Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương II, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương II, Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ (Tiết 3)

1. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LỚP 10 TIẾT 3 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. Dạng 1 Tính các tích vô hướng. Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng. Dạng 3 Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước. c
2. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN DẠNG 1: Tính các tích vô hướng. 1. Phương pháp giải. a.b =cos( a,b) Dựa vào định nghĩa Ԧ. = Ԧ . cos Ԧ; a . b . Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ. 2. Ví dụ.
3. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 A M B Ví dụ 1 Cho hình vuông cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác . Tính giá trị các biểu thức sau: G a) ( + )( + ) . b) . + . D C Hình 2.3 Lời giải a) Theo quy tắc hình bình hành ta có + = Do đó ( + )( + ) = . + . = . Vì . = 0 do ⊥ = . cos ෣ . Mặt khác, ෣ = 450 và theo định lý Pitago ta có: = 2 + 2 = 2 . Suy ra ( + )( + ) = . 2cos450 = 2.
4. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A M B b) Vì G là trọng tâm tam giác nên 3 = + + Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có G = − + và 1 1 1 D C = + = − + = − + 2 2 2 2 1 5 2 Suy ra 3 = − − + − + 2 = − + . 2 6 3 1 Ta lại có + = − + + − = − + 2 . 2 5 2 1 Nên . + = + + 2 6 3 2 5 4 7 2 = 2 + 2 = . 12 3 4
5. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Ví dụ 2 Cho tam giác có = , = , = . M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A. a) Tính . , rồi suy ra 표푠 . B C 2 2 D M b) Tính và . Hình 2.3 Lời giải 1 2 a) Ta có . = 2 + 2 − − 2 1 1 = 2 + 2 − 2 = 2 + 2 − 2 . 2 2 Mặt khác . = . cos = cos . 1 2+ 2− 2 Suy ra 2 + 2 − 2 = 표푠 hay 표푠 = . 2 2
6. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A 1 b) * Vì M là trung điểm của BC nên = + 2 1 2 1 Suy ra 2 = + = 2 + 2 + 2 . 4 4 B C 1 D M Theo câu a) ta có . = 2 + 2 − 2 nên 2 1 1 2 2+ 2 − 2 2 = 2 + 2. 2 + 2 − 2 + 2 = . 4 2 4 * Theo tính chất đường phân giác thì = = . Suy ra = = (*)
7. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A Mặt khác = − và = − thay vào (*) ta được − = − C B D M ⇔ + = + 2 2 Hình 2.3 ⇔ + 2 2 = + 2 + 1 ⇔ + 2 2 = 2 2 + 2 . 2 + 2 − 2 + 2 2 2 ⇔ 2 = + − + + . + 2 4 Hay 2 = − . + 2
8. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 3 Cho tam giác vuông tại A có = , = 2 và G là trọng tâm. a) Tính các tích vô hướng . ; . . b) Tính giá trị của biểu thức . + . + . . c) Tính giá trị của biểu thức . + . + . . Lời giải a) * Theo định nghĩa tích vô hướng ta có . = . cos , = 2 2cos , . 1 Mặt khác cos , = cos ෣ = = nên . = 2. 2 2 * Ta có . = − . = − . cos ෣. Theo định lý Pitago ta có = 2 2 − 2 = 3. 3 Suy ra . = − 3. 2 . = −3 2. 2
9. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN b) Cách 1: Vì tam giác vuông tại A nên . = 0 , và từ câu a ta có . = − 2, . = −3 2. Suy ra . + . + . = −4 2. Cách 2: Từ + + = 0 và hằng đẳng thức 2 + + = 2 + 2 + 2 + 2 . + . + . . 1 Ta có . + . + . = − 2 + 2 + 2 = −4 2. 2
10. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN c) Tương tự cách 2 của câu b) vì + + = 0 nên 1 . + . + . = − 2 + 2 + 2 . 2 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. 2 2 4 2 Dễ thấy tam giác đều nên 2 = = . 3 9 Ta có: 4 4 4 3 2 7 2 2 = 2 = 2 + 2 = 2 + = . 9 9 9 4 9 4 4 4 2 13 2 2 = 푃2 = 2 + 푃2 = 3 2 + = . 9 9 9 4 9 1 4 2 7 2 13 2 4 2 Suy ra . + . + . = − + + = − . 2 9 9 9 3
11. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.Cho tam giác có = 5, = 7, = 8. a) Tính . , rồi suy ra giá trị của góc A. b) Tính . . c) Gọi D là điểm trên CA sao cho = 3. Tính . . Bài 2. Cho các véctơ Ԧ, có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện 2 Ԧ − 3 = 7. Tính cos Ԧ, . Bài 3. Cho các véctơ Ԧ, có độ dài bằng 1 và góc tạo bởi hai véc tơ bằng 600. Xác định cosin góc giữa hai vectơ và 푣Ԧ với = Ԧ + 2 , 푣Ԧ = Ԧ − . Bài 4. Cho hình vuông cạnh bằng 3. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho = 1, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho = 1 và P là trung điểm BC. Tính cos 푃෣ .
12. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5. Cho hình chữ nhật có = 2. M là điểm được xác định bởi = 3 , G là trọng tâm tam giác . Tính . . Bài 6. Cho tứ giác . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DA, BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD biết = = 2 , = 3. Bài 7. Cho tam giác đều có cạnh bằng 1. Gọi D là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB, M là trung điểm của cạnh CB. a) Xác định trên đường thẳng AC điểm N sao cho tam giác vuông tại D. Tính diện tích tam giác đó. b) Xác định trên đường thẳng AC điểm P sao cho tam giác 푃 vuông tại M. Tính diện tích tam giác đó. c) Tính côsin góc hợp bởi hai đường thẳng MP và PD .
13. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 DẠNG 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tích vô hướng. 1. Phương pháp giải. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức 2 = 2 . Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ. Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng. 2. Ví dụ.
14. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1 Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: . = 2 − 2 . Lời giải Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là . = 2 − 2. Để làm xuất hiện , ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được = + . + = + . − = 2 − 2 = 2 − 2 = 푃 (đpcm).
15. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng: VíLời dụ giải 2 : . + . + . = 0 (*). Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Lời giải: Ta có: . + . + . = . − + . − + . − = . − . + . − . + . − . = 0 Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A,B. Khi đó ta có . = 0, . = 0 (1). Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được . + . + . = 0 (2). Từ (1) (2) ta có . = 0 suy ra BH vuông góc với AC. Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm).
16. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 VíLời dụ giải 3 : Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: . + . = 2 . Lời giải D C Ta có = . + + . + = . + . + . + . E Vì AB là đường kính nên ෣ = 900, ෣ = 900 A Hình 2.4 B Suy ra . = 0, . = 0. Do đó = . + . = + = 2 = 푃 (đpcm).
17. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho tam giác đều cạnh , với các đường cao , 퐾 vẽ ⊥ . Chứng minh rằng a. . = 2 . . b. . = 4 . . c. − = 2 . . 2 Bài 2.Cho tam giác đều cạnh bằng . Chứng minh . = − . 2 Bài 3. Cho tam giác có là trực tâm; ′, ′ lần lượt là chân đường cao xuất phát từ các điểm , . Gọi , , , 푃 lần lượt là trung điểm của , , , . Chứng minh . = ′ . ′ .
18. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 4. Cho hình thang vuông có đáy lớn = 4 , đáy nhỏ = 2 , đường cao = 3 ; là trung điểm của . Chứng minh rằng a. . = 8 2. b. . = 0. Bài 5. Cho tam giác với ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng: . + . + . 퐹 = 0. Bài 6. Cho hình chữ nhật có tâm O và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng: a) . = . . b) 2 + . = 2 . . Bài 7. Cho tam giác có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1 . = 2. 4
19. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 8. Cho tam giác có trọng tâm G và = , = , = . 1 Chứng minh rằng: 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 . 3 Bài 9. Cho bốn điểm A, B, C, D thỏa mãn . = 0. Chứng minh rằng: 2 + 2 = 2 + 2. Bài 10. Cho tam giác có ba đường cao là AA', BB', CC'. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: ′ . + ′ . + ′푃. = 0. Bài 11.Cho hình bình hành . Gọi M là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng: . − . = . . Bài 12. Cho hai điểm M, N nắm trên đường tròn đường kính = 2푅. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM và BN. a) Chứng minh: . = . , . = . . b) Tính . + . theo R.
20. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 DẠNG 3: Tìm tập hợp điểm thoả mãn điều kiện cho trước. 1. Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định, phân biệt. M là điểm di động. Nếu = với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính 푅 = . Nếu . = 0 thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB. Nếu . Ԧ = 0 với Ԧ khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ Ԧ . 2. Ví dụ.
21. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 1 Cho hai điểm A, B cố định có độ dài AB bằng a, và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho: 3 2 a) . = . b) . = 2. 4 Lời giải a) Gọi I là trung điểm của AB. Khi đó I là điểm cố định, ta có 3 2 3 2 . = ⇔ + + = 4 4 3 2 2 3 2 ⇔ 2 − 2 = (Do = − )⇔ 2 = + ⇔ = . 4 4 4 Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 푅 = . b) Ta có . = 2 ⇔ . = 2 ⇔ . − = 0 ⇔ . = 0 ⇔ ⊥ . Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.
22. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 2 Cho tam giác . Tìm tập hợp điểm M sao cho + 2 + 3 = 0. Lời giải Gọi I là điểm xác định bởi + 2 = 0. Suy ra I là điểm cố định Khi đó + 2 + 3 = 0 A ⇔ + + 2 + . = 3 2 M I ⇔ . = 2. Gọi M', I' lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC. B C Theo công thức hình chiếu ta có . = ′ ′. do đó ′ ′. = 2. M' I' Hình 2.4 Vì 2 > 0 nên ′ ′, cùng hướng suy ra ′ ′. = 2 ⇔ ′ ′. = 2 ⇔ ′ ′ = Do I cố định nên I' cố định, suy ra M' cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M' và vuông góc với BC.
23. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Ví dụ 3 Cho hình vuông cạnh và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho . + . = . Lời giải Gọi I là tâm của hình vuông , suy ra I là điểm cố định A B Ta có: . = + + = 2 + + + . I = 2 + . . D C Tương tự . = 2 + . . Nên . + . = ⇔ 2 2 + . + . = ⇔ 2 2 − 2 − 2 = ⇔ 2 = + 2 2 + 2 ⇔ 2 = . 2
24. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI HỌCSỐ BÀI 15 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 10 ChCHƯƠNGương 42 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN + 2 Vậy 2 = . 2 Biện luận: A B TH1: Nếu − 2 thì = . 2 D C + 2 Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính 푅 = . 2
25. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho 2 điểm và có = 4cm. Tìm tập hợp những điểm sao cho . = 0. Bài 2. Cho 2 điểm , và là trung điểm của , = . Tập hợp những điểm mà . = 2 là đường tròn tâm , tính bán kính của đường tròn đó. Bài 3. Cho đoạn thẳng = cố định. Tìm tập hợp những điểm M thỏa . = 2. Bài 4. Cho hình vuông tâm , cạnh . Biết rằng tập hợp các điểm thỏa mãn đẳng thức 2 2 + 2 + 2 2 + 2 = 9 2 là một đường tròn có bán kính 푅. Tính 푅 theo . Bài 5. Cho tam giác , điểm 퐽 thỏa mãn 퐾 = 3퐾퐽, là trung điểm của cạnh ,điểm 퐾 thỏa mãn 퐾 + 퐾 + 2퐾 = 0. Tìm tập hợp điểm thay đổi nhưng luôn thỏa mãn 3 퐾 + 퐾 . + + 2 = 0.
26. LỚP Bài 2 HÌNHĐẠI SỐ BÀI 15 TÍCHBẤT VÔ PHƯƠNG HƯỚNG CỦA TRÌNH HAI BẬC VECT NHẤTƠ VÀ HAI ỨNG ẨN DỤNG 10 HỌC ChCHƯƠNGương 42 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 6. Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp điểm M trong mỗi trường hợp sau: a) 2 2 = . . b) 2 + 2 2 = với k là số thực dương cho trước. c) . Ԧ = với k là số thực cho trước và vectơ a 0 cho trước. Bài 7. Cho tam giác . Tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau: a) − 2 − = 0. b) + 2 + 2 = 0. c) 2 2 + . = . .