Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT NĂM CĂN KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN NĂM HỌC: 2017 – 2018 Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (10 điểm): a). Rút gọn: 13 160 53 4 90 125 125 b). Chứng minh x 3 3 9 3 3 9 là số nguyên 27 27 c). Xác định x, y thỏa đẳng thức 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 x 1 7 y 4 d). Giải hệ phương trình: y 1 7 x 4 1 5 e). Giải phương trình: 8x2 x 2 Bài 2 (4 điểm): Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn có tâm là gốc tọa độ O, bán kính bằng 1 (đơn vị đo độ dài) và đường thẳng có phương trình 3x 4y m2 m 3 . a). Xác định m để đường thẳng tiếp xúc đường tròn. b). Khoảng cách từ O đến đường thẳng có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? Bài 3 (6 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R>R’). Vẽ các đường kính AOB và AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC. Gọi I là giao điểm của EC với đường tròn (O’). Chứng minh: a). BD // CE. b). Ba điểm D, A, I thẳng hàng. c). KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). HẾT
2. PHÒNG GD&ĐT NĂM CĂN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC: 2017 – 2018 Bài Nội dung Điểm 1.a 13 160 53 4 90 (2 2 5)2 (3 5 2 2)2 1 1 2 2 5 3 5 2 2 2 5 1.b 125 125 125 5 Đặt a 3 3 9 , b 3 3 9 ab 3 9 9 27 27 27 3 Khi đó: 3 3 3 3 125 125 5 1 x (a b) a b 3ab(a b) 3 9 3 9 3 x 6 5x 27 27 3 x3 5x 6 0 (x 1)(x2 x 6) 0 (1) 2 2 1 23 Mà: x x 6 x 0 x ¡ 2 4 Nên (1) x 1 0 x 1 1 Vậy x là số nguyên 1.c 5x2 5y2 8xy 2y 2x 2 0 4x2 8xy 4y2 x2 2x 1 y2 2y 1 0 4(x y)2 (x 1)2 (y 1)2 0 1 x y 0 x 1 1 x 1 0 y 1 y 1 0 1.d Điều kiện: 1 x; y 7 Trừ tường vế hai phương trình: x 1 y 1 7 y 7 x 0 (1) Nhận xét: (x; y) ( 1; 1) vaø (x; y) (7;7) không là nghiệm của hệ. x y x y (1) 0 x 1 y 1 7 y 7 x 1 1 1 (x y) 0 x y 0 x y x 1 y 1 7 y 7 x Thay y = x vào phương trình đầu ta được x 1 7 x 4 (2) Bình phương hai vế (2) ta được 8 2 x2 6x 7 16 x2 6x 7 4 x2 6x 7 16 (x 3)2 0 x 3 Thử lại x = 3 nghiệm đúng phương trình (2) và thỏa điều kiện Vậy nghiệm của hệ là (x; y) (3;3) 1 1.e Điều kiện x > 0 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
3. Bài Nội dung Điểm 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 8x2 8x2 55 8x2     x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 1 1 1 Dấu “=” xảy ra 8x2 x (thỏa điều kiện) 4 x 4 1 Vậy nghiệm của phương trình là x 4 2.a Khoảng cách từ O đến đường thẳng: m2 m 3 2 2 m m 3 2 1 11 h (do m m 3 m 0) 1,5 32 42 5 2 4 Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (O;1) khi: m2 m 3 h 1 1 m2 m 2 0 (m 1)(m 2) 0 m 1; m 2 1,5 5 1 2 2.b 2 1 2 1 11 11 11 Ta có: m m 3 m h 2 4 4 20 Vậy giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ O đến đường thẳng là: 11 1 h , khi m min 20 2 3 D K A O' B C O I E 3.a Ta có AB  DE (gt) DK KE , mà BK = KC (gt) 1 Suy ra BDCE là hình bình hành => BD//CE 3.b Ta có ABD nội tiếp (O) có AB là đường kính B· DA 900 AD  BD (1) AIC nội tiếp (O’) có AC là đường kính ·AIC 900 AI  CE 1 Mà BD //CE (câu a) AI  BD (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm D, A, I thẳng hàng. 1 3.c Ta có: DI  CE (câu b), nên tam giác DIE vuông tại I có IK là đường trung tuyến ứng cạnh huyền => IK = KD = KE DKI caântaïi K K· DI K· ID (3) 1 Mặt khác AI  CE (câu b), nên tam giác AIC vuông tại I có IO’ là đường trung tuyến ứng cạnh huyền => IO’ = O’A = O’C 1 O' AI caân taïiO' O· ' AI O· 'IA, maø O· ' AI K· AD (ñoáiñænh) K· AD O· 'IA (4) Từ (3) và (4) K· IO' K· ID O· 'IA K· DI K· AD 900 (DE  BC) KI  IO' Vậy KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’). 1 Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn ghi điểm tối đa. Bài 3 không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm.