Đề thi giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Archimedes Academy - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giữa học kì II môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Archimedes Academy - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II THCS ARCHIMEDES ACADEMY Ngày thi: 02/03/2019 Thời gian: 90 phút Đề số 13 Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức: 2 x 1 2 x x 4x A và B với x 0; x 9 x x 3 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho M A.B, hãy so sánh M và M (với điều kiện M có nghĩa) Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách phương trình hoặc hệ phương trình Hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ 40 phút sẽ đầy. Nếu chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Bài 3 (2 điểm) 6 x 2 x y 1) Giải hệ phương trinh: 3 2 1 x y x 2 2 2) Cho hai đường thẳng d : y 2mx m2 2 m và parabol P : y x2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A x1; y1 và B x2 ; y2 . Tìm m để: y1 y2 10x1x2 9 Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C bất kì trên nửa (O) (C khác A; C khác B). Kẻ đường kính CD của (O). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt các tia AC; AD lần lượt tại M và N. 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp. 2) Gọi H là trung điểm của BN, chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH. 3) Kéo dài OM cắt AH tại K. Chứng minh: 2 a) OK.OM OA EF b) K thuộc đường tròn đi qua 4 điểm MCDN. Tính tỉ số AB Bài 4 (0,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a b c,a b c 6,ab bc ca 9
2. 2 a) Chứng minh rằng a, c hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 6 b x 3 b 0 b) Chứng minh rằng 0 a 1 b 3 c 4. HẾT
3. HƯỚNG DẪN Bài 1: (2 điểm) Cho hai biểu thức: 2 x 1 2 x x 4x A và B với x 0; x 9 x x 3 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho M A.B, hãy so sánh M và M (với điều kiện M có nghĩa) Hướng dẫn a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 2 x 1 Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A , ta được x 2 16 1 2.4 1 7 A 16 4 4 b) Rút gọn biểu thức B 2 x x 4x B với x 0; x 9 x 3 x 3 x 9 2 x x 3 x x 3 4x B x 9 x 9 x 9 2 x x 3 x x 3 4x B x 9 2x 6 x x 3 x 4x 3 x x B x 9 x 9 x 3 x x B x 3 x 3 x 3 c) Cho M A.B, hãy so sánh M và M (với điều kiện M có nghĩa) x 2 x 1 1 2 x M A.B . x 3 x x 3 2 x 1 3 x 2 Vì có nghĩa nên, ta xét: 2 M M M 2 x 3
4. 2 Đánh giá: x 0 x 0 3 x 2 0 mà x 3 0,x 1 1 Xét 2 x 1 0 x . Vậy M 2 M khi x . 4 4 Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán sau bằng cách phương trình hoặc hệ phương trình Hai vòi cùng chảy vào một bể không chứa nước thì sau 6 giờ 40 phút sẽ đầy. Nếu chảy một mình thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể? Hướng dẫn 20 Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình cho đến khi đầy bể là: x h , x 3 20 Gọi thời gian vòi 2 chảy một mình cho đến khi đầy bể là: y h , y 3 1 1 Như vậy, năng suất lần lượt của từng vòi 1, vòi 2 lần lượt là: ; (bể/h) x y 20 Khi hai vòi cùng chảy vào bể không chứa nước thì sau 6h40 p h thì đầy bể, nên ta có: 3 1 1 3 1 x y 20 Khi chảy riêng: Do vòi thứ 2 chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 3 giờ nên ta có: x y 3 2 y 12 t / m 1 1 3 5 x 15 Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: x y 20 y l h 3 y 12 x y 3 x y 3 Vậy thời gian để vòi 1, vòi 2 chảy 1 mình đầy bể lần lượt là: 15 h và 12 h Bài 3 (2 điểm) 6 x 2 x y 1) Giải hệ phương trinh: 3 2 1 x y x 2 2 2) Cho hai đường thẳng d : y 2mx m2 2 m và parabol P : y x2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
