Ôn tập Hình học Lớp 12 - Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 12 - Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng

1. I. Một số dạng bài tập về viết phương trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến của nó. Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1; 2) và có vectơ pháp tuyến n (1; 1;2) . Lời giải Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;1; 2) và có vectơ pháp tuyến n (1; 1;2) có phương trình là: 1(x 1) 1(y 1) 2(z 2) 0 x y 2z 4 0 . Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x y 2z 4 0 . Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm M 0 x0 ; y0 ; z0 và song song với 1 mặt phẳng  : Ax By Cz D 0 cho trước. Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;3) và song song với mặt phẳng (Q) : 2x 2y 3z 1 0 . Lời giải Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : 2x 2y 3z 1 0 nên mặt phẳng (P) có phương trình dạng: 2x 2y 3z D 0 (D 1) . Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn. Ta được: 2.1 2.2 3.3 D 0 D 7 (thỏa mãn D 1 ). Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: 2x 2y 3z 7 0 . Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C không thẳng hàng. Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1;0; 1), B(1;1;1), C(0;1;2) . Lời giải     Ta có: AB (0;1;2), AC ( 1;1;3) AB, AC (1; 2;1) . Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) ta có  n  AB    nên n cùng phương với AB, AC . n  AC Chọn n (1; 2;1) ta được phương trình mặt phẳng (ABC) là: 1(x 1) 2(y 0) 1(z 1) 0 x 2y z 0.
2. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm O và vuông góc x 2t với đường thẳng d : y 1 2t z 2 t. Lời giải  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ud (2;2;1).   Mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng d nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là: n ud (2;2;1) . Đồng thời ( ) đi qua điểm O nên có phương trình là: 2x 2y z 0 . Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng , vuông góc với mặt phẳng  . Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 2t d : y 1 2t và vuông góc với  : x 2y z 1 0. z 2 t. Lời giải  Đường thẳng d đi qua điểm A 0;1;2 và có VTCP là: ud ( 2;2;1).  Mặt phẳng  có VTPT là n 1;2; 1 . Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d và vuông góc với  nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:    n u ,n 4; 1; 6 1 4;1;6 . d  Phương trình mặt phẳng là: 4x y 1 6 z 2 0 4x y 6z 13 0 . Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  . Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm A(1;2;2), B(1;1;4) và vuông góc với  : x y z 1 0. Lời giải
3. Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 1 x 4 d1 : y 1 t và d2 : y 3 2t z 1 t z 1 2 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 1;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 4;3;1 vectơ chỉ phương u2 0; 1;2 .    Ta có u ,u 0 , M M 3;2;0 . 1 2 1 2   Do u ,u 0 nên đường thẳng d ,d song song 1 2 1 2 Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d1,d2 song song nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là:    n u , M M 4;4;4 4 1; 1; 1 . 1 1 2 Phương trình mặt phẳng là: x 1 y 1 z 1 0 x y z 1 0 . Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và song song với hai đường thẳng và chéo nhau cho trước. Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;0; 2) và (P) x 1 x 1 y z 1 song song với hai đường thẳng d1 : y 1 2t và d2 : . 1 2 2 z 1 t Lời giải  Đường thẳng d1 đi qua điểm M1(1;1;1) vectơ chỉ phương u1(0; 2;1) .  Đường thẳng d2 đi qua điểm M 2 (1;0;1) vectơ chỉ phương u2 (1;2;2) .   Ta có u ,u ( 6;1;2) . 1 2 Gọi n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) , ta có:    n  u1 nên n cùng phương với u ,u .  1 2 n  u2 Chọn n ( 6;1;2) ta được phương trình mặt phẳng (P) là:
4. 6(x 1) 1(y 0) 2(z 2) 0 6x y 2z 10 0 . Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng P , Q cho trước. Ví dụ 12 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M ( 1; 2;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q) : x 2y 3z 1 0 và (R) : 2x 3y z 1 0 . Lời giải   VTPT của (Q) là nQ (1;2; 3) , VTPT của (R) là nR (2; 3;1).   Ta có n ,n ( 7; 7; 7) nên mặt phẳng (P) nhận n (1;1;1) là một VTPT và (P) đi qua điểm Q R M ( 1; 2;5) nên có phương trình là: x y z 2 0 . Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  và cách  : Ax By Cz D 0 một khoảng k cho trước. Ví dụ 13: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : x 2y 2z 1 0 và cách (Q) một khoảng bằng 3. Lời giải Trên mặt phẳng (Q) : x 2y 2z 1 0 chọn điểm M ( 1;0;0) . Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2y 2z D 0 với D 1. | 1 D | D 8 Vì d((P),(Q)) 3 d(M ,(P)) 3 3 | 1 D | 9 12 22 ( 2)2 D 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2y 2z 8 0 và x 2y 2z 10 0. Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng  : Ax By Cz D 0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước. Ví dụ 14 : Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : x 2y 2z 1 0 và (P) cách điểm M (1; 2;1) một khoảng bằng 3. Lời giải Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2y 2z D 0 với D 1.
