Tuyển tập 400 bài toán hình trong đề thi vào Lớp 10 (Có đáp án)

Nội dung text: Tuyển tập 400 bài toán hình trong đề thi vào Lớp 10 (Có đáp án)

1. TUYỂN TẬP 400 BÀI TOÁN HÌNH TRONG ĐỀ THI VÀO 10 CÓ ĐÁP ÁN
2. PHẦN ĐỀ Câu 1.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (O) và đường kính AB==2 R 10 cm . Gọi C là trung điểm OA, Qua C kẻ dây MN vuông góc với OA tại C . Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ MB , H là giao điểm AK và MN . Chứng minh: a) Tứ giác BHCK nội tiếp, AMON là hình thoi b) AK. AH= R2 và tính diện tích hình quạt tao bởi OM , OB và cung MB c) Trên KN lấy I sao cho KI= KM , chứng minh NI= KB d) Tìm vị trí điểm K để chu vi tam giác MKB lớn nhất. Câu 2.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho nửa đường tròn (OR, ) đường kính AB . Bán kính OC⊥ AB . Điểm E thuộc đoạn OC . Tia AE cắt nửa đường tròn (O) tại M . Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt OC tại D . Chứng minh: a)Tứ giác OEMB nội tiếp và MDE cân b)Gọi BM cắt OC tại K . Chứng minh BM. BK không đổi khi E di chuyển trên OC và tìm vị trí của E để MA= 2 MB 0 c)Cho ABE = 30 tính Squat MOB và chứng minh khi E di chuyển trên OC thì tâm đường tròn ngoại tiếp CME thuộc một đường thẳng cố định. Câu 3.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ABC đều nội tiếp (OR; ) kẻ đường kính AD cắt BC tại H . Gọi M là một điểm trên cung nhỏ AC . Hạ BK⊥ AM tại K , BK cắt CM tại E , R= 6 cm . Chứng minh: a)Tứ giác ABHK nội tiếp và MBE cân b)Tứ giác BOCD là hình thoi và gọi BE cắt (O) tại N và tính Squat MON c)Tìm vị trí của M để chu vi MBE lớn nhất và tìm quỹ tích điểm E khi M di chuyển trên cung nhỏ AC . Câu 4.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (OR, ) có đường kính BC , A là điểm chính giữa cung BC , lấy M là trung điểm BO , kẻ ME⊥ AB tại E , kẻ MF⊥ AC tại F . Chứng minh: a) Năm điểm AEMOF,,,, thuộc một đường tròn và BE BA= BO BM b) Kẻ tiếp tuyến của (O) tại A cắt MF tại K chứng minh ME= KF và kẻ đường kính AD , kẻ ME cắt DC tại H , tia NM cắt (O) tại D . Chứng minh MDH = FEM c)Kẻ MN vuông góc EF tại N . Chứng minh khi M di chuyển trên BC thì MN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đoạn thẳng MP , lấy điểm N bất kì nằm giữa M và P . Vẽ (O) đường kính NP . Lấy H là trung điểm MN . Qua H kẻ đường thẳng d vuông góc với MN . Kẻ tiếp tuyến HQ với (O) tại Q . Tia PQ cắt d tại K . Chứng minh: LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
3. a) Tứ giác KHNQ nội tiếp và NPQ= HKN . b) MKP =90 và PQ PK= PN PH . c) HQ22+= PQ. PK PH và cho HKN =30 , R = 6 cm. Tính diện tích hình quạt NOQ . d) Lấy I là trung điểm KN . Chứng minh chu vi đường tròn ngoại tiếp QOI không đổi khi N di chuyển trên MP . Câu 6.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (OR; ) với dây BC cố định ( BC không đi qua O ). Điểm A thuộc cung lớn CB . Đường phân giác BAC cắt (O) tại D , các tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại E , tia CD cắt AB tại K , đường thẳng AD cắt CE tại I . Gọi AD cắt BC tại M a) Chứng minh: BC// DE và bốn điểm AKIC,,, thuộc một đường tròn. b) Chứng minh: AB AC= AM AD và chứng minh AB AC=+ AM2 MB MC c) Cho BC= R 3 , R= 6 cm tính lBC cung nhỏ BC . Câu 7.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (OR, ) với dây BC cố định ( BC không đi qua O ). Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC . Điểm E thuộc cung lớn BC , AE cắt BC tại D , kẻ CH⊥ AE tại H , gọi AO cắt BC tại I , CH cắt (O) tại K . a) Chứng minh: Bốn điểm AHIC,,, thuộc một đường tròn và tích AD. AE không đổi khi E di chuyển trên cung lớn BC . b) Chứng minh IH// BE và cho sđ KE =100 , R= 6 cm . Tính độ dài cung BAC . c) Chứng minh: BA là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp BED . Câu 8.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (O) , dây cung BC ( O BC) . Điểm A thuộc cung nhỏ BC , ( A khác B và C , độ dài AB khác AC ). Kẻ đường kính AA của (O) , D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC , Hai điểm EF, lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ BC, đến AA . a) Chứng minh: Bốn điểm ABDE, , , thuộc một đường tròn và BD. AC = AD . AC . b) Chứng minh: DF// BA và DE vuông góc với AC . c) Cho ACB=30  ; R = 6 cm . Tính Squat BOA và chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là một điểm cố định. Câu 9.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho hai đường tròn (OR; ) và (OR ; ) cắt nhau tại AB, (O và O thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB ). Đường thẳng AO cắt (O) tại điểm C và cắt đường tròn (O ) tại E . Đường thẳng AO cắt (O) tại điểm D và cắt đường tròn (O ) tại F . a) Chứng minh: CBF,, thẳng hàng và tứ giác CDEF nội tiếp. b) Chứng minh: AD AF= AE AC và AB,, CD EF đồng quy. LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122
4. d) Biết AN cắt OP tại K , PM cắt ON tại I , PN và OM kéo dài cắt nhau tại J . Chứng minh 3 điểm IJK, , thẳng hàng. Câu 363.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC) nội tiếp đường tròn (OR; ) , kẻ hai đường cao AD , BE cắt nhau tại H . a) Chứng minh CE CA= CDCB. CB và CH vuông góc với AB tại F . b) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh tứ giác EFMD nội tiếp. c) Qua D vẽ đường thẳng song song với EF cắt AB tại R , cắt AC kéo dài tại Q . Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua M . d) Giả sử diện tích tam giác ABC bằng 1 (đvdt), BAC =30 . Tính diện tích tứ giác BCEF . Câu 364.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm ()O , kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn ()O , A và B là các tiếp điểm. Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng MB; C là giao điểm của AE và ()O ( C khác A) , H là giao điểm AB và MO . 1) Chứng minh 4 điểm M , A , O , B cùng thuộc một đường tròn. 2) Chứng minh: EB2 = EC. EA . 3) Chứng minh tứ giác HCEB là tứ giác nội tiếp. 4) Gọi D là giao điểm của MC và ()O ( D khác C) . Chứng minh ABD Là tam giác cân. Câu 365.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MD tới (O) (với BD, là các tiếp điểm). Qua M kẻ đường thẳng không đi qua O , cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A và C (với C nằm giữa A và M ). Gọi E là trung điểm AC . 1) Chứng minh rằng: Năm điểm OEBMD,,,, cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng: BC AD= AB DC . 3) Chứng minh rằng: Hai tam giác AEB và BCD đồng dạng. 4) Một đường thẳng qua D và song song với MB , cắt BA, BC lần lượt tại I và J . Chứng minh rằng: DI= DJ . Câu 366.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (OR; ) đường kính AB, điểm F cố định nằm trên tia đối của tia AB và C là điểm thay đổi trên đường tròn sao cho AC CB . Nối FC cắt (O) tại điểm thứ hai D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại I, các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Đường tròn đường kính BI cắt AB tại H. Chứng minh rằng: a) Tứ giác ICED nội tiếp trong một đường tròn b) Ba điểm HIE, , thẳng hàng c) FC FD++ AE AC BD BE không phụ thuộc vào vị trí điểm C
5. OH d) Khi OF= 3. OA Tính tỉ số . OF Câu 367.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC . Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DE tại H , cắt đường thẳng DC ở K . a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp b) Tính số đo CHK c) Chứng minh hệ thức KC KD= KH KB d) Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đường nào? Câu 368.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đương tròn (OR;.) Các đường cao AD,, BE CF cắt nhau tại H . a) Chứng minh các tứ giác CDHE và BCEF nội tiếp được đường tròn. b) Gọi I là trung điểm của BC. Lấy điểm K đối xứng với H qua I . Chứng minh AK là đường kính của đương tròn (O). c) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có tanBC .tan= 3 thì OH// BC . d) Các tia BE và CF cắt đường tròn (O) lần lượt tại M và N . Lấy điểm S trên cung nhỏ BC, SM cắt AC ở J, SN cắt AB ở L . Chứng minh ba điểm HJL,, thẳng hàng. Câu 369.