Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Tiết 2)

Nội dung text: Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 4: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Tiết 2)

1. LỚP 10 ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 4 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TIẾT 1 I BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN II BIỂU DIỄN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TIẾT 2 III HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN V TÓM TẮT BÀI HỌC
2. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ghi nhớ 1. Định nghĩa: ➢ Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 풙, 풚 là hệ gồm một số BPT bậc nhất 2 ẩn. ➢ Cặp số (x0; y0) gọi là một nghiệm của hệ nếu nó là nghiệm chung của các BPT trong hệ. ➢ Với mỗi cặp 풙 ; 풚 là nghiệm của hệ ta xác định được điểm M(x0; y0) trong mặt phẳng tọa độ 푶풙풚 . Tập hợp tất cả các điểm M đó gọi là miền nghiệm của hệ.
3. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ghi nhớ 풙 + 풚 > 풙 + 풚 > 2. Các bước xác định miền nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn . . . (Có thể thay dấu “ > ” bằng các dấu “ 풏 ➢ Bước 1: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các đường thẳng là (풅 ): 풙 + 풚 = ; (풅 ): 풙 + 풚 = ; . ; 풅풏 : 풏풙 + 풏풚 = 풏. ➢ Bước 2: Chọn điểm M(x0;y0) không nằm trên các đường thẳng vừa vẽ, thay tọa độ của M vào từng BPT của hệ. Từ đó xác định miền nghiệm của từng BPT trong hệ. Tô đậm (hoặc gạch chéo) những phần mặt phẳng không là miền nghiệm của các BPT. ➢ Bước 3: Ta kết luận phần mặt phẳng không tô đậm ( hoặc không gạch chéo) là miền nghiệm của hệ. 3. Bài tập áp dụng: Dạng 3: Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
4. Dạng 3: Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 1 풙 − 풚 > ( ) Xác định miền nghiệm của hệ BPT: ቐ 풙 − 풚 ≤ − ( ). 풙 + 풚 > ( ) Bài giải y d1 ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ ba đường thẳng: 3 ( 1): − = 0: qua 0; 0 , 1(1; 1). 2 : − 3 = −3 ∶ qua 2 −3; 0 , 2(0; 1). t d 3 : + = 5 : qua 3 5; 0 , 3(0; 5). 2 ➢ Chọn điểm (1; 0), thay tọa độ vào hệ BPT, được: 1 − 0 > 0 + Thay vào (1): ( t/m) 2 ⇒Tô đậm nửa mặt phẳng bờ là không chứa 1 1 điểm . Miền nghiệm của (1) không tô đậm. 2 M x + Thay vào (2): 1 − 3.0 ≤ −3 ( không t/m) O 3 ⇒Tô đậm nửa mặt phẳng bờ là 2 chứa điểm . d3 Miền nghiệm của (2) không tô đậm (lấy cả ( 2)). + Thay vào (3): 1 + 0 > 5 ( không t/m) ⇒Tô đậm nửa mặt phẳng bờ là 3 chứa điểm . Miền nghiệm của (3) không tô đậm. ➢ Vậy miền nghiệm là phần không bị tô màu như hình vẽ, tính cả các điểm thuộc tia Nt nằm trên d2.
5. Ví dụ 2 3x+ y 6 x+ y 4 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: x0 y0 Bài giải ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ các đường thẳng: y (d2) (d1) (d1): 3x + y = 6  A I (d2): x + y = 4  (d3): x = 0 (d ): y = 0 4 M ➢ Kiểm tra thấy điểm M(1; 1) thỏa mãn tất cả các bất phương  3 + 1 ≤ 6 C x 1 + 1 ≤ 4 O  trình trong hệ vì: (t/m). (d4) 1 ≥ 0 1 ≥ 0 (d3) Ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm M. Có (d1) (d2)=I(1; 3); (d2) (d3)=A(0; 4), (d1) (d4)=C(2; 0), (d3) (d4)=O(0; 0). ➢ Miền không bị tô đậm (miền trong tứ giác AICO, kể cả 4 cạnh AI, IC, OC, OA) là miền nghiệm của hệ đã cho.