5. |1 4 2 D | D 4 Vì d(M ,(P)) 3 3 | 5 D | 9 12 22 ( 2)2 D 14 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2y 2z 4 0 và x 2y 2z 14 0. Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu S . Ví dụ 15: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) : x 2y 2z 1 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 y2 z2 2x 4y 2z 3 0 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;1) và bán kính R ( 1)2 22 12 3 3 Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x 2y 2z D 0 với D 1. | 1 4 2 D | Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(P)) R 3 3 |1 D | 9 12 22 ( 2)2 D 10 D 8 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán: x 2y 2z 10 0 và x 2y 2z 8 0 . Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng chứa một đường thẳng và tạo với một mặt phẳng  : Ax By Cz D 0 cho trước một góc cho trước. Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P và đường thẳng d lần lượt có phương trình x 1 P : x 2y z 5 0 và d : y 1 z 3. Viết phương trình mặt phẳng Q chứa đường 2 thẳng d và tạo với mặt phẳng P một góc 600 . Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax By Cz D 0 A2 B2 C 2 0 . Chọn hai điểm M 1; 1;3 , N 1;0;4 d. A. 1 B 1 C.3 D 0 C 2A B Mặt phẳng Q chứa d nên M , N Q A.1 B.0 C.4 D 0 D 7A 4B Suy ra mặt phẳng có phương trình là Ax By 2A B z 7A 4B 0 và có VTPT  nQ A; B; 2A B .
6. A 2B 2A B 1 cos(600 ) Q tạo với mặt phẳng P một góc 600 A2 B2 (2A B)2 12 22 ( 1)2 2 A (4 2 3) B Cho B 1 ta được A (4 2 3). Vậy có 2 phương trình mặt phẳng (4 2 3)x y 9 4 3 z 32 14 3 0 (4 2 3)x y 9 4 3 z 32 14 3 0 BÀI TẬP CỦNG CỐ ĐỀ BÀI Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy ?  A. i 1;0;0 B. m 1;1;1 C. j 0;1;0 D. k 0;0;1 Câu 2. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là: A. x 0 B. z 0 C. x y z 0 D. y 0 Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2y 3z 12 0 B. x 2y 3z 6 0 C. x 2y 3z 12 0 D. x 2y 3z 6 0 Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 4;0;1 và B 2;2;3 .Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 3x y z 0. B. 3x y z 6 0. C. x y 2z 6 0. D. 6x 2y 2z 1 0. Câu 5. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 3; 1; 2 và mặt phẳng :3x y 2z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ? A. 3x y 2z 6 0 B. 3x y 2z 6 0 C. 3x y 2z 6 0 D. 3x y 2z 14 0 Câu 6. Mặt phẳng P đi qua A 3;0;0 , B 0;0;4 và song song trục Oy có phương trình A. 4x 3z 12 0 B. 3x 4z 12 0 C. 4x 3z 12 0 D. 4x 3z 0 Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng Q : x 2y 2z 3 0 , mặt phẳng P không qua O , song song mặt phẳng Q và d P ; Q 1. Phương trình mặt phẳng P là A. x 2y 2z 1 0 . B. x 2y 2z 0 .
7. C. x 2y 2z 6 0 . D. x 2y 2z 3 0 . Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , D 2;4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là A. 6x 3y 2z 24 0 .B. 6x 3y 2z 12 0 . C. 6x 3y 2z 0. D. 6x 3y 2z 36 0 . Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox,Oy,Oz . Viết phương trình mặt phẳng ABC . x y z x y z x y z x y z A. 1. B. 1. C. 0. D. 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1;1;1 và B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM 2ON A. P :3x y 2z 6 0 B. P : 2x 3y z 4 0 C. P : 2x y z 4 0 D. P : x 2y z 2 0 Câu 11. Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng MNP là x y z A. 1. B. 3x 2y 6z 6 . 2 3 1 x y z C. 0 . D. 3x 2y 6z 12 0. 2 3 1 Câu 12. Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 có tọa độ là A. M 0; 3;0 . B. M 0;3;0 . C. M 0; 2;0 . D. M 0;1;0 . Câu 13. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A, B,C ( A, B,C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . D. 243. 2 2 6 Câu 14. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2;2 , B 2;2;0 và mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0. Xét các điểm M , N di động trên P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2AM 2 3BN 2 bằng A. 49,8. B. 45. C. 53. D. 55,8.