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ()O đường kính AB= 6 cm . Trên OB lấy M sao cho BM=1 cm. Qua M vẽ dây CD của ()O vuông góc với AB . 1. Chứng minh tam giác ABC vuông và tính BC . 2. Đường thẳng qua O vuông góc AC cắt tiếp tuyến tại A của ()O ở E . Chứng minh EC là tiếp tuyến của ()O . 3. Gọi F là giao AC và BD , kẻ FH vuông AB , gọi K là giao CB và FH . Chứng minh ∆FBK cân. Bài 369. Cho (;)OR đường kính AB . Kẻ tiếp tuyến Ax , P Ax sao cho AP R từ P kẻ tiếp tuyến PM với(O) tại M . Đường thẳng vuông góc với AB tại O căt BM tại N . AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại J, PN cắt OM tại I . CM : a) Tứ giác APMO nội tiếp và BM// OP b) Tứ giác OBNP là hình bình hành c) PI== OI ; PJ OJ d) Ba điểm IJK,, thẳng hàng. Câu 370.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn tâm ()O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn tại B ,C. Gọi M là điểm tuỳ ý trên đường tròn khác B và C .Từ M kẻ MH ⊥ BC,, MK⊥⊥ CA MI AB. CM : a) Tứ giác ABOC , MIBH, MKCH nội tiếp b) MIH~ MHK c) MI. MK= MH 2 Câu 371.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Từ một điểm A nằm ngoài ()O kẻ tiếp tuyến AM, AN với ()O , ( MN, ()O )
6. a) Từ O kẻ đường thẳng ⊥ OM cắt AN tại S . Chứng minh: SO= SA b) Trên cung nhỏ MN lấy điểm P khác M và N . Tiếp tuyến tại P cắt AM tại B , AN tại C .Giả sử A cố định, P là điểm chuyển động trên cung nhỏ MN . Chứng minh chu vi ABC không đổi ? Tính giá trị không đổi ấy? c) Vẽ cát tuyến AEF không đi qua điểm O ,H là trung điểm EF . Chứng minh các điểm A , MHON,,, cùng thuộc một đường tròn d) Chứng minh AE. AF= AM 2 e) Gọi K là giao điểm của MH với ()O .Chứng minh NK// AF . Câu 372.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR đường kính AB và dây AC không đi qua tâm, Gọi H là trung điểm AC . 1. Tính số đo góc ACB và chứng minh OH//BC. 2. Tiếp tuyến tại C của ()O cắt OH tại M . Chứng minh AM là tiếp tuyến ()O . 3. Vẽ CK vuông góc AB tại K , gọi I là trung điểm CK , đặt CAB = α . Chứng minh IK= R.sin .cos . 4. Chứng minh M , I , B thẳng hàng. Câu 373.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OAtại A , vẽ các tiếp tuyến MP,’ MP với đường tròn . Dây PP’ cắt OM tại N , cắt OAtại B . Chứng minh : a) Tứ giác MPOP’, MNBAnội tiếp b) OAOB = OM ON không đổi c) Khi điểm M di chuyển trên d thì tâm đường tròn nội tiếp MPP’ di chuyển trên đường nào ? d) Cho PMP' =60 và R= 8 cm tính diện tích tứ giác MPOP’ và hình quạt POP’ Câu 374.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR và điểm A cố định nằm ngoài (O) . Vẽ đường thẳng d⊥ OA tại A . Trên d lấy điểm M . Qua M kẻ hai tiếp tuyến ME, MF . EF cắt OM tại H , cắt OA tại B . Chứng minh : a) Tứ giác ABHM nội tiếp b) OAOB == OH OM R2 c) Tâm của đường tròn nội tiếp MEF thuộc một đường tròn cố định d) Tìm vị trí của M để diện tích BHO lớn nhất Câu 375.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR . Điểm A cố định nằm ngoài đường tròn kẻ đường thẳng ()d vuông góc OA. Từ điểm B bất kì trên dB( không trùng A ) kẻ các tiếp tuyến BD, BC với (OD)( , C là tiếp điểm) Dây CD cắt OB tại N , cắt OAtại P. 1) Chứng minh tứ giác OCBD , BNPA nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh OAOP == OB ON R 2
7. 3) Cho góc CBO =30 ; R= 6 cm . Tính diện tích BCOD và diện tích hình quạt giới hạn bởi cung nhỏ DC và dây DC . 4) Gọi E là giao đường thẳng AO và (O) (O nằm giữa A , E ). Khi B di chuyển trên đường thẳng d . Chứng minh trọng tâm G của tam giác ACE thuộc một đường tròn cố định Câu 376.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho điểm M nằm bên ngoài đường tròn (OR; ) . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn đó (AB , là hai tiếp điểm). Qua điểm A kẻ đường thẳng song song với MB cắt (OR; ) tại C . Nối MC cắt đường tròn (OR; ) tại D. Tia AD cắt MB tại E. a) Chứng minh rằng MAOB là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EM= EB. c) Xác định vị trí của điểm M để BD⊥ MA. Câu 377.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn tâm O , bán kính R . Từ điểm A bên ngoài đường tròn, ke 2 tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B , C là các tiếp điểm). Từ điểm B , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt đường tròn tại D ( D khác B) . Nối AD cắt đường tròn ()O tại điểm thứ hai là K . Nối BK cắt AC tại I . 1. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn. 2. Chứng minh rằng IC2 = IK . IB 3. Cho BAC =60 . Chứng minh ba điểm A , O , D thẳng hàng. Câu 378.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn tâm O bán kính R . Điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA= 3 R . Từ điểm A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (OPQ)( , là hai tiếp điểm). Từ điểm P kẻ đường thẳng song song với AQ , cắt đường tròn (O) tại MM( khác P) . Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O). Tia PN cắt đường thẳng AQ tại K . a) Chứng minh tứ giác APOQ là tứ giác nội tiếp; b) Chứng minh KA2 = KN. KP c) Gọi G là giao điểm của hai đường thẳng AO và PK . Tính độ dài đoạn thẳng AG theo R . Câu 379.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR và dây CD cố định. Gọi H là trung điểm CD . Gọi S là một điểm trên tia đối của tia DC qua S kẻ hai tiếp tuyến SA , SB tới ()O . Đường thẳng AB cắt SO , OH tại E và F , cho R=10 cm ; SD = 4 cm ; OH = 6 cm. CM : a) Tứ giác SEHF nội tiếp b) Tích OE .OS không phụ thuộc vào vị trí điểm S c) Tính CD và SA d) Khi S di chuyển trên tia đối của DC thì AB luôn đi qua một điểm cố định
8. Câu 380.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến AMN với đường tròn ( BCMN,,, thuộc đường tròn và AM AN ). Gọi E là trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn. a.C/m : Bốn điểm AOEC,,, cùng thuộc một đường tròn. b. C/m : AOC = BIC c.C/m : BI// MN d. Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn nhất. Câu 381.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho A nằm ngoài ()O , từ A kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với ()O ( B ,C là tiếp điểm). M là trung điểm AB , MC cắt ()O tại N . a) Chứng minh ABOC nội tiếp. b) Chứng minh MB2 = MN. MC c) Tia AN cắt ()O tại D . Chứng minh MAN= ADC Câu 382.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE tới đường tròn( BC, là hai tiếp điểm, D nằm giữa A và E ). Gọi H là giao điểm của AO và BC . a) CMR: ABOC là tứ giác nội tiếp b) CMR: AH. AO = AD . AE c) Tiếp tuyến tại D của đường tròn ()O cắt AB , AC theo thứ tự tại I và K . Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt tia AB tại P và cắt tia AC tại Q . CMR : IP + KQ PQ d) Giả sử A và ()O cố định. Chứng minh chu vi của tam giác AIK không phụ thuộc vào vị trí điểm D . Nếu chu vi tam giác AIK là 20cm thì độ dài AB là bao nhiêu. Câu 383.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR và đường thẳng d không đi qua tâm cắt ()O tại hai điểm A và B . Trên d lấy M sao cho A nằm giữa M và B . Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC . MD với ()O (C , D là các tiếp điểm). a) Chứng minh MCOD nội tiếp. b) I là trung điểm AB , OI cắt MD tại K . Chứng minh KD KM= KO KI c) Đường thẳng đi qua O song song CD cắt MC , MD tại E và F . Xác định vị trí M trên d sao cho diện tích tam giác MEF đạt GTNN . Câu 384.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O . Vẽ tiếp tuyến MA , MB với đường tròn ( A , B là các tiếp điểm), vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D) . OM cắt AB và O lần lượt tại H và I . Chứng minh. a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp. b) MC. MD = MA2 .
9. c) OH OM+= MC MD MO2 . d) Chứng minh DCHO nội tiếp. e) CI là tia phân giác góc MCH . Câu 385.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR . M tùy ý nằm ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đường tròn, kẻ đường kính AB của đường tròn. a) Chứng minh AC// OM b) Kẻ đường thẳng qua O vuông góc AB cắt MC và AC tại K và E . Chứng minh MOB = EAO c) Chứng minh độ dài ME không đổi d) Khi M chuyển động trên (OR;2 ) thì K chuyển động trên đường nào? Câu 386.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ()O và điểm A nằm ngoài ()O . Kẻ hai tiếp tuyến AM và AN . Đường thẳng d đi qua A cắt ()O tại B và C ( AB AC , d không qua tâm). a) AMON nội tiếp. b) Chứng minh AN2 = AB. AC . Tính BC cho AB==4 cm , AN 6 cm . c) Gọi I là trung điểm BC , NI cắt ()O tại điểm thứ hai T . Chứng minh MT// AC . d) Hai tiếp tuyến của ()O tại B và C cắt nhau tại K . Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định. Câu 387.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ()O và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB , AC và cát tuyến ADE với ()O ( D nằm giữa A và E) . Phân giác góc DBE cắt ED tại I . Chứng minh: BD CD a) = b) Chứng minh AI== AB AC . BE CE c) Chứng minh CI là phân giác góc DCE . Câu 388.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ()O và điểm M nằm ngoài ()O , kẻ 2 tiếp tuyến MA , MB và cát tuyến (MN MP) , gọi K là trung điểm NP . 1) Chứng minh MAKOB, , , , cùng thuộc đường tròn. 2) KM là phân giác AKB . 3) Gọi Q là giao điểm thứ 2 của BK với (O) , chứng minh QA// NP . 4) Gọi H là giao điểm AB và MO , Chứng minh MA2 == MH MO MN MP . 5) Chứng minh 4 điểm NHOP, , , cùng thuộc đường tròn. 6) E là giao AB và KO , chứng minh AB2 = 4. HE HF ( F là giao AB và NP) 7) Chứng minh KEMH nội tiếp từ đó suy ra OK. OE không đổi. 8) Gọi I là giao MO với ()O . chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp MAB . 9) Tìm vị trí NMP để tam giác MQP có diện tích lớn nhất.
10. 10) Chứng minh KF và KE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc AKB . Từ đó suy ra AE BF= AF BE . 11) Chứng minh khi cát tuyến MNP thay đổi thì trọng tâm G của tam giác NAP luôn chạy trên một đường tròn cố định. 12) Qua N kẻ đường thẳng song song MB cắt AB và PB tại X và Y . Chứng minh X là trung điểm NY . 13) Giả sử MO= 2 R . Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OA, OB và cung nhỏ BA . 14) Phân giác góc NAP cắt NP tại J . Chứng minh: AN BN + = + MA== MB MJ + BJ là phân giác góc NBP . AP BP 15) Từ A kẻ đường thẳng song song MO cắt ()O tại L . LM cắt ()O tại Z , AZ cắt OM tại U . Chứng minh: HB2 LZ a) MU2 = UZ. UA và UM= HU b) Chứng minh: −=1 HZ2 ZM Câu 389.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR . Từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyên MA, MB với đường tròn. Qua A kẻ đường thẳng song song MO cắt (O) tại E . ME cắt (O) tại F . AF cắt MO tại NH, là giao điểm MO và AB . a) Chứng minh MAOB nội tiếp. b) NM2 = NF. NA và NM= NH . HB2 EF c) Chứng minh −=1 HF2 MF Câu 390.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho (;)OR điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O) . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN và cát tuyến ABC đến (O) ( M và O nằm cùng phía với cát tuyến ABC ) . Gọi H là trung điểm BC . a) Chứng minh AM2 = AB. AC b) Chứng minh tứ giác AMON và ANHO là các tứ giác nội tiếp. c) Qua H kẻ đường thẳng song song MC cắt MN tại K . Chứng minh BK // AM . Câu 391.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho tam giác ABC cân tại A , A 90 . , một cung tròn BC nằm trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB , AC tại B và C . Trên cung BC lấy một điểm M rồi hạ đường vuông góc MI , MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC ,CA , BA . Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH . a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK ,CIMH nội tiếp được b) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được. Suy ra PQ// BC
11. Câu 392.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Gọi (O1 ) là đường tròn đi qua MPKO,,.( 2 ) là đường tròn đi qua MQHN,,; là giao điểm thứ hai của (O1 ) và (O2 ) và D là trung điểm của BC . Chứng minh MND,, thẳng hàng. Cho đường tròn (Or; ) và dây cung AB ( AB 2 r) . Trên tia AB lấy điểm C sao cho AC AB . Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn tại PK, . Gọi I là trung điểm AB . a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh 2 tam giác ACP và PCB là đồng dạng. Từ đó suy ra: CP2 = CB. CA. c) Gọi H là trực tâm của tam giác CPK . Hãy tính PH theo r . d) Giả sử PA // CK , chứng minh rằng tia đối của tia BK là tia phân giác của góc CBP Câu 393.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (O;R ), một dây CD có trung điểm là H . Trên tia đối của tia DC lấy một điểm S và qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO; OH lần lượt tại E và F. a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp. b/Chứng minh OE. OS= R2 c/ OH OF= OE OS . d/ Khi S di động trên tia đối của tia DC hãy chứng minh đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định. Câu 394.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn ( O , R) , vẽ tiếp tuyến MA , ( A là tiếp điểm) Gọi E trung điểm AM , kẻ EI vuông góc OM tại I , AH vuông góc OM tại H . Qua M vẽ cát tuyến MBC có MB MC và tia MC nằm giữa tia MA và MO .Vẽ tiếp tuyến IK tới ()O với K là tiếp điểm. Chứng minh: a) Chứng minh: MA22== MB. MC ; MA MH . MO b) Chứng minh ∆MBH đồng dạng ∆MOC. Từ đó suy ra BCOH nội tiếp. c) Chứng minh góc AHB = AHC và Tam giác MHK vuông tại K d) Giả sử: BC= 3 BM , D là trung điểm MC . Chứng minh: MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ODH Câu 395.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với đường tròn( BCMN,,, thuộc đường tròn; AM AN ). Gọi I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE với đường tròn ( E là trung điểm của MN ). a) Chứng minh 4 điểm AOEC,,, cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh :góc AOC= BIC ; c) Chứng minh: BI// MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn nhất.
12. Câu 396.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn (;)OR , đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt AB, . Từ một điểm C trên d(C nằm ngoài đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM , CN tới đường tròn( M , N thuộc O). Gọi H là trung điểm của AB , đường thẳng OH cắt tia CN tại K . 1) C/m 4 điểm COHN,,, thuộc một đường tròn 2) C/m: KN KC= KH KO 3) Đoạn thẳng CO cắt ()O tại I , chứng minh I cách đều CM ,CN, MN . 4) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM ,CN lần lượt tại E và F .Xác định vị trí của điểm C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất. Câu 397.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn ( O , R) và điểm A nằm ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB , AC với đường tròn ( B ,C là các tiếp điểm) 1. Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp. 2. Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE. OA= R2 3. Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O , R) lấy điểm K bất kỳ ( K khác B ,C). Tiếp tuyến tại K của đường tròn ( O ,R) cắt AB , AC theo thứ tự tại P , Q . Chứng minh tam gác APQ có chu vi không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC . 4. Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB , AC theo thứ tự tại M , N . Chứng minh rằng PM+ QN MN Câu 398.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho ()O và điểm A nằm ngoài ()O . Kẻ hai tiếp tuyến AM , AN với ()O ( M , N là các tiếp điểm). Một đường thẳng ()d đi qua A cắt ()O tại hai điểm B và C (AB AC , d không đi qua tâm O) 1. Chứng minh AMON nội tiếp. 2. Chứng minh AN2 = AB. AC . Tính BC biết AB==4 cm ; AN 6 cm . 3. Gọi I là trung điểm BC , đường thẳng NI cắt ()O tại điểm thứ hai T . Chứng minh MT// AC . 4. Hai tiếp tuyến của ()O tại B và C cắt nhau tại K . Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 399.(Thầy Nguyễn Chí Thành) Cho đường tròn ()O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn ()O ( B là tiếp điểm) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C , O). Đường thẳng AI cắt ()O tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E) . Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng DE 1) Chứng minh bốn điểm A , O , B , H cùng nằm trên một đường tròn. AB BD 2) Chứng minh = AE BE
13. 3) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO . d cắt BC tại điểm K . Chứng minh HK ∥ DC 4) Tia CD cắt AO tại điểm P , tia EO cắt BP tại điểm F , Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.