66x 450 x2 15x x2 81x 450 0 x 75 x 6 0 x 75 loai x 6 thoa man Vậy số học sinh nam là 6 học sinh. Số học sinh nữ là 15 6 9 (học sinh) Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm D và E (D nằm giữa B và E) sao cho . Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn (O) tại I và J. a) Chứng minh: phân giác của đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn (O) b) Chứng minh: tứ giác BCJI là hình thang cân. c) Kẻ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại điểm A. Chứng minh rằng: đường thẳng xy cũng là tiếp tuyến tròn ngoại tiếp tam giác ADE. Hướng dẫn
4. a) Kẻ đường kính IOK . Ta có OI OJ OIJ cân tại O O· IJ O· JI Lại có: K· OJ O· IJ O· JI (góc ngoài tam giác) K· OJ 2O· IJ Tương tự K· OH 2O· IH Nên K· OH K· OJ 2 I·OH O· IJ H· OI 2H· IJ Tương tự H· OJ 2H· AJ Do đó H· IJ H· AJ 1 Tương tự H· IJ H· AI 2 Có H· AJ H· AC I·AC; H· AI H· AB I·AB Mà H· AC H· AB; I·AC I·AB gt Nên H· AJ H· AI 3 Từ (1), (2) và (3) suy ra: H· IJ H· JI HIJ cân tại H HI HJ Mà IJ là dây cung của O H nằm chính giữa cung nhỏ IJ. · · 1 · · · 1 · b) Tương tự câu a ta có: BCJ BAJ BOJ ; IBC IAC IOC 2 2
5. Mà B· AJ I·AJ B· AI I·AJ C· AJ I·AC Nên B· CJ I·BC Có B,C, J, I O B· CJ B· IJ 180o I·BC B· IJ 180o Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía Do đó BC / / IJ BCIJ là hình thang. Mà B· CJ I·BC nên BCIJ là hình thang. c) Có x· AD x· AB B· AD ·AED ·ACE E· AC Mà B· AD E· AC 1 Kẻ OM  AB M AB , có x· AB ·AOM A· OB 2 1 Tương tự câu a có ·ACB A· OB 2 Do đó x· AB ·ACB (đpcm) Bài 4 (1 điểm) Cho a,b,c là các số thỏa mãn a b c 1 2 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức A a b c 3ab Hướng dẫn Ta có: A a2 b2 c2 3ab a b c 2 5ab 2bc 2ac 1 5ab 2bc 2ac 1 Dấu bằng xảy ra khi (a; b; c) là hoán vị 3 số (1; 0; 0) 2 Ta có A a b c2 ab Mà: 2 2 2 a b 1 c 2 3 2 c 1 2 3 1 1 1 ab A a b c a b c . 4 4 4 2 4 4 3 3 3 2 a b 3 Dấu bằng xảy ra khi 1 c 3 Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi (a; b; c) là hoán vị 3 số (1; 0; 0) 2 a b 1 3 Giá trị nhỏ nhất của A là khi 3 1 c 3