5. b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A x1; y1 và B x2 ; y2 . Tìm m để: y1 y2 10x1x2 9 Hướng dẫn 6 x 2 x y 1) Giải hệ phương trinh: 3 2 1 x y x 2 2 Điều kiện: x 2; x y a x 2 Đặt I : a,b 0 , ta được HPT mới tương đương HPT đã cho, như sau: b x y 6a b a 5 3 2 1 t / m b 30 b a 2 Thay a;b 5;30 vào (I), ta được: x 2 5 x 2 25 x 23 t / m x y 30 x y 900 y 877 Vậy nghiệm của HPT là: x; y 23;877 2) Cho hai đường thẳng d : y 2mx m2 2 m và parabol P : y x2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x2 2mx m2 2 m x2 2mx m2 2m 0 2 2 2 Xét ' b ' ac m m 2m 2m Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ' 0 2m 0 m 0 Vậy m > 0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. b) Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A x1; y1 và B x2 ; y2 . Tìm m để: y1 y2 10x1x2 9
6. Vì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A x1; y1 và B x2 ; y2 nên phương trình 2 2 x 2mx m 2m 0 có 2 nghiệm phân biệt. x1 x2 2m Theo vi-et, ta có: 2 1 x1x2 m 2m 2 2 Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A x1; x1 và B x2 ; x2 Thay vào y1 y2 10x1x2 9 , ta được: 2 2 2 x1 x2 10x1x2 9 x1x2 10x1x2 9 2 x1x2 1 x1x2 10x1x2 9 0 2 x1x2 9 m2 2m 1 m2 2m 1 0 Từ (1) và (2), ta có: 2 2 m 1 tm m 2m 9 m 2m 9 0 loai Vậy m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C bất kì trên nửa (O) (C khác A; C khác B). Kẻ đường kính CD của (O). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt các tia AC; AD lần lượt tại M và N. 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp. 2) Gọi H là trung điểm của BN, chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH. 3) Kéo dài OM cắt AH tại K. Chứng minh: 2 a) OK.OM OA EF b) K thuộc đường tròn đi qua 4 điểm MCDN. Tính tỉ số AB Hướng dẫn
7. 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp. ¶ ¶ Chứng minh M D1 (cùng phụ hai góc bằng nhau) (1) ¶ ¶ o · Mặt khác: D1 D2 180 ( AND là góc bẹt) (2) ¶ ¶ o Từ (1) và (2) M D2 180 (2 góc ở vị trí đối diện) CDNM nội tiếp (đpcm) 2) Gọi H là trung điểm của BN, chứng minh O là trực tâm của tam giác MAH Vì CD là đường kính của (O) (gt) nên D· AC 90o AN  AC Ta có: OA OB gt Là đường trung bình của tam giác BAN BH HB gt OH / / AN (t/c đường trung bình) OH  AC (quan hệ từ vuông góc tới song song) AB  MH gt Như vậy: OH  AC O là trực tâm của tam giác MAH (đpcm) OH  AB O 3) Kéo dài MO cắt AH tại K. Chứng minh:
8. a) Chứng minh: OAK : OMB g.g OA OK OA.OB OK.OM OA2 OK.OM dpcm OM OB b) Đề sai. Bài 4 (0,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời các điều kiện a b c,a b c 6,ab bc ca 9 2 a) Chứng minh rằng a, c hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 6 b x 3 b 0 b) Chứng minh rằng 0 a 1 b 3 c 4. Hướng dẫn 2 a) Chứng minh rằng a, c hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 6 b x 3 b 0 2 Giải sử a, c là nghiệm của phương trình bậc hai x2 6 b x 3 b 0 Ta thay lần lượt a, c vào phương trình trên: a2 6 b a 3 b 2 0 1 c2 6 b c 3 b 2 0 2 Lấy (1) – (2) và a b c, a b c 6, ta được 0 c a 0 (luôn đúng). 2 Như vậy, a, c là nghiệm của phương trình bậc hai x2 6 b x 3 b 0 (đpcm) b) Chứng minh rằng 0 a 1 b 3 c 4. Ta có a b c, a b c 6, ab bc ca 9 2 Xét a b c 36 a2 b2 c2 18 Chứng minh: a,b,c 0 ta có 2 2 b c 6 a 3a2 ab bc ac a b c a 6 a 3a 0 4 4 4 0 a 4 0 a b c Mà a2 b2 c2 ac bc c2 c a b c 6c c 3 Chứng minh c 4 : 2 Giả sử: c 4 c 4c
9. 2 2 a b 6 c c2 a2 b2 c2 4c 4c 2c 0 0 c 4 2 2 2 Do đó, giả sử sai nên c 4. Chứng minh a 1: Giả sử: 1 a b c 4 a 1 a 4 0 1 Như vậy: b 1 b 4 0 2 c 1 c 4 0 3 Lấy (1) + (2) + (3), ta được: a2 b2 c2 5 a b c 12 18 5.6 12 18 (vô lý) Do đó, giả sử sai nên a 1 Ta có: a 1;c 4 nên b 6 a c 6 1 4 1 Ta có: a 1;c 4 nên b 6 a c 6 1 4 1 Chứng minh b 3: Giả sử: b 3 , ta có: b 3 c 3 0 bc 3 b c 9 3 6 a 9 9 3a 9 ab bc ca a b c bc a b c 9 3a a b c 3 0 Mà a 0,b c 3 do đó, giả sử sai nên b 3 Từ các chứng minh trên ta suy ra: 0 a b c 4 (đpcm)