Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nam Từ Liêm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nam Từ Liêm - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NAM TỪ LIÊM NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán – Lớp 9 Đề số 14 Thời gian làm bài: 90 phút x 2 2 x x x Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức A và B : 1 x x x 6 x 3 x 3 với x 0; x 9 2 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Với x Z , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A.B Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Quảng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lên dốc và lúc xuống dốc. Bài 3 (2 điểm) Cho đường thẳng d : y x 2 và Parabol : 2 1 P : y 2m 1 x . m 2 a) Tìm m biết parabol (P) đi qua điểm M 2;4 b) Với m tìm được 1) Vẽ đồ thị của (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ. 2) Xác định tọa độ điểm A và B của (d) và (P). Tính diện tích OAB. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) dây cung BC không đi qua tâm. Điểm A di động trên cung nhỏ BC (AB < AC). Kẻ đường kính AP. Gọi D là hình chiếu của A trên BC, gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, C trên AP. a) Chứng minh rằng tứ giác ABDE nội tiếp b) Chứng minh rằng: BD.AC AD.PC c) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng OI cắt DP tại K. Gọi N là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh IK//NP và EN//AC d) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . 2 Bài 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn x y 1 xy 1 1 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy x2 y2 x y
2. HƯỚNG DẪN x 2 2 x x x Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức A và B : 1 x x x 6 x 3 x 3 với x 0; x 9 2 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Với x Z , tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P A.B Hướng dẫn 2 a) x 16 x 4 . Vì x 0; x 9 x 4 . Thay vào A ta có:P 4 2 2 2 4 A 1 4 1 2 3 b) Ta có: 2 x x x 2 x x x B : : x x 6 x 3 x 3 x 2 x 3 x 3 x 3 2 x x x 2 x 3 x 4 x x x 4 x 4 . x 2 x 3 x x x 2 x x 2 x 2 x 2 x 4 x 4 3 c) P A.B . 1 1 x x 2 x 1 x 1 3 3 Với x Z ta có x 1 1 3 1 4 x 1 x 1 Vậy giá trị lớn nhất của P A.B là 4. Dấu “=” xảy ra khi x = 0 Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Quảng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lên dốc và lúc xuống dốc. Hướng dẫn Gọi x (km/h) là vận tốc của xe đẹp lúc lên dốc và y (km/h) là vận tốc xe đẹp lúc xuống dốc. Điều kiện x 0, y 0
3. 4 5 40 Người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút nên ta có: x y 60 5 4 41 Người đi xe đạp từ B đến A hết 41 phút nên ta có: x y 60 4 5 40 x y 60 x 12 Ta có phương trình 5 4 41 y 15 x y 60 Bài 3 (2 điểm) Cho đường thẳng d : y x 2 và Parabol : 2 1 P : y 2m 1 x . m 2 a) Tìm m biết parabol (P) đi qua điểm M 2;4 b) Với m tìm được 1) Vẽ đồ thị của (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ. 2) Xác định tọa độ điểm A và B của (d) và (P). Tính diện tích OAB. Hướng dẫn a) Thay M 2;4 vào P , ta được: 4 2m 1 2 2 2m 1 1 m 1 2 b) P : y x , d : y x 2 Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
4. 2 2 x 1 y 1 x x 2 x x 2 0 x 2 y 4 Vậy A 1;1 , B 2;4 1 1 S S S .2.4 .2.1 3 OAB COB CAO 2 2 Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) dây cung BC không đi qua tâm. Điểm A di động trên cung nhỏ BC (AB < AC). Kẻ đường kính AP. Gọi D là hình chiếu của A trên BC, gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B, C trên AP. a) Chứng minh rằng tứ giác ABDE nội tiếp b) Chứng minh rằng: BD.AC AD.PC c) Gọi I là trung điểm của BC. Đường thẳng OI cắt DP tại K. Gọi N là điểm đối xứng của D qua I. Chứng minh IK//NP và EN//AC d) Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF . Hướng dẫn a) Ta có D, E nhìn AB dưới một góc vuông nên ABDE nội tiếp b) Xét BDA và PCA có: B· DA P· CA 90o D· BA C· PA 90o (chắn cung AC) BD PC Vậy BAD : PCA g.g BD.AC AD.PC AD AC c) I là trung điểm của BC OI  BC IK / / AD Xét PDA có O trung điểm PA, OK // AD. Vậy K là trung điểm của PD Xét PDN có I trung điểm DN, K là trung điểm PD. Vậy IK //NP Ta có IK //NP B· NP 90o . Ta có N, E nhìn PB dưới một góc vuông nên BEBP nội tiếp B· NE B· PE (chắn cung BE) (*)
5. B· PE B· CA (chắn cung BA) (*) Từ (*) và ( ) suy ra B· NE B· CA . Vậy EN // AC d) Ta có E· DC B· AP (tứ giác ABDE nội tiếp) B· AP B· CP (chắn cung PB) Vậy E· DC B· CP . Vậy ED // CP DE / /CP Ta có EN / /CA DE  EN . Mà I là trung điểm DN. Vậy I là tâm đường tròn ngoại AC  CP tiếp tam giác DEF 2 Bài 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa mãn 2 x y 1 xy 1 1 xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy x2 y2 x y Hướng dẫn 2 2 x y 2 x y Vì xy x y 1 2 4 2 2 x y x y 2 x y 1 4 3 x y 2 8 x y 4 0 3x 3y 2 x y 2 0 x y 2 Mà x y 2 xy xy 1 1 1 xy 1 1 1 xy P xy x2 y2 x y 2xy x2 y2 2xy x y 4 1 xy 4 2 4 2 2 2 2 . 2 1 1 2 x y 2xy 2xy x y x y 2 xy. x y 4 2.1.2 Dấu bằng xảy ra khi x y 1. Vậy min P 2 x y 1.