Giáo án Toán (Hình học) Lớp 12 - Tuần 13 - Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

Nội dung text: Giáo án Toán (Hình học) Lớp 12 - Tuần 13 - Bài 1: Khái niệm về mặt tròn xoay

1. Tuần 13 Tppct: 13 BÀI 1. KHÁI NIỆM VỀ MẶT TRÒN XOAY A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM I. SỰ TẠO THÀNH MẶT TRÒN XOAY – Trong không gian cho mặt phẳng P chứa đường thẳng và một đường C. Khi quay mặt phẳng P quanh một góc 360 thì mỗi điểm M trên C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc và nằm trên mặt phẳng vuông góc với . Như vậy khi quay mặt phẳng P quanh đường thẳng thì C sẽ tạo nên được một hình gọi là mặt tròn xoay. – Trong đó: đường C được gọi là đường sinh của mặt nón; đường thẳng được gọi là trục của mặt tròn xoay. II. MẶT NÓN TRÒN XOAY 1. Định nghĩa mặt nón tròn xoay – Trong mặt phẳng P cho hai đường thẳng d và cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc (với 0 90 ). Khi quay mặt phẳng P xung quanh thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O. – Gọi tắt là mặt nón tròn xoay. – Trong đó: Đường thẳng được gọi là trục; đường thẳng d được gọi là đường sinh; góc 2 được gọi là góc ở đỉnh. 2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay a) Hình nón tròn xoay – Cho IOM vuông tại I . Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh vuông góc OI thì đường gấp khúc IOM tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón. – Trong đó: + Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi IM quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của mình nón. + Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón. + Độ dài đoạn OI được gọi là chiều cao của hình nón. + Độ dài đoạn OM được gọi là độ dài đường sinh của hình nón. + Phần mặt tròn xoay sinh bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón. b) Khối nón tròn xoay – Phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình A đó được gọi là khối nón tròn xoay hay còn gọi tắt là khối nón. – Trong đó: + Điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón gọi là điểm trong của khối nón. + Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng. B O C 3. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của khối nón tròn xoay
2. a) Diện tích xung quanh của hình nón – Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích A xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh tăng lên vô hạn. – Công thức: Sxq rl . Trong đó: r là bán kính đáy; l là độ dài đường sinh. B O C b) Diện tích toàn phần của hình nón – Diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay là tổng diện tích mặt đáy A với diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay. 2 – Công thức: SStp đáy S x q r rl . B O C c) Diện tích hình quạt – Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được: + Một hình quạt có bán hính bằng độ dài đường sinh của hình nón. + Một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. – Công thức: Squa t Sxq rl .  4. Thể tích của khối nón tròn xoay – Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp O đều nội tiếp khối nón khi đó số cạnh tăng lên vô hạn. 1 – Công thức: V S. h . Trong đó: h là chiều cao của khối nón. 3 đáy 1 – Nếu đáy là hình tròn có bán kính r thì V r2 h . 3 III. MẶT TRỤ TRÒN XOAY: 1. Định nghĩa mặt trụ tròn xoay: Trong mp (P) cho hai đường thẳng và l song song nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay (P) xung quanh thì l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay. gọi là trục, l gọi là đường sinh, r là bán kính của mặt trụ đó.