8. Câu 15. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a;b;c với a, b , c là các số thực dương thỏa 2 2 2 a 1 mãn 5 a b c 9 ab 2bc ca và Q 2 2 3 có giá trị lớn nhất. Gọi M , N , b c a b c P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các tia Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng MNP là A. x 4y 4z 12 0. B. 3x 12y 12z 1 0 . C. x 4y 4z 0 . D. 3x 12y 12z 1 0. ĐÁP ÁN Câu 1. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Oxy ?  A. i 1;0;0 B. m 1;1;1 C. j 0;1;0 D. k 0;0;1 Lời giải Chọn D Do mặt phẳng Oxy vuông góc với trục Oz nên nhận véctơ k 0;0;1 làm một véc tơ pháp tuyến Câu 2. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng Oxz có phương trình là: A. x 0 B. z 0 C. x y z 0 D. y 0 Lời giải Chọn D Câu 3. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 . A. x 2y 3z 12 0 B. x 2y 3z 6 0 C. x 2y 3z 12 0 D. x 2y 3z 6 0 Lời giải Chọn A Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M 1;2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n 1; 2;3 là 1 x 1 2 y 2 3 z 3 0 x 2y 3z 12 0 . Câu 4. (Mã đề 104 - BGD - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 4;0;1 và B 2;2;3 .Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là
9. A. 3x y z 0. B. 3x y z 6 0. C. x y 2z 6 0. D. 6x 2y 2z 1 0. Lời giải Chọn A  Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có véctơ pháp tuyến là AB 6;2;2 và đi qua trung điểm I 1;1;2 của đoạn thẳng AB. Do đó, phương trình mặt phẳng đó là: 6 x 1 2 y 1 2 z 2 0 6x 2y 2z 0 3x y z 0. Câu 5. (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M 3; 1; 2 và mặt phẳng :3x y 2z 4 0 . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với ? A. 3x y 2z 6 0 B. 3x y 2z 6 0 C. 3x y 2z 6 0 D. 3x y 2z 14 0 Lời giải Chọn A Gọi  // , PT có dạng  :3x y 2z D 0 (điều kiện D 4 ); Ta có:  qua M 3; 1; 2 nên 3.3 1 2. 2 D 0 D 6 (thoả đk); Vậy  :3x y 2z 6 0 Câu 6. Mặt phẳng P đi qua A 3;0;0 , B 0;0;4 và song song trục Oy có phương trình A. 4x 3z 12 0 B. 3x 4z 12 0 C. 4x 3z 12 0 D. 4x 3z 0 Lời giải Chọn A   uOy 0;1;0 ; AB 3;0;4    Lấy n u , AB 4;0;3 P Oy Do đó P : 4 x 3 3z 0 4x 3z 12 0 Câu 7. (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng Q : x 2y 2z 3 0 , mặt phẳng P không qua O , song song mặt phẳng Q và d P ; Q 1. Phương trình mặt phẳng P là A. x 2y 2z 1 0 . B. x 2y 2z 0 . C. x 2y 2z 6 0 . D. x 2y 2z 3 0 .
10. Lời giải Mặt phẳng P không qua O , song song mặt phẳng Q P : x 2y 2z d 0( d 0 , d 3). d 3 d 0 Ta có d P ; Q 1 1 d 3 3 . 12 22 22 d 6 Đối chiếu điều kiện ta nhận d 6 . Vậy P : x 2y 2z 6 0 . Câu 8. (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , cho A 2;0;0 , B 0;4;0 , C 0;0;6 , D 2;4;6 . Gọi P là mặt phẳng song song với mp ABC , P cách đều D và mặt phẳng ABC . Phương trình của P là A. 6x 3y 2z 24 0 .B. 6x 3y 2z 12 0 . C. 6x 3y 2z 0. D. 6x 3y 2z 36 0 . Lời giải x y z Phương trình mp ABC : 1 6x 3y 2z 12 0 . 2 4 6 Mặt phẳng P song song với mặt phẳng ABC nên phương trình có dạng: 6x 3y 2z d 0, d 12 . Mặt phẳng P cách đều D và mặt phẳng ABC d ABC , P d D, P d A, P d D, P 6.2 d 6.2 3.4 2.6 d d 12 d 36 d 24 (thỏa mãn). 62 32 22 62 32 22 Vậy phương trình mặt phẳng P : 6x 3y 2z 24 0 . Câu 9. (CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2018-2019 LẦN 03) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2;3 . Gọi A, B,C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục Ox,Oy,Oz . Viết phương trình mặt phẳng ABC . x y z x y z x y z x y z A. 1. B. 1. C. 0. D. 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Lời giải
