Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Ngô Sĩ Liên (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 9 Đề số 10 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1 (2 điểm): x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 x 5 x 5 x 25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 1 b) Chứng minh B x 5 c) Tìm tất cả giá trị của x để A B. x 4 Bài 2 (2 điểm): Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau 4h48’ thì đầy bể. Biết lượng nước vòi I chảy một một mình trong 1h20’ bằng lượng nước của vòi II chảy một mình trong 30 phút và thêm 1 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể. 8 Bài 3 (2 điểm): 2 2 y x 1 4 1) Giải hệ phương trình 2 y 3 x 1 5 2) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y mx 3 a) Chứng tỏ d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m 2. Tính diện tích AOB c) Gọi giao điểm của d và P là C và D. Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Bài 4 (3,5 điểm): Cho (O) đường kính AB, M là một điểm cố định trên tiếp tuyến tại A của (O). Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MHK (H nằm giữa M và K; tia MK nằm giữa hai tia MB, MO). Các đường thẳng BH, BK cắt đường thẳng MO tại E và F. a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO, tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK, cắt (O) tại I, CI cắt MK tại N. Chứng minh NH = NK c) OE = OF. Bài 5 (0,5 điểm): 1 1 1 Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c 3. Tìm GTNN của A a 2 1 b2 1 c2 1
2. HƯỚNG DẪN Bài 1 (2 điểm): x 2 3 20 2 x Cho hai biểu thức A và B với x 0, x 25 x 5 x 5 x 25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 1 b) Chứng minh B x 5 c) Tìm tất cả giá trị của x để A B. x 4 Hướng dẫn a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 Thay x = 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 9 2 5 5 A 9 5 2 2 1 b) Chứng minh B x 5 3 20 2 x 3 x 5 20 2 x B x 5 x 25 x 5 x 5 x 5 x 5 3 x 15 20 2 x x 5 1 B (đpcm) x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 c) Tìm tất cả giá trị của x để A B. x 4 Để A B. x 4 với x 0,x 25 khi và chỉ khi x 2 1 x 4 x 2 x x 6 0 . x 4 x 4 x 2 x 5 x 5 x 4 x 2 x x 2 0 x 3 x 2 0 do x 2 0,x 0 x 1 x 2 0 x 3 0 x 9 tm x 1 0 x 1 Vậy x 9;x 1 thì A B. x 4 Bài 2 (2 điểm): Hai vòi nước chảy chung vào một bể thì sau 4h48’ thì đầy bể. Biết lượng nước vòi I chảy một một mình trong 1h20’ bằng lượng nước của vòi II chảy một mình trong 30 phút và thêm 1 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng trong bao lâu thì đầy bể. 8 Hướng dẫn
3. 4 1 Đổi 4 giờ 48 phút = 4,8 giờ; 1 giờ 20 phút = giờ ; 30 phút = giờ 3 2 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ), điều kiện x 4,8 Thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là y (giờ), điều kiện y 4,8 1 1 giờ vòi một chảy được (bể) x 1 1 giờ vòi hai chảy được (bể) x 1 5 1 giờ cả hai vòi chảy được (bể) 4,8 24 1 1 5 Theo bài ra ta có phương trình: 1 x y 24 4 Trong 1 giờ 20 phút vòi một chảy được (bể) 3x 1 Trong 30 phút vòi hai chảy được (bể) 2y 4 1 1 Theo bài ra ta có phương trình: 2 3x 2y 8 1 1 5 x y 24 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 4 1 1 3x 2y 8 1 1 Đặt a ;b . Khi đó hệ phương trình có dạng: x y 5 1 a b a 24 8 x 8 tm 4 1 1 1 y 12 a b b 3 2 8 12 Vậy thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là 8 (giờ) thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 12 (giờ) Bài 3 (2 điểm): 2 2 y x 1 4 1) Giải hệ phương trình 2 y 3 x 1 5 2) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y mx 3 a) Chứng tỏ d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m 2. Tính diện tích AOB
4. c) Gọi giao điểm của d và P là C và D. Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Hướng dẫn 2 2 y x 1 4 1) Giải hệ phương trình 2 y 3 x 1 5 Điều kiện: y 2;x 1 Đặt a 2 y;b x 1 điều kiện: a,b 0 Hệ phương trình trở thành: 2a b 4 2a b 4 2a b 4 7b 14 b 2 tm a 3b 5 a 3b 5 2a 6b 10 2a 6b 10 a 1 Với a 1 2 y 1 y 1 tm Với b 2 x 1 2 x 3 tm Vậy hệ có nghiệm là x;y 1;3 2) Cho Parabol (P) : y x2 và đường thẳng d : y mx 3 a) Chứng tỏ d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt Phương trình hoành độ giao điểm: x2 mx 3 x2 mx 3 0 1 m2 12 0, m Phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biệt hay d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt Vậy d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt với mọi m. b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m 2. Tính diện tích AOB Với m = 2 thay vào đường thẳng (d) ta có: y 2x 3. Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: 2 x 1 x 2x 3 0 x 1 x 3 0 x 3 Với x 1 y 1 A 1;1 Với x 3 y 9 B 3;9 Gọi C, D lần lượt là hình chiếu B, A trên Ox suy ra C 3;0 ,D 1;0 Ta có: AD 1;BC 9;OD 1;OC 3;CD 4 1 1 1 OAD vuông tại D S .OD.AD .1.1 (đvdt) OAD 2 2 2 1 1 27 OBC vuông tại C S .OC.BC .3.9 (đvdt) OBC 2 2 2 AD BC .CD 1 9 .4 Hình thang vuông ABCD (AD//BC) S 20 (đvdt) ABCD 2 2 1 27 Vậy S S S S 20 6 (đvdt) OAB ABCD OAD OBC 2 2