3. A r D h l B r C 2. Hình trụ tròn xoay: Xét hình chữ nhật ABCD. Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa 1 cạnh, chẳng hạn AB, thì đường gấp khúc ADCB tạo thành 1 hình được gọi là hình trụ tròn xoay. – Hai đáy: là hai hình tròn: tâm A bán kính r AD và tâm B bán kính r BC . – Đường sinh: là đoạn CD. – Mặt xung quanh: là mặt do đoạn CD tạo thành khi quay, nếu cắt theo một đường sinh và trãi ra ta được mặt xung quanh là một hình chữ nhật. – Chiều cao: h AB CD . * Khối trụ tròn xoay: Phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ kể cả hình trụ đó được gọi là khối trụ tròn xoay. 3. Công thức tính diện tích hình trụ, thể tích khối trụ: * Diện tích xung quanh của hình trụ bằng tích độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh. Sxq 2 rl mà h l nên Sxq 2 rh * Diện tích toàn phần của hình trụ bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai đáy. SSStp xq 2. đáy 2 do đó Stp 2 rh 2 r * Thể tích khối trụ: V Bh V r2 h 4. Một số tính chất: – Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp vuông góc với trục thì ta được đường tròn có tâm trên và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó. – Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp không vuông góc với trục nhưng cắt tất cả các 2r đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó là sin góc giữa trục và mp với00 90 0 . – Cho mp song song với trục của mặt trụ tròn xoay và cách một khoảng k : + Nếu k r thì mp cắt mặt trụ theo hai đường sinh thiết diện là hình chữ nhật. + Nếu k r thì mp tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh. + Nếu k r thì mp không cắt mặt trụ.
4. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định các yếu tố cơ bản r,, l h của hình nón. Tính diện tích xung qunh, diện tích toàn phần của hình nón. Tính thể tích khối nón. Phương pháp giải: + Áp dụng các công thức liên quan đến hình nón tròn xoay ở trên vào làm bài. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Cho hình nón có bán kính đáy r 3 cm và đường sinh l 5 cm . a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. S b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Lời giải 2 a) Diện tích xung quanh: Sxq rl 15 (cm ) h l 2 2 Diện tích toàn phần: Stp rl r 24 (cm ) b) Chiều cao h l2 r 2 4 . 1 O r Thể tích khối nón: V r2 h 12 (cm3 ) . 3 Ví dụ 2: Cho tam giác SOA vuông tại O có OA 3 cm , SA 5 cm , quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO được hình nón. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. S b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Lời giải Quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO được hình nón hình bên 2 l a) Diện tích xung quanh: Sxq rl 15 ( cm ) h 2 2 Diện tích toàn phần: Stp rl r 24 ( cm ) b) Chiều cao h SO SA2 OA 2 4 . A 1 O r Thể tích khối nón: V rh2 12 ( cm 3 ) . 3 Ví dụ 3: Cho tam giác SAB đều cạnh a , O là trung điểm của AB , quay tam giác SAB xung quanh cạnh SO được hình nón. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón. b) Tính thể tích của khối nón tương ứng. Lời giải S Quay tam giác SAB xung quanh cạnh SO được hình nón như hình vẽ. Ta AB a có r 2 2 a2 h l a) Diện tích xung quanh: S rl xq 2 2 2 3 a Diện tích toàn phần: S rl r B O r A tp 4 a 3 b) Chiều cao h SO . 2 1 a3 3 Thể tích khối nón: V r2 h . 3 24 Ví dụ 4 Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60. Một hình nón có đỉnh S và đường tròn đáy nội tiếp tứ giác ABCD. a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.
5. b) Khi đó thể tích khối nón tương ứng. Lời giải Gọi O, H lần lượt là trung điểm các đoạn AC và BC thì BC OH và BC SO BC  SH SBC , ABC SHO SHO 60 . 1a a 3 OH Ta có OH AB SO OH.tan SHO , SH a 2 2 2 cos600 S a Hình nón nội tiếp S. ABCD có: Bán kính r OH ; 2 a 3 đường sinh l SH a ; đường cao h SO . 2 2 a A a) Diện tích xung quanh Sxq rl . B 2 60° 2 3 O H 12 1 a a 3 a 3 D C b) Thể tích hình nón đó là Vn r h .. 3 3 2 2 24 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O, bán kính R . Biết SO h . Độ dài đường sinh của hình nón bằng A. h2 R 2 . B. h2 R 2 . C. 2 h2 R 2 . D. 2 h2 R 2 . Câu 2: Cho khối nón có bán kính r 5 và chiều cao h 3. Tính thể tích V của khối nón. A. V 9 5 . B. V 3 5 . C. V 5 . D. V 5 . Câu 3: Cho hình nón N có đường kính đáy bằng 4a , đường sinh bằng 5a . Tính diện tích xung quanh S của hình nón N . A. S 10 a2 . B. S 14 a2 . C. S 36 a2 . D. S 20 a2 . Câu 4: Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A , AB a và AC a 3 . Tính độ dài đường sinh l của hình nón có được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. l a . B. l 2 a . C. l 3 a. D. l 2 a . Câu 5: Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A , AC a và BC 2 a .Tính diện tích xung quanh của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB . A. 2 a2 . B. a2 . C. 4 a2 . D. 2 a2 3 Câu 6: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh bằng a . Diện tích toàn phần của hình nón là. 3 a2 a2 3 a2 A. a2 B. . C. . D. . 4 2 2 Câu 7: Cho hình nón có độ dài đường sinh bằng đường kính đáy. Diện tích đáy của hình nón bằng . Chiều cao của hình nón bằng A. 3 . B. 5 .