11. Ta có A 1;0;0 , B 0;2;0 ,C 0;0;3 lần lượt là hình chiếu của M lên Ox,Oy,Oz . x y z Phương trình đoạn chắn có dạng: 1. 1 2 3 Câu 10. (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng P đi qua A 1;1;1 và B 0;2;2 đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM 2ON A. P :3x y 2z 6 0 B. P : 2x 3y z 4 0 C. P : 2x y z 4 0 D. P : x 2y z 2 0 Lời giải Chọn D Giả sử P đi qua 3 điểm M a;0;0 , N 0;b;0 , P 0;0;c x y z Suy ra P : 1 a b c 1 1 1 1 a 2 a b c Mà P đi qua A 1;1;1 và B 0;2;2 nên ta có hệ 2 2 2 2 1 1 b c b c Theo giả thuyết ta có OM 2ON a 2 b b 1 TH1: b 1 c 2 suy ra P : x 2y z 2 0 2 TH2: b 1 c suy ra P : x 2y 3z 2 0 3 Câu 11. (THCS - THPT NGUYỄN KHUYẾN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng MNP là x y z A. 1. B. 3x 2y 6z 6 . 2 3 1 x y z C. 0 . D. 3x 2y 6z 12 0. 2 3 1 Lời giải
12. Không mất tính tổng quát, ta giả sử M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 2; 3;1 lên các mặt phẳng tọa độ Oxy , Oxz , Oyz . Khi đó, M 2; 3;0 , N 2;0;1 và P 0; 3;1   MN 0;3;1 và MP 2;0;1 .   Ta có, MN và MP là cặp vectơ không cùng phương và có giá nằm trong MNP   Do đó, MNP có một vectơ pháp tuyến là n MN, MP 3; 2;6 . Mặt khác, MNP đi qua M 2; 3;0 nên có phương trình là: 3 x 2 2 y 3 6 z 0 0 3x 2y 6z 12 0. Câu 12. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Trong không gian Oxyz , điểm M thuộc trục Oy và cách đều hai mặt phẳng: P : x y z 1 0 và Q : x y z 5 0 có tọa độ là A. M 0; 3;0 . B. M 0;3;0 . C. M 0; 2;0 . D. M 0;1;0 . Lời giải Ta có M Oy M 0; y;0 . y 1 y 5 Theo giả thiết: d M P d M Q y 3. 3 3 Vậy M 0; 3;0 Câu 13. (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 cắt các tia Ox,Oy,Oz tại A, B,C ( A, B,C không trùng với gốc tọa độ ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu? 81 243 81 A. . B. . C. . D. 243. 2 2 6 Lời giải Giả sử A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c với a,b,c 0 . x y z Mặt phẳng P có phương trình ( theo đoạn chắn): 1. a b c 9 1 1 Vì mặt phẳng P đi qua điểm M 9;1;1 nên 1. a b c
13. 9 1 1 9 Ta có 1 33 a.b.c 243. a b c a.b.c 1 243 81 81 V a.b.c . Vậy thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ nhất là . OABC 6 6 2 2 Câu 14. (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3; 2;2 , B 2;2;0 và mặt phẳng P : 2x y 2z 3 0. Xét các điểm M , N di động trên P sao cho MN 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2AM 2 3BN 2 bằng A. 47,7. B. 45. C. 53. D. 55,8. Lời giải Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt phẳng P AH BK 3, H 1; 1;0 , K 0;1;2 , HK 3. Đặt HM t ta có: HM MN NK HK 3 NK 2 t 2 143 2AM 2 3BN 2 2AH 2 2HM 2 3BK 2 3KN 2 45 2t 2 2 t 47.7 3 2 Dấu bằng xảy ra khi M , N đoạn thẳng HK.và HM Vậy Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2AM 2 3BN 2 bằng 47,7 Câu 16. (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A a;b;c với a, b , c là các số thực dương thỏa mãn 5 a2 b2 c2 9 ab 2bc ca và a 1 Q có giá trị lớn nhất. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A b2 c2 a b c 3 lên các tia Ox , Oy , Oz . Phương trình mặt phẳng MNP là A. x 4y 4z 12 0. B. 3x 12y 12z 1 0 . C. x 4y 4z 0 . D. 3x 12y 12z 1 0. Lời giải t 2 t 2 Đặt t b c t 0 ; b2 c2 ; bc . 2 4 5 a2 b2 c2 9 ab 2bc ca 5a2 5 b c 2 9a b c 28bc 5a2 5t 2 9at 7t 2 5a t a 2t 0 a 2t . 4 1 Vậy Q f t với t 0. t 27t3
14. 4 1 1 Ta có f t 0 t (vì t 0). t 2 9t 4 6 Ta có bảng biến thiên 1 1 Vậy Q 16 a ; b c . max 3 12 1 1 1 1 1 1 Suy ra tọa độ điểm A ; ; ; tọa độ các điểm M ;0;0 ; N 0; ;0 ; P 0;0; . 3 12 12 3 12 12 x y z Phương trình mặt phẳng MNP 1 3x 12y 12z 1 0 . 1 1 1 3 12 12