6. Ví dụ 3 풙 − 풚 ≥ ( ) Xác định miền nghiệm của hệ BPT: ቐ . ퟒ풙 − 풚 ≤ ( ) Bài giải Cách 1: ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ hai đường thẳng: 3 1 2 : 2 − =1: qua ( , 0), (0; − ). 1 2 2 3 1 2 : 4 − 3 = 2 ∶ qua ; 0 , (0; − ). 2 2 3 ➢ Chọn điểm (0; 0), thay tọa độ vào hệ BPT, được: + Thay vào (1): 0 ≥ 1 (không t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 1 chứa điểm . Miền nghiệm của (1) là miền không bị gạch lấy cả ( 1). + Thay vào (2): 0 ≤ 2 ( t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 2 không chứa điểm . Miền nghiệm của (2) là miền không bị gạch, lấy cả ( 2). ➢ Vậy miền nghiệm của hệ bpt là đường thẳng ( ): 4 − 3 = 2. 3 2 − ≥ 1 4 − 3 ≥ 2 Cách 2 : ൝ 2 ⟺ ൜ ⟺ 4 − 3 = 2 . 4 − 3 ≤ 2 4 − 3 ≤ 2 Vậy miền nghiệm của hệ là đường thẳng : 4 − 3 = 2.
7. Ví dụ 4 풙 + 풚 < ( ) Cho hệ ቐ . Gọi 푺 , 푺 lần lượt là miền nghiệm của 2 bất phương trình (1), (2). 풙 + 풚 < ( ) So sánh hai miền nghiệm 푺 và 푺 . Bài giải Cách 1: ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ hai đường thẳng: 5 5 : 2 + 3 =5: qua ; 0 , (0; ). 1 1 2 1 3 3 10 : + = 5: qua 5 ; 0 , (0; ). 2 2 2 2 3 ➢ Chọn điểm (0; 0), thay tọa độ vào hệ BPT, được: + Thay vào (1): 0 < 5 ( t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 1 không chứa điểm . Miền nghiệm của (1) là miền S1 không bị gạch . + Thay vào (2): 0 < 5 ( t/m) ⇒ Gạch chéo nửa mặt phẳng bờ là 2 không chứa điểm . Miền nghiệm của (2) là miền 푆2 không bị gạch. ➢ Vậy từ đồ thị ta thấy 푆1 ⊂ 푆2. 2 + 3 < 5 (1) 2 + 3 < 5 (1) Cách 2 : ൝ 3 ⟺ ൜ . + < 5 (2) 2 + 3 < 10 (2) 2 Dễ thấy mọi nghiệm của (1) là nghiệm của (2). Vậy 푆1 ⊂ 푆2.
8. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 3: Biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 5 3 − 2 − 6 ≥ 0 3 Miền nghiệm của hệ bpt ൞2( − 1) + ≤ 4 không chứa điểm nào sau đây? 2 ≥ 0 A. (2; −2). B. (1; −1) C. 3; 0 D. (2; −3) Bài giải 6 + 4 − 6 ≥ 0 ➢ Thay tọa độ 2; −2 vào hệ được ቐ 2 − 3 ≤ 4 (thỏa mãn). Vậy A thuộc miền nghiệm của hệ. Làm 2 ≥ 0 tương tự thì C, D cũng thuộc miền nghiệm của hệ. 3 + 2 − 6 ≥ 0 3 ➢ Thay tọa độ (1; −1) vào hệ được ൞ 0 − ≤ 4 (không thỏa mãn). Vậy B không thuộc miền 2 1 ≥ 0 nghiệm của hệ. Chọn B.
9. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN III. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ứng dụng của hệ BPT bậc nhất hai ẩn Tìm GTLN, GTNN của biểu Bài toán kinh tế tối ưu. thức F(x,y) = ax + by, với (x; y) (Chi phí thấp nhất; Lãi thuộc miền nghiệm của hệ suất cao nhất; .) BPT bậc nhất 2 ẩn .
10. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x,y)=ax+by, với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ BPT bâc nhất 2 ẩn Các bước giải ➢ Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ BPT (Thường là 1 miền đa giác). ➢ Bước 2. Xác định tọa độ (x; y) các đỉnh của miền đa giác trên. Tính giá trị của F tại các đỉnh đó. ➢ Bước 3. Kết luận: • GTLN của F là số lớn nhất trong các giá trị tìm được. • GTNN của F là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được.