5. c) Gọi giao điểm của d và P là C và D. Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ nhất. Theo câu a, ta có d luôn cắt P tại hai điểm phân biệt C và D với mọi m. Gọi tọa độ của C và D lần lượt x1;y1 và x2 ;y2 . Các điểm C và D thuộc đường thẳng d : y mx 3 nên y mx 3; y mx 3. 1 1 2 2 2 2 Ta có CD x2 x1 y2 y1 . Do C và D là giao điểm của (d) và (P) nên là nghiệm của phương trình: x1,x2 x2 mx 3 x2 mx 3 0 1 Có m2 12 0,m m m2 12 m m2 12 Giả sử x x thì x ;x 1 2 1 2 2 2 2 2 Khi đó x2 x1 m 12;y2 y1 m x2 x1 m m 12. Suy ra CD2 m2 12 m2 m2 12 m4 13m2 12 0,m Do đó CDmin 2 3 m 0. Bài 4 (3,5 điểm): Cho (O) đường kính AB, M là một điểm cố định trên tiếp tuyến tại A của (O). Vẽ tiếp tuyến MC và cát tuyến MHK (H nằm giữa M và K; tia MK nằm giữa hai tia MB, MO). Các đường thẳng BH, BK cắt đường thẳng MO tại E và F. a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO, tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK, cắt (O) tại I, CI cắt MK tại N. Chứng minh NH = NK c) OE = OF. Hướng dẫn
6. a) Chứng minh rằng tứ giác AMCO, tứ giác MGKC và tứ giác MCHE nội tiếp *) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp. Vì MA là tiếp tuyến của (O) (gt) nên MA  AO MAO 90o. Vì MC là tiếp tuyến của (O) (gt) nên MC  CO MCO 90o Xét tứ giác AMCO có MAO MCO 90o 90o 180o. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau. Suy ra tứ giác AMCO nội tiếp đường tròn đường kính MO. *) Chứng minh tứ giác MFKC nội tiếp. 1 Ta có BKC là góc nội tiếp chắc cung BC của (O) nên BKC = sđ BC. 2 COB là góc ở tâm chắn cung BC của (O) nên COB sd BC COB 2BKC 1 Vì MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của O COM AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Mà MCO BOF (đối đỉnh) COM BOF Vì MCO vuông tại O CMO COM 90o 2CMO 2COM 180o. Hay 2CMO COM BOF 180o. Lại có CMO BOC BOF 180o BOC 2CMO 2 Từ (1) và (2) BKC CKF 180o.
7. Mà CMO CKF 180o. (hai góc kề bù) Xét tứ giác MFKC có CMO CKF 180o. (cmt) Mà hai góc này ở vị trí đối nhau. Tứ giác MFKC nội tiếp. *) Chứng minh tứ giác tứ giác MCHE nội tiếp. Ta có 2CMO BKC cmt CME BKC Lại có CHB BKC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC của (O)) CME CHB Mà CME CHE 180o. (hai góc kề bù) CME CHE 180o. Xét tứ giác MCHE có CME CHE 180o cmt . Mà tứ giác này ở vị trí đối nhau. Tứ giác MCHE nội tiếp. b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK, cắt (O) tại I, CI cắt MK tại N. Chứng minh NH = NK Vì AI / /MK gt AIC HNC (đồng vị) 1 Mà AIC = Sđ AC (góc nội tiếp chắn cung AC) 2 1 HNC sdAC 2 Vì MA, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M của (O) nên OM là phân giác của AOC. 1 1 MOC AOC sdAC 2 2 1 Mà HNC sdAC cmt MOC HNC 2 Xét tứ giác MCNO có MOC HNC cmt Mà hai góc này là hai góc của 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh MC của tứ giác MCNO Tứ giác MCNO nội tiếp Lại có MCO 90o cmt Tứ giác MCNO nội tiếp đường tròn đường kính MO MOC 90o (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính MO) hay ON  HK NH NK (quan hệ đường kính vuông góc với dây cung (O)). c) OE = OF. Xét tứ giác AMNO có MAO MNO 90o 90o 180o. Mà hai góc này ở vị trí đối nhau. Tứ giác AMNO nội tiếp. AOM ANH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AM) Mà AOM BOF (đối đỉnh) ANH BOF
8. Xét HNA và BOF có: ANH BOF cmt ; AHN OBF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK của (O)) AN OF HAN : BOF g.g 3 HN OB Có BEO EMH EHM (góc ngoài của MEH ) Mà EMH BHK (đối đỉnh) BEO EMH BHK * Có OAN EMH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON) NAK NAO OAK EMH BHK (do OAK BHK hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK) ( ) Từ (*) và ( ) BEO NAK Xét BEO và KAN có: BEO NAK cmt ;EBO NKA (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AH) OE AN BEO : KAN g.g OB NK OE AN Mà NH NK cmt 4 OB NH OF OE Từ (3) và (4) OE OF (đpcm). OB OB Bài 5 (0,5 điểm): 1 1 1 Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c 3. Tìm GTNN của A a 2 1 b2 1 c2 1 Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức Cô – si dạng hai số a b 2 ab Dấu “=” xảy ra khi x y. 1 a 2 1 a 2 a 2 a 2 a Ta có 1 1 1 a 2 1 a 2 1 a 2 1 2a 2 Tương tự, ta có: 1 b 1 c 1 ; 1 b2 1 2 c2 1 2 1 3 3 Cộng theo vế ba BĐT trên ta được: A 3 a b c 3 2 2 2
9. a 2 1 b2 1 Dấu “=” xảy ra c2 1 a b c 3 a,b,c 0 3 Vậy A a b c 1. min 2