Tài liệu tự học môn Toán 12 (Đại số) - Trường Trung học phổ thông Mạc Đĩnh Chi

Nội dung text: Tài liệu tự học môn Toán 12 (Đại số) - Trường Trung học phổ thông Mạc Đĩnh Chi

1. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán CHỦ ĐỀ 1: DÃY SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Phương pháp chứng minh quy nạp 1.1. Khái niệm : Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n ta thực hiện như sau: • Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n 1. • Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n k tuỳ ý k 1 , chứng minh rằng mệnh đề đúng với n k 1. 1.2. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A n là đúng với với mọi số nguyên dương n p thì : •Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n k p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n k 1. 2. Dãy số Định nghĩa : Dãy số là hàm số với đối số là số tự nhiên u : ¥ * ¡ n a u(n) Dãy số tăng, dãy số giảm * un là dãy số tăng un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * un là dãy số giảm un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un Dãy số bị chặn * un là dãy số bị chặn trên M ¡ : un M , n ¥ . * un là dãy số bị chặn dưới m ¡ : un m , n ¥ . * un là dãy số bị chặn m , M ¡ : m un M , n ¥ II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : Dạng 1 : Chứng minh các mệnh đề bằng quy nạp Phương pháp : Ta thực hiện đúng theo 2 bước : Bước 1 : (bước cơ sở) Chứng minh đẳng thức đúng khi n 1 (hoặc n p ) . Bước 2 : (bước quy nạp) Giả sử đẳng thức đúng khi n k với k 1 hay k p ,ta phải chứng minh đẳng thức đó cũng đúng khi n k 1. Các ví dụ minh họa : n(n+ 1) Ví dụ 1: CMR n 1, n N ta có 1 + 2 + . + n = (1) 2 1
2. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Giải (1+ 1)1 B1: Với n = 1ta có: 1 = = 1 (1) đúng 2 k(k+ 1) B2: Giải sử (1) đúng khi n = k ³ 1. Nghĩa là 1 + 2 + . + k = . 2 k(k+ 1) (k + 1)(k + 2) Ta có : 1 + 2 + . + k +(k + 1) = + (k + 1)= 2 2 Do đó (1) đúng khi n = k + 1 . Vậy (1) đúng n 1, n N* Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n Î ¥ * thì n 3 - n chia hết cho 3. Giải 3 Đặt An = n - n B1: Với n = 1, ta có: A1 = 0M3 3 B2: Giả sử với n = k ³ 1 ta có Ak = (k - k)M3 (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh Ak+ 1 M3. Thậy vậy, ta có 3 3 2 Ak+ 1 = (k + 1) - (k + 1) = (k - k) + 3(k + k) 2 = Ak + 3(k + k) Theo giả thiết quy nạp: Ak M3 Mặt khác 3(k2 + k) M3 * Vậy Ak+ 1 M3 với mọi n Î ¥ . Ví dụ 3: Chøng minh ®¼ng thøc n(3n + 1) a. 2 + 5 + 8 + ... + 3n - 1 = (1). 2 n (n + 1)(2n + 1) b. 12 + 22 + ... + n 2 = (2) 6 1(2.1+ 1) Gi¶i. a. + Khi n = 1 , ta coù : 2 = (ñuùng) 2 k (3k + 1) + Giaû söû (1) ñuùng khi n = k³ 1 , töùc laø ta có : 2 + 5 + 8+ ... + 3k - 1 = . 2 Khi ñoù ta coù: k (3k + 1) k (3k + 1) 2 + 5 + 8+ ... + 3k - 1+ é3(k + 1)- 1ù= + é3(k + 1)- 1ù= + 3k + 2 ëê ûú 2 ëê ûú 2 æ 4ö 3çk + ÷ k + 1 2 2 ç ÷( ) 3k + k + 6k + 4 3k + 7k + 4 èç 3ø÷ (3k + 4)(k + 1) = = = = 2 2 2 2 Do ñoù (1) ñuùng khi n = k + 1. Vaäy (1) ñuùng " n Î N * b. Víi n = 1 ta cã: VT = 1, VP = 1. Suy ra VT = VP. Do ®ã n = 1 (2) ®óng. k(k + 1)(2k + 1) Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k, hay ta cã: 12 + 22 + . + k2 = 6 Ta chøng minh (2) ®óng víi n = k + 1. Khi ®ã: k(k + 1)(2k + 2) 2 12 + 22 + . + k2 + (k + 1)2 = (k + 1) (theo gi¶ thiÕt quy n¹p) 6 2
3. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán k(k + 1)(2k + 2)+ 6(k + 1)2 = 6 (k + 1)(2k2 + k + 6k + 6) (k + 1)(k + 2)(2k + 3) = = . VËy (2) ®óng n N*. 6 6 Bài tập tự luyện: Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi n ¥ * : n(n 1)(n 2) 1 1 1 n a) 1.2 2.3 ... n(n 1) (1) ; b) ... (2) . 3 1.2 2.3 n(n 1) n 1 Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1 1 a) 2n 3 3n 1 , n 8 (1) ; b) 1 ... 2 n , n ¥ * (2). 2 n Bài 3: Chứng minh các mệnh đề sau : 3 2 * 2n 1 n 2 * a) un n 3n 5n chia hết cho 3 , n ¥ b) vn 3 2 chia hết cho 7 , n ¥ Dạng 2 : Tìm các số hạng của dãy số và tìm số hạng tổng quát của dãy số khi cho bằng hệ thức truy hồi . Phương pháp : Dựa theo cách cho của dãy số để tìm ra các số hạng cần tìm, nếu dãy số cho dưới dạng tổng quát thì muốn tìm số hạng thứ k ta chỉ việc thay n k vào công thức tổng quát. Nếu dãy số cho dưới dạng truy hồi thì ta phải tính các số hạng truy hồi dần lên đến số hạng cần tìm. Để tìm số hạng tổng quát của một dãy số khi nó được cho dưới dạng truy hồi ta có rất nhiều cách nhưng thông thường ta nên viết một số só hạng đầu , rồi dự đoán công thức và chứng minh lại bằng quy nạp. Các ví dụ minh họa : Ví dụ 1 :Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 1, un= un-1 – 2, n 2 Giải: Dễ thấy (un) là một cấp số cộng với cộng bội là d= -2. Suy ra : un = 1 -2( n -1) = -2n + 3 Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) được xác định bởi: u1= 3, un= 2un-1 , n 2 . Giải: n-1 Ta thấy (un) là một cấp số nhân công bội q= 2. Suy ra : un= 3. 2 . 2n 1 1 Ví dụ 3 : Cho dãy số u thỏa mãn u . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho. n n n A. 51,2 B. 51,3 C. 51,1 D. 102,3 Lời giải Chọn B 210 1 1 Ta có: u 51,3. 10 10 u1 4 Ví dụ 4: Cho dãy số . Tìm số hạng thứ 5 của dãy số. un 1 un n A. 16.B. 12.C. 15. D. 14. Lời giải Chọn D 3
4. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Ta có u2 u1 1 5 ; u3 u2 2 7 ; u4 u3 3 10 . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là u5 u4 4 14 . n Ví dụ 5: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là đúng? n n n 1 1 2 3 5 5 A. Năm số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 B. 5 số số hạng đầu của dãy là : ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn trên bởi số1. Lời giải Chọn B 1 2 3 4 5 Thay n lần lượt bằng 1,2,3,4,5 ta được5 số hạng đầu tiên là ; ; ; ; . 2 3 4 5 6 a 1 Ví dụ 6: Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là đúng ? n n n2 a 1 a 1 A. Dãy số có un 1 . B. Dãy số có : un 1 . n2 1 n 1 2 C. Là dãy số tăng. D. Là dãy số tăng Hướng dẫn giải Chọn B. a 1 Ta có un 1 . n 1 2 * Ví dụ 7:Cho dãy số un có un n 1 với n N . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 5 số hạng đầu của dãy là: 0;1; 2; 3; 5 . B. Số hạng un 1 n . C. Là dãy số tăng. D. Bị chặn dưới bởi số 0 . Hướng dẫn giải Chọn A. 5 số hạng đầu của dãy là 0;1; 2; 3; 4 . Dạng 3 : Xét tính tăng , giảm và tính bị chặn của dãy số . Phương pháp : Dựa theo định nghĩa : * un là dãy số tăng un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * un là dãy số giảm un 1 un , n ¥ * un 1 un 0, n ¥ un 1 * 1 , un 0 ,n ¥ un * un là dãy số bị chặn m , M ¡ : m un M , n ¥ . 4
5. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Các ví dụ minh họa : n2 3n 1 Ví dụ 1 : Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u ) , biết: u n n n 1 Hướng dẫn giải: (n 1)2 3(n 1) 1 n2 3n 1 n2 5n 5 n2 3n 1 Ta có: u u n 1 n n 2 n 1 n 2 n 1 (n2 5n 5)(n 1) (n2 3n 1)(n 2) n2 3n 3 0 n 1 (n 1)(n 2) (n 1)(n 2) un 1 un n 1 dãy (un ) là dãy số tăng. n2 2n 1 u n 1 2 dãy (u ) bị chặn dưới. n n 1 n Ví dụ 2 : Cho dãy số un với un 2n 1. Dãy số un là dãy số A.Bị chặn trên bởi 1.B. Giảm. C. Bị chặn dưới bởi 2.D. Tăng. Lời giải * Chọn D. n ¥ ta có: un 1 un 2 n 1 1 2n 1 2 0 nên un 1 un vậy dãy số un tăng. ( 1)n 1 Ví dụ 3 : Cho dãy số u với u . Khẳng định nào sau đây là sai? n n n 1 1 1 A. Số hạng thứ 9 của dãy số là .B. Số hạng thứ 10 của dãy số là . 10 11 C. Đây là một dãy số giảm. D. Bị chặn trên bởi số M 1. Lời giải Chọn C. Dãy un là một dãy đan dấu nên khẳng định C là sai. an2 Ví dụ 4 : Cho dãy số u với u ( a : hằng số). Kết quả nào sau đây là sai? n n n 1 a. n 1 2 a. n2 3n 1 A. u . B. u u . n 1 n 2 n 1 n (n 2)(n 1) C. Là dãy số luôn tăng với mọi a . D. Là dãy số tăng với a 0 . Hướng dẫn giải Chọn C. Chọn a 0 thì un 0 ,dãy un không tăng, không giảm. Ví dụ 5 : Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm? 2 3 2n 1 A. un n .B. un 2n .C. un n 1.D. un . n 1 Lời giải Chọn D n ¥ * ta có: n2 n 1 2 nên A sai; 2n 2 n 1 nên B sai; n3 1 n 1 3 1 nên C sai. 2n 1 3 2n 1 Với u thì u u 0 nên dãy u giảm. n n 1 n 1 n n 1 .n n n 1 5
6. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán CHỦ ĐỀ 2: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Cấp số cộng: + Định nghĩa: un+1= un + d, với d là công sai + Số hạng tổng quát: un=u1 + (n-1)d n(u1 + un) n(2u1 + (n - 1)d) + Tổng n số hạng đầu tiên: Sn= = 2 2 uk - 1 + uk + 1 + Tính chất các số hạng của CSC: Uk= 2 + Định lí: Cho các số nguyên dương m và k với m k thì: um=uk+(m-k)d. + Định lí: Nếu a+b=c+d thì ua+ub=uc+ud ; ví dụ: có 2 + 4= 5+1 thì u2+u4=u5+u1. Cấp số nhân: + Định nghĩa: un+1=un.q , với q là công bội của CSN n-1 + Số hạng tổng quát: un=u1.q với n 2 n u1(1 - q ) + Tổng n số hạng đầu tiên: Sn= 1 - q 2 + Tính chất các số hạng của CSN: u k= uk-1.uk+1 m-k + Định lí: Cho các số nguyên dương m và k với m k thì um=uk.q k 2 + Định lí:Cho CSN với q 0 và u1 0 thì um+k=um.q ; ví dụ: ta có 6=4+2 thì u6= u4.q . a + b *Bất đẳng thức Cô-si: Với a và b là 2 số không âm thì ta có: ≥ 2 ab 2 Các bài tập minh họa Bài 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u1 1 u1 3 A. un : . B. un : . un 1 un 2, n 1 un 1 2un 1, n 1 C. un : 1; 3 ; 6 ; 10; 15; . D. un : 1; 1; 1; 1; 1; . Lời giải Chọn A Dãy số ở đáp án A thỏa un 1 un 2 với mọi n 1 nên là cấp số cộng. 1 1 Bài 2. Cho một cấp số cộng có u ; d . Hãy chọn kết quả đúng. 1 2 2 1 1 1 1 1 A. Dạng khai triển : ;0;1; ;1.... B. Dạng khai triển : ;0; ;0; ..... 2 2 2 2 2 1 3 5 1 1 3 C. Dạng khai triển : ;1; ;2; ;..... D. Dạng khai triển: ;0; ;1; ..... 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Bài 3. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d , n 2. ? A. un u1 d .B. un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d .D. un u1 n 1 d . Lời giải 6
7. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Chọn D Công thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d , n 2 . Bài 4: Cho cấp số cộng un , biết u2 3 và u4 7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31.C. 35 .D. 29 . Lời giải Chọn D u1 d 3 u1 1 Từ giả thiết u2 3 và u4 7 suy ra ta có hệ phương trình: . u1 3d 7 d 2 Vậy u15 u1 14d 29 . Bài 5. Cho dãy số un với : un 7 2n . Khẳng định nào sau đây là sai? A. 3 số hạng đầu của dãy:u 1 5;u2 3;u3 1. B. Số hạng thứ n 1:un 1 8 2n . C. Là cấp số cộng có d 2 . D. Số hạng thứ 4 : u4 1. Lời giải Chọn B Thay n 1;2;3;4 đáp án A , D đúng. Thật vậy; * un 1 7 2 n 1 5 2n 7 2n ( 2) un ( 2)n ¥ . suy ra đáp án B sai. 1 Bài 6. Cho dãy số u với :u n 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? n n 2 1 A. Dãy số này không phải là cấp số cộng. B. Số hạng thứ n + 1:u n . n 1 2 1 C. Hiệu :u u .D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S 12 . n 1 n 2 5 Lời giải Chọn C 1 1 1 1 Ta có: u n 1 1 n 1 u n ¥ * Đáp án C đúng. n 1 2 2 2 n 2 Bài 7. Cho dãy số un với : un 2n 5 . Khẳng định nào sau đây là sai? A. Là cấp số cộng có d 2 .B. Là cấp số cộng có d 2 . C. Số hạng thứ n 1:un 1 2n 7 .D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S4 40 . Lời giải Chọn A Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai. * Thật vậy un 1 2 n 1 5 2n 5 2 un +2 n ¥ đáp án A sai. 1 Bài 8. Cho dãy số u có:u 3;d . Khẳng định nào sau đây là đúng? n 1 2 1 1 A. u 3 n 1 .B. u 3 n 1. n 2 n 2 1 1 C. un 3 n 1 . D. un n 3 n 1 . 2 4 Lời giải Chọn C 1 Sử dụng công thức số hạng tổng quát u u n 1 d n 2 . Ta có: u 3 n 1 . n 1 n 2 7
8. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Bài 9. Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n 2.? A. un u1 d . B. un u1 n 1 d . C. un u1 n 1 d . D. un u1 n 1 d . Lời giải Chọn D. Công thức số hạng tổng quát : un u1 n 1 d , n 2 . Bài 10. Cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 , công sai d 5 , số hạng thứ tư là A. u4 23 B. u4 18 C. u4 8 D. u4 14 Lời giải Chọn B u4 u1 3d 3 5.3 18 . Bài 11. Cho cấp số cộng un có số hạng đầu u1 3 và công sai d 2 . Tính u5 . A. 11 B. 15 C. 12 D. 14 Lời giải Chọn A. Ta có u5 u1 4d 3 4.2 11. 3n n 3 Bài 12. Cho dãy số x thỏa mãn x x ... x với mọi n ¥ *. Khẳng định nào dưới đây là n 1 2 n 2 đúng và đầy đủ nhất. A. xn là cấp số cộng với công sai âm.B. xn là cấp số nhân với công bội âm. C. xn là cấp số cộng với công sai dương.D. xn là cấp số nhân với công bội dương. Lời giải Chọn C 3n n 3 3 n 1 n 1 3 Ta có: x 3n 3 n 2 2 Ta lại có: xn 1 xn 3 n 1 3 3n 3 3. Vậy xn là cấp số cộng với công sai dương. Bài 13. Cho 4 số thực a,b,c,d là 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 4 và tổng các bình phương của chúng bằng 24 . Tính P a3 b3 c3 d 3 . A. P 64 B. P 80 C. P 16 D. P 79 Lời giải Chọn A a d b c Theo giả thiết ta có: a d b c 2 . a b c d 4 a2 b2 c2 d 2 a d 2 b c 2 2 ad bc 2 2 ad bc a2 b2 c2 d 2 a d b c 8 . P a3 b3 c3 d 3 a d a2 ad d 2 b c b2 bc c2 2 a2 b2 c2 d 2 ad bc 64 . 8
9. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Bài 14. Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 . B. 1740. C. 4380 . D. 2190 . Lời giải Chọn C Gọi u1,u2 ,...u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có un u1 4 n 2,3,...,30 . Ký hiệu: S30 u1 u2 ... u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được: 30 S30 2u1 30 1 4 15 2.15 29.4 2190 . 2 Bài 15. Cho một cấp số cộng (un ) có u1 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 1 1 1 S ... . u1 u2 u2u3 u49u50 9 4 49 A. S . B. S . C. S 123. D. S . 246 23 246 Lời giải Chọn D Gọi d là công sai của cấp số đã cho 497 2u Ta có: S 50 2u 99d 24850 d 1 5 100 1 99 5 5 5 5S ... u1u2 u2u3 u49u50 u u u u u u 2 1 3 2 ... 50 49 u1u2 u2u3 u49u50 1 1 1 1 1 1 1 1 ... u1 u2 u2 u3 u48 u49 u49 u50 1 1 1 1 245 u1 u50 u1 u1 49d 246 49 S . 246 Bài 16. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? n n A. u 1 n . B. u n2 . C. u 2n . D. u . n n n n 3n Lời giải Chọn C u Lập tỉ số n 1 un n 1 un 1 1 . n 1 n 1 A: n un không phải cấp số nhân. un 1 .n n 9
10. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 2 un 1 n 1 B: 2 un không phải là cấp số nhân. un n n 1 un 1 2 C: n 2 un 1 2un un là cấp số nhân có công bội bằng 2 . un 2 un 1 n 1 D: un không phải là cấp số nhân. un 3n 1 1 1 1 Bài 17. Cho dãy số : 1; ; ; ; . Khẳng định nào sau đây là sai? 3 9 27 81 A. Dãy số không phải là một cấp số nhân. 1 B. Dãy số này là cấp số nhân có u 1; q= . 1 3 n 1 C. Số hạng tổng quátu 1 . . n 3n 1 D. Là dãy số không tăng, không giảm. Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: 1. ; . ; . ;....... Vậy dãy số trên là cấp số nhân với 3 3 9 3 3 27 9 3 1 u 1; q=- . 1 3 n 1 n 1 1 n 1 Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có un u1q 1 1 . n 1 . 3 3 Bài 18. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 u u 1 1 2 u1 1; u2 2 A. 2 B. 2 C.un n 1 D. 2 un 1 un 1.un un 1 un un 1 2 .un Lời giải Chọn B 1 u un 1 1 Do 2 ( không đổi) nên dãy số un : 2 là một cấp số nhân. un un 1 2 .un Bài 19. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 2 1 2 1 A. un 1 B. un C. un n D. un n 4n 4n 2 4 4 Lời giải Chọn B 1 1 u 1 1 Ta có: u u . Suy ra n ( Không đổi). Vậy u : u là một cấp số n n 2 n 1 n 3 n n n 2 4 4 un 1 4 4 1 nhân có công bội q . 4 3 5 7 Bài 20. Cho dãy số un : x; x ; x ; x ; ... (với x R , x 1, x 0 ). Chọn mệnh đề sai: 10
11. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán n 1 2n 1 A. un là dãy số không tăng, không giảm.B. un là cấp số nhân có un 1 .x . 2n 1 x(1 x ) 2 C. un có tổng Sn D. un là cấp số nhân có u1 x , q x . 1 x2 Lời giải Chọn C 2 2 n 1 n 1 2n 2 n 1 2n 1 un là cấp số nhân có u1 x , q x do đó un x. x 1 .x .x 1 .x . Suy ra A, B, D đúng. Bài 21. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 u u 1 1 2 u1 1; u2 2 A. 2 B. 2 C.un n 1 D. 2 un 1 un 1.un un 1 un un 1 2 .un Hướng dẫn giải Chọn B. 1 u un 1 1 Do 2 ( không đổi) nên dãy số un : 2 là một cấp số nhân. un un 1 2 .un Bài 22. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được cho sau đây: 1 1 2 1 2 1 A. un 1 B. un C. un n D. un n 4n 4n 2 4 4 Hướng dẫn giải Chọn B. 1 1 u 1 1 Ta có: u u . Suy ra n ( Không đổi). Vậy u : u là một cấp số n n 2 n 1 n 3 n n n 2 4 4 un 1 4 4 1 nhân có công bội q . 4 Bài 23. Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u2 6 , u4 24 . Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. A. 3.212 3 B. 212 1 C. 3.212 1 D. 3.212 Lời giải Chọn A 2 Gọi công bội của CSN bằng q . Suy ra u4 u2.q q 2 . Do CSN có các số hạng không âm nên q 2 . 12 12 1 q 1 2 12 Ta có S12 u1. 3. 3 2 1 . 1 q 1 2 Bài 24. Cho cấp số nhân un với u1 1; q=0,00001. Tìm q và un ? 1 1 1 n 1 A. q ;un .B. q ; un 10 . 10 10n 1 10 1 1 1 ( 1)n C. q ;un . D. q ;un . 10 10n 1 10 10n 1 11
12. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Lời giải Chọn D 1 Ta có u u .q5 0,00001 1.q5 q . 6 1 10 n 1 n n 1 1 1 Số hạng tổng quát un u1.q 1. n 1 . 10 10 Bài 25. Cho ba số x ; 5 ; 2y lập thành cấp số cộng và ba số x ; 4 ; 2y lập thành cấp số nhân thì x 2y bằng A. x 2y 8 . B. x 2y 9 . C. x 2y 6 . D. x 2y 10 . Lời giải Chọn C Ta có: x 2y 2.5 x 2y 10 2 x. 2y 4 x. 2y 16 x 8 x 2 hoặc . 2y 2 2y 8 Từ đó, ta có x 2y 8 2 6 . Bài 26. Cho a b c là ba số nguyên. Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và a , c , b theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của c . A. 2 . B. 2 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B c a L 2b a c 2 2 2 Ta có 2 . Suy ra: 2c a a c 2c ac a 0 a a c . c ab 0 c b 2 4 2 a 0 Suy ra a , b trái dấu với c . c 0 Do a , b , c nguyên nên c chia hết cho 2 . Do đó c nhỏ nhất bằng 2 khi đó a 4 , b 1 (thỏa mãn). 12
13. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán CHỦ ĐỀ 3: GIỚI HẠN DÃY SỐ I.KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u 0 hay u 0 khi n + . n n n Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới vô cực (n ), nếu lim un a 0. Kí hiệu: lim un a hay un a khi n + . n n Chú ý: lim un lim un . n Một vài giới hạn đặc biệt. 1 1 lim 0 , lim 0 , n ¢ * n nk lim qn 0 với q 1 . Lim(un)=c (c là hằng số) => Lim(un)=limc=c. Một số định lý về giới hạn của dãy số. * Định lý 1: Cho dãy số (un),(vn) và (wn) có : vn un wn n ¥ và lim vn lim wn a lim un a . Định lý 2: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: lim un vn lim un lim vn a b lim un .vn limun .lim vn a.b un lim un a * lim , vn 0 n ¥ ;b 0 vn lim vn b lim un lim un a , un 0 ,a 0 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q 1. u lim S lim 1 n 1 q Dãy số dần tới vô cực: Ta nói dãy số (un) dần tới vô cực un khi n dần tới vơ cực n nếu un lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim(un)= hay un khi n . Ta nói dãy số (un) có giới hạn là khi n nếu lim un .Ký hiệu: lim(un)= hay un khi n . Định lý: * 1 Nếu : lim un 0 un 0 ,n ¥ thì lim un 13
14. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 1 Nếu : lim un thì lim 0 un II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. P n Giới hạn của dãy số (un) với u với P,Q là các đa thức: n Q n Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a0, hệ số cao nhất của Q là b0 thì chia tử số và mẫu k a0 số cho n để đi đến kết quả : lim un . b0 k Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì chia tử và mẫu cho n để đi đến kết quả :lim(un)=0. k Nếu k = bậc P > bậc Q, chia tử và mẫu cho n để đi đến kết quả :lim(un)= . f n Giới hạn của dãy số dạng: u , f và g là các biển thức chứa căn. n g n Chia tử và mẫu cho nk với k chọn thích hợp. Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp. III.CÁC VÍ DỤ. 3n2 2n 5 2 5 2 3 3n 2n 5 2 2 3 1. lim lim n lim n n 2 n2 n 1 8 7n n 8 7 8 7 7 n2 n n2 n2 1 4n 1 1 4 n2 1 4n 2 1 4 5 2. lim lim n lim n 3n 2 2 3n 2 3 3 3 n n 2 2 n 2n 3 n n 2n 3 n n2 2n 3 n2 3. lim n2 2n 3 n lim lim n2 2n 3 n n2 2n 3 n 3 2 2n 3 2n 3 2 lim lim lim n 1 n2 n n 2 3 2 3 1 1 2 3 1 1 n 1 2 1 2 n n n n n2 2n 3 n là biểu thức liên hợp của n2 2n 3 n 2 1 3 3 3n 2n 1 n2 n3 4. lim( ) limn( ) . 2 2 3 2n 2n 3 2 n n2 3 3 2 3 3 3 2 n 2 n 3 n 2 n 2. n n lim 3 n 2 3 n lim 2 3 n 2 3 n 2.3 n 3 n2 5. 14
15. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 3 3 3 3 n 2 n n 2 n lim lim 2 2 3 n 2 3 n 2.3 n 3 n2 3 n 2 3 n 2.3 n 3 n2 2 lim 0 2 3 n 2 3 n 2.3 n 3 n2 n 1 1 1 1 1 1 2 6. 1 ... ... Tổng. của cấp số nhân lùi vô 2 4 8 2 1 3 1 2 1 hạn có công bội q và số hạng đầu u1=1. 2 IV.BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm các giới hạn: 7n2 n 7 2n 1 lim (ĐS: )lim (ĐS: 2 ) 5n2 2 5 n 2 3n2 1 6n3 3n 1 6 lim (ĐS: 3 ) lim (ĐS: ) n2 4 7n3 2n 7 n2 2n 4 n2 2 1 lim 3 (ĐS: 0 )lim (ĐS: ) 7n 2n 9 4n2 2 2 3 8n3 1 lim (ĐS: 1 )lim n2 2n 3 n (ĐS: 1 ) 2n 5 3n2 1 n2 1 2 lim 1 n2 n4 3n 1 (ĐS: 1 ) lim (ĐS: ) n 3 1 2 3 6 2 n 1 n lim 3 n3 2n2 n (ĐS: ) lim (ĐS: 2 ) 3 n4 1 n2 lim n2 1 n2 2 (ĐS: 0 ) 2n n 1 n 3 lim (ĐS: 2 ) 1 a a2 a3 a4 ... an n 1 n 2 lim a 1, b 1 1 b b2 b3 b4 ... bn 3 2n 11n 1 3 3 2 lim n n n n (ĐS: ) lim 2 (ĐS: ) n 2 1 lim n 1 n (ĐS: 0 ) lim (ĐS: -∞ ) n2 2 n2 4 15
16. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x * dần tới a nếu với mọi dãy số (xn), xn K và xn a ,n ¥ mà lim(xn)=a đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: lim f x L . x a Một số định lý về giới hạn của hàm số: Định lý 1: Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất. Định lý 2: Nếu các giới hạn: lim f x L , lim g x M thì: x a x a lim f x g x lim f x lim g x L M x a x a x a lim f x .g x lim f x .lim g x L.M x a x a x a f x lim f x L lim x a , M 0 x a g x lim g x M x a lim f x lim f x L ; f x 0,L 0 x a x a Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x) f(x) h(x) x K,x a và lim g x lim h x L lim f x L . x a x a x a Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số: Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), lim(xn) = a , đều có lim[f(xn)]= thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí hiệu: lim f x . x a Nếu với mọi dãy số (xn) , lim(xn) = đều có lim[f(xn)] = L , thì ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:.lim f x L x * Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), mà xn > a n ¥ , thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :lim f x . Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (xn), xn < a x a n ¥ * thì ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu: lim f x x a II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau: f x 0 Giới hạn của hàm số dạng: lim x a g x 0 Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2. Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp. f x Giới hạn của hàm số dạng: lim x g x 16
17. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x thì coi như x>0, nếu x thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn. Giới hạn của hàm số dạng: lim f x .g x 0. . Ta biến đổi về dạng: x Giới hạn của hàm số dạng: lim f x g x - x f x g x Đưa về dạng: lim x f x g x Vấn đề 1 : Tìm giới hạn của hàm đa thức f(x) tại x = a •Phương pháp : lim f (x) f (a) x a Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : a) lim(x³ 3x² x) 1 ; b) lim(x² x) 0 ; c) lim(x² 1) 3 x 1 x 0 x 2 P(x) Vấn đề 2 : Tìm giới hạn của hàm phân thức hữu tỷ tại x = a Q(x) P(x) •Phương pháp : lim x a Q(x) P(x) P(a) – Nếu Q(a) 0 thì lim x a Q(x) Q(a) P(x) – Nếu Q(a) 0 và P(a) 0 thì lim x a Q(x) P(x) 0 – Nếu Q(a) 0 và P(a) 0 thì lim có dạng x a Q(x) 0 P(x) (x a)C(x) C(x) tính lim lim lim x a Q(x) x a (x a)D(x) x a D(x) Ví dụ : Tìm các giới hạn sau : x² 5x 6 (x 3)(x 2) 1. lim lim lim(x 2) 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x³ 2x 4 (x 2).(x² 2x 2) 2. lim lim 5 x 2 x² 2x x 2 x x² 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 1 3. lim lim lim x 1 x² 4x 5 x 1 (x 1)(x 5) x 1 x 5 6 x 1 x 1 1 1 4. lim lim lim x 1 x² 4x 3 x 1 (x 1)( x 3) x 1 x 3 4 2x² 3x 1 (x 1)(2x 1) 2x 1 1 5. lim lim lim x 1 x² 1 x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 2 x 4 16 (x 2)(x 2)(x² 4) 6. lim lim lim(x 2)(x² 4) 32 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 17
18. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán x 7 1 7 7. lim x 1 x 5 1 5 x³ 8 8. lim 3 x 2 x² 4 Vấn đề 3: Tìm giới hạn tại x = a , của hàm số có chứa căn bậc hai 0 •Phương pháp : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm biểu thức liên hợp 0 Cần nhớ : • a – b = ( a b)( a b) • a – b = (3 a 3 b)(3 a² 3 a.3 b 3 b²) Ví dụ : Tìm giới hạn của các hàm số sau : x 1 x² x 1 ( x 1 x² x 1)( x 1 x² x 1) 1. lim lim x 0 x x 0 x( x 1 x² x 1) x² 0 lim 0 x 0 x( x 1 x² x 1) 2 1 2x 3 ( 1 2x 3)( 1 2x 3)( x 2) 2. lim lim x 4 x 2 x 4 ( 1 2x 3)( x 2)( x 2) (1 2x 3²).( x 2) 2.(x 4).( x 2) 4 lim lim x 4 ( 1 2x 3).(x 2²) x 4 (x 4).( 1 2x 3) 3 x x 2 (x² x 2).( 4x 1 3) 3. lim lim x 2 4x 1 3 x 2 (4x 1 9).(x x 2) (x 1)(x 2).( 4x 1 3) 9 lim x 2 4.(x 2).(x x 2) 8 1 1 x 1 4. lim x 0 x 2 1 x 5. lim 1 x 1 x² 3 2 1 3 1 x x 1 6. lim lim x 0 3x x 0 3x1 3 1 x 3 (1 x)² 9 1 3 x 2 7. lim x 1 x² 3 2 3 1 x 2 ( 1 x 2).( 1 x 2).(3 x² 3 x 1 3 8. lim lim x 1 3 x 1 x 1 ( 1 x 2).(3 x 1).(3 x² 3 x 1) 2. 2 Vấn đề 4: Tìm giới hạn tại vô cực của hàm phân thức hữu tỷ P(x) lim ( có dạng ) x Q(x) 18
19. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán •Phương pháp : Chia tử và mẫu cho bậc cao nhất Ví dụ : Tìm giới hạn cuỉa các hàm số sau : 6 2 2x 6 2 0 1. lim lim x 2 x x 4 4 x 1 0 1 x 1 7 2. 1 7 2 lim lim x 0 x 2 x 1 x 1 1 x 2 2x2 x 1 3. lim x 3 x Vấn đề 5 : Tìm giới hạn tại vô cực của hàm số có chứa căn bậc hai •Phương pháp : – Trường hợp 1 : Khử dạng vô định bằng cách chia tử và mẫu cho lũy thừa lớn nhất – Trường hợp 2 : Khử dạng vô định bằng cách nhân thêm lượng biểu thức liên hợp • Cần nhớ : x + thì x = x² x – thì x = – x² Ví dụ : Tìm giới hạn của các hàm số sau : 2 2 5 2 5 1. lim x 2x 5 lim x 1 lim x 1 x x 2 x 2 x x x x 2 5 Mà lim x và lim 1 1> 0 x x x x2 2 Vậy : lim x 2x 5 x ( x² x 3 x)( x² x 3 x) x² x 3 x² 2. lim ( x² x 3 x) lim lim x x ( x² x 3 x) x x² x 3 x 3 x(1 ) x 3 1 lim lim x x x² x 3 x x 1 3 2 x( 1 1) x x² ( x² 4x x)( x² 4x x) 4x 3. lim ( x² 4x x) lim lim x x x² 4x x x x² 4x x 4x = lim 2 x 4 x( 1 1) x 19
20. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán x² x 4. lim 1 x x 1 x² x 5. lim 1 x x 1 6. lim (x 3).( x² 4 x) ( dạng .0 ) đs : 2 x 7 7. lim  4x² 7x 2x x 4 TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN LỚP 11 Mức độ 1 Nhận Biết 3n2 5n 1 3 3 Câu 1: Tìm lim A. B. C. 0 D. 2n2 n 3 2 2 3n3 2n2 n 3 1 Câu 2: Tìm lim A. B. C. D. 3 n3 4 4 3 1 3n 1 3 Câu 3:Tìm lim A. B. C. 1 D. 4 3n 4 4 2n2 n 3 2 1 Câu 4: Tìm lim A. B. 3 C. D. 0 3n2 2n 1 3 2 2n4 n2 3 2 1 Câu 5: Tìm lim A. 3 B. C. D. 3n4 2n2 1 3 2 Câu 6: Tìm lim(5x2 7x) A. 24 B. 0 C. D. 12 x 3 x2 2x 15 1 Câu 7: Tìm lim A. B. 2 C. D. 8 x 3 x 3 8 x3 3x 5 Câu 8: Tìm lim A. 1 B.2 C. 4 D.3 x 1 x 2 Câu 9. Tìm lim(x2 3x) A. 6 B.8 C.10 D.12 x 2 5x2 4x 3 5 Câu 10: Tìm lim A. B. 1 C. 2 D. x 2x2 7x 1 2 1 1 2n 1 cos n Câu 11. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 A. B. C. D. n n n n n n n n 5 1 5 4 Câu 12. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? A. B. C. D. 3 3 3 3 1 4n 3 3 4 4 Câu 13. Cho u . Khi đó limu bằng : A. B. C. D. n 5n n 5 5 5 5 20