11. Ví dụ 6 ≤ 풚 ≤ ퟒ 풙 ≥ 푭 풙; 풚 = 풙 + 풚 Tìm GTLN của biểu thức với (x; y) là nghiệm của hệ : 풙 − 풚 − ≤ . 풙 + 풚 − ≤ Bài giải ≥ 0 0 ≤ ≤ 4 ≤ 4 ≥ 0 ⟺ ≥ 0 . Có − − 1 ≤ 0 − − 1 ≤ 0 + 2 − 10 ≤ 0 + 2 − 10 ≤ 0 ➢ Trên cùng hệ trục Oxy, vẽ các đường thẳng 1: =0 (trục Ox); 2: = 4 ; 3: = 0(trục Oy) 4: − − 1 = 0; 5: + 2 − 10 = 0. Miền nghiệm là ngũ giác với : 4 ∩ 5 = 4; 3 ; 2 ∩ 5 = 2; 4 ; 2 ∩ 3 = 0; 4 ; 1∩ 3 = 0; 0 ; 1 ∩ 4 = 1; 0 . ➢ Ta có: 퐹 4; 3 = 10, 퐹 2; 4 = 10, 퐹 0; 4 = 8, 퐹 1; 0 = 1, 퐹 0; 0 = 0. ➢ Vậy max 퐹 ; = 10. CASIO
12. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x,y)=ax+by, với (x; y) là nghiệm của hệ BPT bâc nhất 2 ẩn Ví dụ 7 풙 − 풚 ≤ 풙 + 풚 ≤ Cho hệ bất phương trình . Khẳng định nào sau đây là sai ? 풙 ≥ 풚 ≥ A. Trên mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác kể cả các cạnh với ( ; ), ; , 푪( ; ) và 푶( ; ). B. Đường thẳng 휟: 풙 + 풚 = có giao điểm với tứ giác 푪푶 khi − ≤ ≤ . ퟒ C. GTLN của biểu thức 풙 + 풚, với 풙 và 풚 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là . ퟒ D. GTNN của biểu thức 풙 + 풚 , với 풙 và 풚 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
13. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x,y)=ax+by, với (x; y) là nghiệm của hệ BPT bâc nhất 2 ẩn Ví dụ 7 풙 − 풚 ≤ 풙 + 풚 ≤ Cần tìm miền nghiệm của hệ bpt 풙 ≥ và GTNN – GTLN 풚 ≥ của biểu thức 푭(풙; 풚) = 풙 + 풚 trên miền nghiệm đó. Bài giải ➢ Làm theo dạng 3 ta có miền nghiệm là miền tứ giác 25 9 kể cả các cạnh với (0; 3), ; , 8 8 (2; 0) và (0; 0) (phần không tô màu, tính cả cạnh). Vậy A đúng. 25 9 17 ➢ Có 퐹(0; 3) = 3, 퐹( ; ) = , 퐹(2; 0) = 2, 퐹(0; 0) = 0 8 8 4 17 ➢ Do đó, max퐹 = , min퐹 = 0. Suy ra C, D đúng . 4 17 ➢ Vậy 0 ≤ + ≤ . Suy ra B sai. Vậy chọn B. 4
14. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 4. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức F(x,y)=ax+by, với (x; y) là nghiệm của hệ BPT bâc nhất 2 ẩn Ví dụ 7 풙 − 풚 ≤ 풙 + 풚 ≤ Cho hệ bất phương trình . Khẳng định nào sau đây là sai ? 풙 ≥ 풚 ≥ A. Trên mặt phẳng tọa độ 푶풙풚, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác kể cả các cạnh với ( ; ), ; , 푪( ; ) và 푶( ; ). B. Đường thẳng 휟: 풙 + 풚 = có giao điểm với tứ giác 푪푶 kể cả khi − ≤ ≤ . ퟒ C. GTLN của biểu thức 풙 + 풚, với 풙 và 풚 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là . ퟒ D. GTNN của biểu thức 풙 + 풚 , với 풙 và 풚 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
15. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Dạng 5. Bài toán kinh tế tối ưu Các bước giải ➢ Bước 1. Từ các giả thiết của bài toán kinh tế tối ưu ta đưa về bài toán tìm GTNN – GTLN. Cụ thể: + Đặt ẩn phụ x, y cho bài toán. + Tìm các điều kiện của x, y. + Tìm biểu thức T = F(x, y) cần tìm GTLN – GTNN. ➢ Bước 2. Sử dụng Dạng 4 (đã học) để tìm GTLN – GTNN của T = F(x, y) với các điều kiện của x, y đã biết.
