Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Công Trứ - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Nguyễn Công Trứ - Năm học 2017-2018 (Có đáp án)

1. UBND QUẬN BA ĐÌNH ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGUYỄN CÔNG TRỨ NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn: Toán – Lớp 9 Đề số 15 Thời gian làm bài: 90 phút 2 x x 1 Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A và B với x 0; x 4 x 2 x 4 x 2 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 2) Rút gọn biểu thức B A 3) Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị là số nguyên B Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một phần xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài 3 (2 điểm) 2 3 x 1 4 y 2 1) Giải hệ phương trinh: 1 2 x 1 5 y 2 2 2) Cho phương trình: x mx 4 0 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để x1x2 x1 x2 13 Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) ( M, N là các tiếp điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) ( Tia AO nằm giữa AM và tia AC) 2 Chứng minh rằng: AM AB.AC c) Gọi H là giao điểm AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. d) Chứng minh rằng HN là tia phân giác của B· HC . Bài 5 (0,5 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1 a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: a b b c c a 2
2. HƯỚNG DẪN 2 x x 1 Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A và B với x 0; x 4 x 2 x 4 x 2 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 b) Rút gọn biểu thức B A c) Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị là số nguyên B Hướng dẫn a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 2 x Với x 0; x 4 ta có A x 2 Với x = 9 thỏa mãn điều kiện 2 9 6 Thay x = 9 vào ta được: A 6 9 2 3 2 Vậy với x = 9 thì A = 6. b) Rút gọn biểu thức B Với x 0; x 4 ta có: x 1 x 1 B x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x x 2 x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 Vậy với x 0; x 4 thì B x 2 A c) Tìm x nguyên để biểu thức có giá trị là số nguyên B Với x 0; x 4 ta có: A 2 x x 1 2 x x 2 2 x 2 x : . 2 B x 2 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 A 2 Vì 2 Z nên để Z thì Z B x 1 Trường hợp 1: x không là số chính phương
3. x không là số nguyên x 1 không là số nguyên 2 không là số nguyên loại trường hợp này. x 1 Trường hợp 1: x là số chính phương x là số nguyên x 1 là số nguyên 2 Để Z thi x 1 U 2 1; 2 x 1 Lập bảng: x 1 1 -1 2 -2 x 2 0 3 -1 x 4 (Không TMĐK) 0 9 (loại) A Vậy với x 0;9 thì có giá trị nguyên. B Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một phần xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Hướng dẫn Gọi số sản phẩn mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất theo kế hoạch là x (sản phẩm), 0 x 1100 ; Số ngày phân xưởng hoàn thành công việc theo kế hoạch là y (ngày), y 2 Vì phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm nên ta có phương trình xy 1100 1 Vì mỗi ngày phân xưởng sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày, do đó ta có phương trình x 5 y 2 1100 2 xy 1100 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình x 5 y 2 1100
4. x 50 x 50 2x2 10x 5500 0 2 x 50 x 55 0 x 55 y 22 10 2x 10 2x y y 10 2x x 55 5 5 y y 50 5 Ta có x 50, y 22 thỏa mãn điều kiện của ẩn; x 55, y 20 không thỏa mãn điều kiện của ẩn. Bài 3 (2 điểm) 2 3 x 1 4 y 2 1) Giải hệ phương trinh: 1 2 x 1 5 y 2 2 2) Cho phương trình: x mx 4 0 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. 2 2 b) Tìm các giá trị của m để x1x2 x1 x2 13 Hướng dẫn 1) Điều kiện: x 1, y 2 x 1 a Đặt 1 a 0,b 0 b y 2 Hệ phương trình trở thành: 3a 2b 4 3a 2b 4 7a 14 a 2 tmdk . 2a b 5 4a 2b 10 2a b 5 b 1 x 1 2 x 1 4 x 3 Trở về ẩn cũ: 1 (tmđk) 1 y 2 1 y 3 y 2 Vậy hệ phương trình có duy nhất x; y 3;3 2) a) Xét phương trình: x2 mx 4 0 Ta có: m2 4 0, m Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x , x với mọi giá trị của m. 1 2
5. x1 x2 m b) Theo Vi-et ta có: x1.x2 4 2 2 Ta có: x1x2 x1 x2 13 2 2 2 3x1x2 x1 x2 13 3. 4 m 13 m 1 m 1 Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN tới đường tròn (O) ( M, N là các tiếp điểm) a) Chứng minh rằng tứ giác AMON nội tiếp b) Vẽ cát tuyến ABC tới đường tròn (O) ( Tia AO nằm giữa AM và tia AC) 2 Chứng minh rằng: AM AB.AC c) Gọi H là giao điểm AO và MN. Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp. d) Chứng minh rằng HN là tia phân giác của B· HC . Hướng dẫn a) Vì AM là tiếp tuyến của (O) nên AM  MO (tính chất tiếp tuyến của đường tròn): M· AO 90o Vì AN là tiếp tuyến của (O) nên AN  NO (tính chất tiếp tuyến của đường tròn): ·ANO 90o Xét tứ giác AMON có M· AO ·ANO 90o 90o 180o Mà M· AO, M· BO ở vị trí đối nhau Do đó tứ giác AMON nội tiếp b) Xét AMC và ABM có : M· AC chung
6. ·AMB ·ACM (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung MB) Do đó AMC : ABM g.g AM AC (các cạnh tương ứng tỉ lệ) AB AM AM 2 AB.AC 1 c) Xét AMO vuông tại M có MH là đường cao AB AH Từ (1) và (2) suy ra: AB.AC AH.AO AO AC Xét ABH và AOC có · OAC Chung AB AH AO AC Do đó ABH : AOC c.g.c A· HB ·ACO (hai góc tương ứng) Xét tứ giác BHOC có: B· HO B· CO B· HO A· HB 1800 · · Mà BHO, BCO ở vị trí đối nhau tứ giác BHOC nội tiếp d) Ta có A· HB ·ACO cmt hay A· HB B· CO Vì OBC cân tại O nên B· CO O· BC (tính chất tam giác cân) Vì tứ giác BHOC nội tiếp nên O· BC O· HC (góc nội tiếp cùng chắn OC) Do đó A· HB O· HC A· HB B· HN 90o o Ta có: O· HC C· HN 90 B· HN C· HN A· HB O· HC Vậy HN là tia phân giác B· HC Bài 5 (0,5 điểm). Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1
7. a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: a b b c c a 2 Hướng dẫn Ta có: 2 a2 b2 c2 a b c a b c ab bc ca 1 . a b b c c a 2 a b c 2 2 2 1 Dấu “=” xảy ra khi: a b c . 3