Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương III, Bài 1: Phương trình đường thẳng (Tiết 3)

Nội dung text: Bài giảng Hình học Lớp 10 - Chương III, Bài 1: Phương trình đường thẳng (Tiết 3)

1. LỚP LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 10 Chương III 10 HÌNH HỌC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG II PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG III VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG IV PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG VI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
2. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1 Tóm tắt kiến thức Cho hai đường thẳng: ∆1: 1 + 1 + 1 = 0 và ∆2: 2 + 2 + 2 = 0 + + = 0 Xét hệ xác định số giao điểm của hai đường: ቊ 1 1 1 (*) 2 + 2 + 2 = 0 i) (*) vô nghiệm ⟺ ∆1//∆2 ii) (*) có 1 nghiệm ⟺ ∆1 cắt ∆2 tại 0( 0; 0) iii) (*) có vô số nghiệm ⟺ ∆1≡ ∆2 Nhận xét: Cho hai đường thẳng: ∆1: 1 + 1 + 1 = 0 và ∆2: 2 + 2 + 2 = 0; với 2 2 2 ≠ 0. Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 + ≠ ⟺ ∆1 cắt ∆2 + = = ⟺ ∆1 ≡ ∆2 + = ≠ ⟺ ∆1// ∆2 2 2 2 2 2 2 2 2
3. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng 훥1: − 2 + 1 = 0 và 훥2: −3 + 6 − 1 = 0 . A. Song song. B. Trùng nhau. C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau. Bài giải Cách 1: Tự luận − 2 + 1 = 0 Tìm nghiệm của hệ ቊ −3 + 6 − 1 = 0 Hệ vô nghiệm, suy ra hai đường thẳng 훥1 và 훥2 song song với nhau. 1 −2 1 Cách 2: Xác định tỉ lệ : = ≠ nên hai đường thẳng đã cho song song với nhau. −3 6 −1 Chọn A.
4. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 2 Hai đường thẳng 1: 4 + 3 − 18 = 0 và 2: 3 + 5 − 19 = 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ: A. 3; 2 . B. −3; 2 . C. 3; −2 . D. −3; −2 . Bài giải 4 + 3 − 18 = 0 = 3 Giải hệ phương trình ቊ ⇔ ቊ 3 + 5 − 19 = 0 = 2 Vậy giao điểm của hai đường thẳng là điểm 3; 2 . Chọn A.
5. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 3 Hai đường thẳng 훥 : − = 1 và 훥 : 3 + 4 − 10 = 0 thỏa mãn 1 3 4 2 A. Cắt nhau nhưng không vuông góc. B. Vuông góc nhau. C. Song song. D. Trùng nhau. Bài giải Đường thẳng 훥1 có vtpt 푛1 = (4; −3), đường thẳng 훥2 có vtpt 푛2 = (3; 4). Ta có 푛1. 푛2 = 4.3 + −3 . 4 = 0 nên hai đường thẳng 훥1 và 훥2 vuông góc với nhau. Chọn B.
6. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 4 = 4 + 푡 Hai đường thẳng 훥 : 7 + 2 − 1 = 0 và 훥 : ቊ thỏa mãn 1 2 = 1 − 5푡 A. Song song nhau. B. Trùng nhau. C. Vuông góc nhau D. Cắt nhau nhưng không vuông góc Bài giải Đường thẳng 훥2 đi qua 2 4; 1 có VTCP 2 1; −5 nên 훥2 có 1 VTPT là 푛2 5; 1 . Phương trình 훥2 là 5 − 4 + 1 − 1 = 0 ⇔ 5 + − 21 = 0 Đường thẳng 훥1 có VTPT là 푛1 7; 2 . Ta có 푛1. 푛2 = 5.7 + 1.2 ≠ 0 ⇒ 훥1 và 훥2 không vuông góc. 7 2 Lại có ≠ ⇒ 훥 và 훥 cắt nhau. 5 1 1 2 Vậy hai đường thẳng cắt nhau nhưng không vuông góc. Chọn D.
7. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 5 = 4 + 2푡 Hai đường thẳng: 훥 : ቊ và 훥 : 3 + 2 − 14 = 0 thỏa mãn 1 = 1 − 3푡 2 A. Trùng nhau. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Song song. D. Vuông góc với nhau. Bài giải = 4 + 2푡 Cách 1: Thay ቊ vào phương trình của 훥 ta có = 1 − 3푡 2 3 4 + 2t + 2 1 − 3t − 14 = 0 ⇔ 0. 푡 = 0 (푙 ô푛 đú푛𝑔) Suy ra 2 đường thẳng này có vô số điểm chung. Do đó hai đường thẳng trùng nhau. Chọn A. Cách 2: Ta có 푛훥1 = 푛훥2 = (3; 2) và (4; 1) thuộc 훥1 cũng thuộc 훥2 nên hai đường thẳng này trùng nhau.
8. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 6 Cho (−2; 5), (2; 3). Đường thẳng : − 4 + 4 = 0 cắt đường thẳng tại điểm có toạ độ là A. 4; −2 . B. −4; 2 . C. 4; 2 . D. 2; 4 . Bài giải Đường thẳng AB có VTCP = 4; −2 ⇒ có VTPT 푛 = 2; 4 . ⇒ : 2 + 2 + 4 − 5 = 0 ⇔ 2 + 4 − 16 = 0. − 4 + 4 = 0 − 4 = −4 = 4 Tọa độ thỏa mãn hệ ቊ ⇔ ቊ ⇔ ቊ 2 + 4 − 16 = 0 2 + 4 = 16 = 2 ⇒ 4; 2 . Chọn C.
9. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 7 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆: 15 − 2 − 10 = 0 và trục tung. 2 A. ; 0 . B. 0; −5 . C. 0; 5 . D. −5; 0 3 Bài giải Gọi M = ∆ ∩ . M ∈ ⇒ 0; . Thay tọa độ M vào phương trình đường thẳng ∆ ta có: 15.0 − 2 − 10 = 0 ⇔ = −5 ⇒ 0; 5 . Chọn B.
10. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 8 = −푡 Cho hai điểm −2 ; 0 , 1 ; 4 và đường thẳng : ቊ = 2 − 푡. Tìm giao điểm của và . A. (2; 0) . B. (−2; 0). C. (0; 2). D. (0; −2). Bài giải +) Đường thẳng AB đi qua điểm −2 ; 0 và có VTCP = 3; 4 ⇒ có VTPT 푛 = (4; −3) ⇒ : 4 − 3 + 8 = 0. +) đi qua điểm 0; 2 và có VTCP = (−1; −1) ⇒ ó 푃 Ԧ = (1; −1). ⇒ : − + 2 = 0. +) Gọi M = ∩ . Tọa độ điểm M thỏa hệ phương trình 4 − 3 + 8 = 0 = −2 ቊ ⇔ ቊ ⇒ −2; 0 . − + 2 = 0 = 0 Chọn B.
11. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 9 Với giá trị nào của thì hai đường thẳng sau đây vuông góc? = 1 + ( 2 + 1)푡 = 2 − 3푡′ 훥 : ቊ và 훥 : ቊ 1 = 2 − 푡 2 = 1 − 4 푡′ A. = ± 3. B. = − 3. C. = 3. D. Không có . Bài giải 2 훥1 có VTCP 1 = + 1; − 훥2 có VTCP 2 = −3; −4 훥1 ⊥ 훥2 ⇔ 1. 2 = 0 ⇔ −3 2 + 1 + − −4 = 0 ⇔ 2 − 3 = 0 ⇔ = ± 3. Chọn A.
12. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 10 Hai đường thẳng 1: + = + 1 và 2: + = 2 song song khi và chỉ khi A. = 2. B. = ±1 C. = −1. D. = 1. Bài giải TH1: = . Ta có 1: = 1 và 2: = 2 ⇒ 1 và 2 không song song ⇒ = 0 không thỏa mãn. 1 +1 // ⇔ = ≠ TH2: ≠ , 1 2 1 2 1 = = 1 1 ቈ ⇔ ቐ +1 ⇔ ൞ = −1 ⇔ = −1. ≠ 1 2 ≠ 1 Chọn C.
13. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 11 Tìm để hai đường thẳng 훥1: 3 + 4 − 1 = 0 và 2 훥2: 2 − 1 + − 1 = 0 trùng nhau. Bài giải TH1: = ⇒ 훥2: − − 1 = 0 ⇒ = 0 không thỏa mãn. 3 4 −1 TH2: ≠ Hai đường thẳng trùng nhau ⇔ = = 2 − 1 2 −1 4 = 2 3 = 2 − 1 ⇔ ൞ = 2 ⇔ = 2 ⇔ ቊ 2 ቈ 4 = = −2 Vậy = 2 thì hai đường thẳng trùng nhau.
14. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG V VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 12 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng 1: + = + 1 và 2: + = 2 cắt nhau . Bài giải TH1: = ⇒ 1: − 1 = 0 và 2: − 2 = 0 ⇒ = 0 thỏa mãn. TH2: ≠ 1 Khi đó và ắ푡 푛ℎ ⇔ ≠ 1 2 1 ⇔ ≠ ±1. Vậy ≠ ±1 thỏa điều kiện bài toán.
15. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG n1 1 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng - Hai đường thẳng ∆1, ∆2 cắt nhau. Góc nhỏ nhất được tạo thành từ chúng được gọi là góc giữa hai đường thẳng, ký hiệu (∆1, ∆2). ∆1 α - Nếu ∆1// ∆2hoặc ∆1 ≡ ∆2 thì quy ước góc giữa chúng bằng 0o . ∆2 0 0 - Gọi 훼 là góc tạo bởi hai đường thẳng 훥1 và 훥2 (0 ≤ 훼 ≤ 90 ).
16. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG n1 2 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng n1 α Cho hai đường thẳng 훥 : + + = 0 có VTPT 푛 = ; n2 1 1 1 1 1 1 1 1 α 훥2: 2 + 2 + 2 = 0 có VTPT 푛2 = 2; 2 0 0 Gọi 훼 là góc tạo bởi hai đường thẳng 훥1 và 훥2 (0 ≤ 훼 ≤ 90 ) Khi đó: uuruur ur uur nn. 2 12 a1 a 2+ b 1 b 2 cosa = cos(nn12 , ) =ur uur = nn. a2++ b 2. a 2 b 2 12 1 1 2 2 ur uur + Nếu 훥 có VTCP và 훥 có VTCP thì 1 1 2 2 cosa = cos(uu12 ,) . + ∆1⊥ ∆2 ⟺ 1 2 + 2 1 = 0. + Nếu 1, 2 là hệ số góc của đường thẳng ∆1và ∆2: ∆1⊥ ∆2⟺ 1 2 = −1 .
17. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng 1: 3 + 4 − 1 = 0 và 2: 4 − 2 − 4 = 0. A. 300. B. 600. C. 900. D. 450. Bài giải 1: 3 + 4 − 1 = 0 có VTPT 푛1 3; 4 2: 4 − 2 − 4 = 0 có VTPT 푛2(4; −2) 푛1.푛2 3.4+4.(−2) 1 Ta có 표푠 1, 2 = 표푠 푛1, 푛2 = = 2 2 2 2 = 푛1 . 푛2 3 +4 . 4 +(−2) 2 0 ⇒ 1, 2 = 45 . Chọn D.
18. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VI GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 2 = 10 − 6푡 Tìm góc giữa 2 đường thẳng 훥 : 6 − 5 + 15 = 0 và 훥 : ቊ . 1 2 = 1 + 5푡 A. 90°. B. 60°. C. 0°. D. 45°. Bài giải Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 훥1 là 푛1 = (6; −5). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 훥2 là 푛2 = (5; 6). Ta có 푛1. 푛2= 6.5+(-5).6=0 ⇒ 푛1 ⊥ 푛2 Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau. Chọn A.
19. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Cho hai đường thẳng: ∆1: 1 + 1 + 1 = 0 và ∆2: 2 + 2 + 2 = 0 + + = 0 Xét hệ phương trình: ቊ 1 1 1 (*) 2 + 2 + 2 = 0 i) (*) vô nghiệm ⟺ ∆1//∆2 ii) (*) có 1 nghiệm ⟺ ∆1 cắt ∆2 tại 0( 0; 0) iii) (*) có vô số nghiệm ⟺ ∆1≡ ∆2 Nhận xét: Cho hai đường thẳng: ∆1: 1 + 1 + 1 = 0 và ∆2: 2 + 2 + 2 = 0; với 2 2 2 ≠ 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: + ≠ ⟺ ∆1 cắt ∆2 + = = ⟺ ∆1 ≡ ∆2 + = ≠ ⟺ ∆1// ∆2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. Nếu 훥1 có VTPT 푛1 và 훥2 có VTPT 푛2 hoặc 훥1 có VTCP 1 và 훥2 có VTCP 2 thì góc 훼 tạo bởi 훥1 và 훥2 được xác định bởi ur uur ur uur cosa == cos(n1 , n 2) cos( u 1 , u 2 )
20. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG II BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Đường thẳng Δ: 3 − 2 − 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây? A. 1: 3 + 2 = 0. B. 2: 3 − 2 = 0. C. 3: −3 + 2 − 7 = 0. D. 4: 6 − 4 − 14 = 0. Câu 2: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với : = 2 − 1? A. 2 − + 5 = 0 B. 2 − − 5 = 0. C. −2 + = 0. D.2 + − 5 = 0. Câu 3: Với giá trị nào của m thì 3 đường thẳng 1: 3 – 4 + 15 = 0 , 2: 5 + 2 – 1 = 0, 3: – 4 + 15 = 0 đồng qui? A. = − 5 . B. = 5. C. = 3. D. = – 3 = −1 + 푡 Câu 4: Xác định để hai đường thẳng : + 3 – 4 = 0 và : ቊ cắt nhau tại một 1 2 = 3 + 3푡 điểm nằm trên trục hoành. A. = 1. B. =– 1. C. = 2. D. =– 2. drd = 8 − + 1 푡 Câu 5: Tìm để : ቊ và : + 2 − 14 = 0 song song nhau. 1 = 10 + 푡 2 A. = 1 và = −2. B. = 1. C. = −2. D.Không có thỏa mãn.
21. LỚP HÌNH HỌC BÀI 1 10 Chương III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG II BÀI TẬP TỰ LUYỆN = 2 − 3푡 Câu 6: Tìm để hai đường thẳng : 2 − 3 − 10 = 0 và : ቊ vuông góc nhau? 1 2 = 1 − 4 푡 1 9 9 A. = . B. = . C. = − . D. Không có thỏa mãn . 2 8 8 Câu 7: Với giá trị nào của hai đường thẳng sau đây song song ? = 8 + ( + 1)푡 훥 : ቊ và 훥 : + 6 − 76 = 0. 1 = 10 − 푡 2 A. = −3. B. = 2 hoặc = −3 C. = 2 D. Không có thỏa mãn Câu 8: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 훥1: 2 + 2 3 + 5 = 0 và 훥2: − 6 = 0. A.60° . B. 125° . C. 145°. D. 30°. Câu 9: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 훥1: + 2 − 7 = 0 và 훥2: 2 − 4 + 9 = 0. 3 2 1 3 A. . B . . C. . D. . 5 5 5 5 BẢNG ĐÁP ÁN: 1A 2D 3C 4D 5A 6C 7A 8D 9A