16. Ví dụ 8 Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1 kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi , lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tìm , . Bài giải Có , lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Điều kiện: 0 ≤ ≤ 1,6 và 0 ≤ ≤ 1,1. Chi phí để mua kg thịt bò và kg thịt lợn là = 160 + 110 Khi đó số protein có được là 800 + 600 và số lipit có được là 200 + 400 . Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein mỗi ngày nên: 800 + 600 ≥ 900 ⇔ 8 + 6 ≥ 9 . Vì gia đình đó cần ít nhất 400 đơn vị lipit mỗi ngày nên: 200 + 400 ≥ 400 ⇔ + 2 ≥ 2. 0 ≤ ≤ 1,6 0 ≤ ≤ 1,1 Ta có hệ phương trình: (I) . 8 + 6 ≥ 9 + 2 ≥ 2 Khi đó: Tìm , thuộc miền nghiệm của (I) để T đạt giá trị nhỏ nhất.
17. Ví dụ 8 0 ≤ ≤ 1,6 0 ≤ ≤ 1,1 Tìm , thuộc miền nghiệm của (I) để = 160 + 110 đạt giá trị nhỏ nhất. 8 + 6 ≥ 9 + 2 ≥ 2 Bài giải ➢ Miền nghiệm của hệ trên là tứ giác ABCD (kể cả biên). ➢ Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD: Tại A(0,6; 0,7): T = 160.0,6+110.0,7=173 (nghìn). Tại B(1,6; 0,2): = 160.1,6 + 110.0,2 = 278 (nghìn). Tại C(1,6; 1,1): = 160.1,6 + 110.1,1 = 377 (nghìn). Tại D(0,3; 1,1): = 160.0,3 + 110.1,1 = 169 (nghìn). ⇒ T đạt GTNN khi = 0,3; = 1,1 . Vậy cần = 0,3 kg thịt bò, = 1,1 kg thịt lợn .
18. Ví dụ 9 Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe và . Trong đó xe loại có 10 chiếc, xe loại có 9 chiếc. Một chiếc xe loại cho thuê với giá 4 triệu, loại giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe chỉ chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng. Xe chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng. Bài giải Gọi là số xe loại A 0 ≤ ≤ 10; ∈ ℕ , là số xe loại B 0 ≤ ≤ 9; ∈ ℕ . Khi đó tổng chi phí thuê xe là = 4 + 3 (triệu đồng). Xe chở tối đa 20 người, xe chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là 20 + 10 (người). Xe chở được 0,6 tấn hàng, xe chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở được là 0,6 + 1,5 (tấn). 0 ≤ ≤ 10 0 ≤ ≤ 9 Theo giả thiết, ta có ∗ . 20 + 10 ≥ 140 0,6 + 1,5 ≥ 9 Ta cần tìm ( ; ) thuộc miềm nghiệm của (*) để = 4 + 3 đạt GTNN.
19. Ví dụ 9 0 ≤ ≤ 10 0 ≤ ≤ 9 Xét hệ bất phương trình ∗ . 20 + 10 ≥ 140 0,6 + 1,5 ≥ 9 Ta cần tìm ( ; ) thuộc miền nghiệm của (*) để = 4 + 3 đạt GTNN. Bài giải ➢ Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ∗ là tứ giác kể cả miền trong của tứ giác (như hình vẽ) ➢ Biểu thức = 4 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác . 5 ➢ Thay tọa độ 10; 2 ; 10; 9 ; ; 9 ; 5; 4 vào 2 Có ( ) = 46, ( ) = 67 , ( ) = 37, ( ) = 32. = 5 ➢ Vậy = 4 + 3 đạt giá trị nhỏ nhất tại ቊ . = 4 Khi đó, 푖푛 =32 (triệu đồng).
20. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 4 10 CHƯƠNG 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bài 4 : BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TIẾT 1 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1 Xét một điểm có thuộc hay không thuộc miền nghiệm một BPT bậc nhất Dạng 2 Dựa vào đồ thị, xác định miền nghiệm của BPT Tiết 2 HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 3 Biểu diễn miền nghiệm của hệ bpt trình bậc nhất 2 ẩn. Dạng 4 Tìm GTNN – GTLN của F(x,y) trên miền nghiệm của hệ bpt bậc nhất 2 ẩn. Dạng 5 Bài toán kinh tế tối ưu.