Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NĂM CĂN ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI 2 3 5 13 48 Bài 1 (3 điểm): Rút gọn biểu thức: A 6 2 x2 y2 xy 19 Bài 2 (3 điểm): Giải hệ phương trình : x y xy 7 1 1 m Bài 3 (5 điểm): Cho hai đường thẳng (d ) : y mx m 3 , (d ) : y x vôùi m 0 1 2 m m a). Chứng minh đường thẳng (d1) qua điểm cố định A, đường thẳng (d2) qua điểm cố định B. b). Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng (d1), (d2). Chứng minh C di động trên đường tròn cố định. Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và đường trung tuyến AM. Biết chu vi tam giác ABC bằng 72cm và AM – AH = 7cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 5 (4 điểm): Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi Ax và By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn và cùng thuộc một nửa mặt phẳng có chứa nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt ở C, D. AD cắt BC ở N, tia MN cắt AB ở K. Chứng minh N là trung điểm của MK. x 4 x 20 Bài 6 (2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 2 HẾT
2. PHÒNG GD&ĐT NĂM CĂN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2017 – 2018 Bài Nội dung Điểm 1 2 3 2 3 5 13 48 2 3 5 (2 3 1) 2 3 4 2 3 A 6 2 6 2 6 2 2 3 ( 3 1)2 2 2 3 2 4 2 3 2 ( 3 1)2 3 1 1 6 2 6 2 6 2 2( 3 1) 3 1 2 x2 y2 xy 19 (x y)2 3xy 19 3 x y xy 7 x y xy 7 Đặt S x y, P xy vôùi S2 4P S2 3P 19 (1) Khi đó hệ đã cho trở thành hệ phương trình S P 7 (2) Từ (2) P S 7 thay vào (1): 2 2 S 3( S 7) 19 S 3S 2 0 S1 1, S2 2 x y 1 a). Với S1 1 P 6 (x; y) ( 3;2);(2; 3) xy 6 b). Với x y 2 S 2 P 5 (x : y) ( 1 6; 1 6); ( 1 6; 1 6) 2  xy 5 Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm (x : y) ( 3;2); (2; 3);( 1 6; 1 6); ( 1 6; 1 6) 3a 1 1 m (d ) : y mx m 3 , (d ) : y x vôùi m 0 1 2 m m + A(xA;yA) cố định thuộc đường thẳng (d1) yA mxA m 3 m 1,5 m(xA 1) yA 3 0 m xA 1 0 xA 1 yA 3 0 yA 3 Vậy đường thẳng (d1) luôn đi qua điểm cố định A( 1; 3) 1 1 m + B(xB;yB) cố định thuộc đường thẳng (d2) y x m B m B m 1,5
3. Bài Nội dung Điểm m(yB 1) xB 1 0 m xB 1 0 xB 1 yB 1 0 yB 1 Vậy đường thẳng (d2) luôn đi qua điểm cố định B(1; 1) 3b 1 2 Ta có hệ số góc của hai đường thẳng lần lượt là a m , a' m 1 a.a' m  1 (m 0) (d )  (d ) ở C m 1 2 A· CB 900 , A và B cố định Vậy C thuộc đường tròn cố định đường kính AB 4 Đặt AM x BC 2x, AH x 7 A 3 Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A: AB2 AC2 BC2 4x2 C Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác B H M vuông ABC: AB.AC BC.AH 2x(x 7) AB2 AC2 2AB.AC 4x2 4x(x 7) (AB AC)2 8x2 28x 2 2 2 (72 2x) 8x 28x x 65x 1296 0 x1 16, x2 81 BC 32(cm), AH 9(cm) 1 32.9 S BC.AH 144 (cm2 ) ABC 2 2 5 Ta có CA và DB là tiếp tuyến của (O) x 4 C DB DN CA  AB, DB  AB CA / /DB M y CA NA CA CM,DB MD D Mà CA và DB là tiếp tuyến của (O) N MD DN MN / /CA / /DB hay MK / /CA / /DB MC NA A O K B Ta có MN DM MN / /CA (1) AC DC NK NB NK / /CA (2) AC BC DM BN DM BN DM BN MN / /DB (3) MC NC DM MC BN NC DC BC MN NK Từ (1), (2), (3) MN NK CA CA 6 Điều kiện x 0 2
4. Bài Nội dung Điểm 2 x 4 x 20 x 2 16 16 16 M x 2 2 x 2 8 x 2 x 2 x 2 x 2 16 min M 8 khi x 2 x 4 x 2 Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn ghi điểm tối đa. Bài 5 không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm.