Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức

Nội dung text: Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức

1. LỚP LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 BẤT ĐẲNG THỨC 10 CHƯƠNG 4 10 ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 BẤT ĐẲNG THỨC I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC II BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN III BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
2. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Biến đổi tương đương CÁC GTLN (Max) Chứng minh DẠNG GTNN (Min) BĐT TOÁN Dùng BĐT phụ (Côsi, Bunhiacopxki, )
3. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC I KHÁI NIỆM BẤT: Không BẤT Hai biểu thức BẤT ĐẲNG THỨC LÀ GÌ? không bằng ĐẲNG nhau THỨC ĐẲNG THỨC: Các biểu thức bằng nhau
4. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC I KHÁI NIỆM Các mệnh đề dạng " “ được gọi là Bất đẳng thức. Ví dụ "2 " Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng ≤ hoặc ≥ . Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng là các bất đẳng thức ngặt. II BẤT ĐẲNG THỨC HỆ QUẢ, BẤT ĐẲNG THỨC TƯƠNG ĐƯƠNG • Nếu mệnh đề " < ⇒ < " đúng thì ta nói BĐT < là BĐT hệ quả của < . Ta viết: < ⇒ < . • Nếu < là hệ quả của < và ngược lại thì hai BĐT tương đương nhau. Ta viết: < ⇔ < .
5. . • LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1 Mệnh đề nào sau đây đúng với , , tùy ý? . Lời giải • Theo tính chất bắc cầu ta được 1 • Đáp án C: Chọn = 3, = 1, = 2 mệnh đề có dạng: ൜ ⇒ 3 4 là mệnh đề sai. 5 > 4 Đáp án D sai.
6. . LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 2 Bất đẳng thức − 1 > 2 − 5 có bất đẳng thức tương đương là A. − 1 2 > 2 − 5 2 B. − > −4 C. − 1 > 2 − 5 D. > 4 Lời giải Câu A và C: Sai. Vì hai vế chưa thỏa điều kiện không âm. Câu B: Đúng. Vì − 1 > 2 − 5 ⇔ − 2 > −5 + 1 ⇔ − > −4 Câu D: Sai vì − > −4 ⇔ < 4.
7. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC III TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức 0 0, > 0 0 < ⟺ < 3 3 Khai căn hai vế của một BĐT < ⟺ <
8. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3 Nếu + 4 > + 4 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. −3 > −3 . B. 2 > 2. C. 2 > 2 . D. + 4 ⇔ > ⇔ 2 > 2 . Nhân hai về của BĐT với một số dương
9. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 4 Cho 4 số , , , khác 0 thỏa mãn < và < . Kết quả nào sau đây đúng nhất? 1 1 A. < . B. < . C. − < − . D. − < − . Lời giải Cộng theo vế của hai BĐT cùng chiều < Từ ቊ ⇒ + < + ⇒ − < − . < Cộng hai vế của BĐT với (– c – d) Chuyển vế đổi dấu
10. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa và tính chất Phương pháp: Để chứng minh > , ta có thể thực hiện bởi một trong các hướng sau: Hướng 1: Chứng minh − > 0. Hướng 2: Thực hiện phép biến đổi đại số để bất đẳng thức ban đầu trở thành bất đẳng thức đúng.Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng. Chú ý: Với hướng 1 và 2, thường là biến đổi − thành các đại lượng không âm; nếu − ≥ 0 thì phải chỉ ra " = " xảy ra khi nào
11. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 1 Cho , là các số thực, chứng minh ) 2 + 2 ≥ 2 . ) + 2 ≥ 2 Lời giải a) Ta có: Hướng 1: 2 + 2 ≥ 2 ⇔ 2 − 2 + 2 ≥ 0 ⇔ − 2≥ 0 Hướng 2: − 2 ≥ 0 ⇔ 2 − 2 + 2 ≥ 0 ⇔ 2 + 2 ≥ 2 b) Ta có: + 2 ≥ 2 ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ 2 ⇔ 2 + 2 ≥ 0 (luôn đúng)
12. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 2 Cho , , là các số thực, chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ + + . Lời giải Cách 1 Cách 2 Ta có: Dựa vào Bài 1, ta có: 2 + 2 ≥ 2 2 2 2 + 2 + 2 ≥ + + + ≥ 2 2 + 2 ≥ 2 ⇔ 2 2 + 2 + 2 ≥ 2 + + ⇒ 2 2 + 2 + 2 ≥ 2 + + ⇔ − 2 + − 2 + − 2 ≥0 ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ + + (luôn đúng) (đpcm) Vậy 2 + 2 + 2 ≥ + + đúng.
13. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 2: Tìm GTLN-GTNN của một biểu thức. Định nghĩa: Xét = có tập xác định . ≤ , ∀ ∈ • là GTLN của trên ⇔ ቊ ∃ 0 ∈ , 0 = ≥ , ∀ ∈ • là GTNN của trên ⇔ ቊ ∃ 0 ∈ , 0 =
14. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 3 Cho các số thực , thỏa mãn > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 푃 = + − − − 1. 2 2 A. 3. B. −1. C. 1. D. −3. Lời giải Ta có 2 − 1 ≥ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 푃 = + − − − 1 = − + 1 + − + 1 − 3 2 2 2 2 2 − 1 ≥ 0 2 2 = − 1 + − 1 − 3 ≥ −3. −3 = −3 = 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ቐ ⇔ = ≠ 0. Vậy 푖푛 푃 = −3 khi = ≠ 0. = 1
15. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 2 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số = + 3 + 6 − . A. = 2, = 3 B. = 3, = 3 2. C. = 2, = 3 2. D. = 3, = 3. Lời giải + 3 ≥ 0 Hàm số xác định khi ቊ ⇔ −3 ≤ ≤ 6 nên TXĐ = −3; 6 6 − ≥ 0 Ta có 2 = 9 + 2 + 3 6 − • Vì 3 + 6 − ≥ 0, ∀ ∈ −3; 6 nên suy ra 2 ≥ 9 ≥ 3. Dấu ′′ = ′′ xảy ra ⇔ = −3 hoặc = 6. Vậy = 3. 3 81 9 • Lại có 2 3 + 6 − = 2 − 2 + 3 + 18 = 2 −( − )2 + ≤ 2. = 9 2 4 2 2 nên suy ra ≤ 18 ≤ 3 2. 3 3 Dấu ′′ = ′′ xảy ra ⇔ − = 0 ⇔ = . Vậy = 3 2. Vậy = 3, = 3 2. 2 2
16. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 15 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập 3 Cho hai số thực , thỏa mãn 2 + 2 + = 3. Tập giá trị của biểu thức 푆 = + là: A. 0; 3 B. 0; 2 . C. −2; 2 . D. −2; 2 . Lời giải Ta có − 2 ≥ 0 ⇔ 2 + 2 − 2 ≥ 0 ⇔ 2 + 2 ≥ 2 2 + + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 ≥ 4 ⇔ ≤ ⇔ + 2 − 3 = ≤ 4 4 + 2 2 + 2 + = 3 ⇔ + 2 − 3 − = 0 ⇔ + 2 − 3 = ≤ 4 + 2 ⇔ + 2 − 3 ≤ Suy ra + 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ + ≤ 2. 4 = = −1 Dấu bằng xảy ra khi ቈ = = 1