6. C. 1. D. 2 . Câu 8: Cho hình nón N có độ dài đường sinh bằng 5 và diện tích xung quanh bằng 15 . Tính diện tích toàn phần của hình nón N . A. 33 . B. 24 . C. 12 . D. 30 Câu 9: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a , chiều cao là 3a . Diện tích toàn phần hình nón bằng: A. 36 a2 . B. 72 a2 . C. 56 a2 . D. 32 a2 . Câu 10: Trong không gian cho tam giác ABC vuông cân tại A , AB AC 2 a. Gọi H là trung điểm của cạnh BC . Quay tam giác ABC xung quanh trục AH , ta được một hình nón. Tính bán kính đáy của hình nón đó? a a 2 A. . B. a. C. . D. a 2. 2 2 Câu 11: Một hình nón bán kính đáy bằng 5 cm , góc ở đỉnh là 120o . Tính diện tích xung quanh của hình nón. 50 3 2 25 3 100 3 cm . 50 3 A. cm2 . B. cm2 . C. 3 D. cm2 . 2 3 2 Câu 12: Cho khối nón có bán kính đường tròn đáy bằng 10 và diện tích xung quanh bằng 120 . Chiều cao h của khối nón là: 11 11 A. . B. . C. 2 11 . D. 11 . 2 3 O Câu 13: Trong không gian, cho tam giác vuông OIM vuông tại I , góc IOM 30o và cạnh IM a. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình nón tròn xoay. h l Thể tích của khối nón tròn xoay được tạo nên bởi hình nón là. a3 3 A. a3 3. B. . 3 I r M a3 3 a3 3 C. . D. . 3 2 Câu 14: Trong không gian, cho tam giác vuông ABC tại B có AB 1, A BAC 60o . Quay tam giác đó xung quanh trục AB ta được một hình nón. Tính thể tích khối nón đó. A. B. 2 h l C. 3 D. 4 Câu 15: Cho hình nón tròn xoay có chiều cao h 20cm , bán kính đáy B r C r 25cm . Mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón cách tâm của đáy 12cm . Tính diện tích thiết diện của hình nón cắt bởi mp . A. S 400 cm 2 . B. S 406 cm 2 . C. S 300 cm 2 . D. S 500 cm 2 .
7. Câu 16: Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60 , diện tích xung quanh bằng 6 a2 . Tính thể tích V của khối nón đã cho. 3 a3 2 a3 2 A. V . B. V . C. V 3 a3 . D. V a3 . 4 4 Câu 17: Cho hình nón đỉnh S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Biết rằng AB BC 10 a , AC 12 a , góc tạo bởi hai mặt phẳng SAB và ABC bằng 45. Tính thể tích V của khối nón đã cho. S B C I D A A. V 3 a3 . B. V 9 a3 . C. V 27 a3 . D. V 12 a3 . Câu 18: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Hình nón N có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính thể tích V của khối nón N . 3a3 6a3 6a3 6a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 27 27 9 27 Câu 19: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a , góc giữa mặt bên và đáy bằng 60o . Diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S , có đáy là hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a2 10 a2 3 a2 7 a2 7 A. . B. . C. . D. . 8 3 4 6 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.A 8.B 9.A 10.D 11.C 12,C 13.C 14.A 15.D 16.C 17.B 18.D 19.D