Bài tập thực hành môn Toán Học Lớp 10 - Ôn tập chương IV - Trường Trung học phổ thông Mạc Đĩnh Chi

Nội dung text: Bài tập thực hành môn Toán Học Lớp 10 - Ôn tập chương IV - Trường Trung học phổ thông Mạc Đĩnh Chi

1. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán ÔN TẬP CHƯƠNG IV_BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH §2. ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa bất phương trình một ẩn + Mệnh đề dạng f x g x hoặc f x g x , f x g x , f x g x . + Số thực x0 là nghiệm của bất phương trình f x g x nến f x0 g x0 . + Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. 2. Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình. Định lý 1: Cho bất phương trình f (x ) < g(x ) có tập xác định D ; y = h(x ) là hàm số xác định trên D . Khi đó trên D , Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau 1) f (x ) + h(x ) < g(x ) + h(x ). 2) f (x ).h(x ) 0 với mọi x Î D . 3) f (x ).h(x ) > g(x ).h(x ) nếu h(x ) < 0 với mọi x Î D . Hệ quả: Cho bất phương trình f (x ) < g(x ) có tập xác định D . Khi đó 1) f x g x f 3 x g 3 x . 2) f x g x f 2 x g 2 x với f x 0, g x 0 , x D . Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý • Đặt điều kiện xác định (đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định. • Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần lưyu ý tới điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH. 1. Phương pháp giải. - Điều kiện xác định của bất phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f (x ), g(x ) cùng được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài) - Điều kiện để biểu thức Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 1
2. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán • f (x ) xác định là f (x ) ³ 0 1 • xác định là f (x ) ¹ 0 f (x ) 1 • xác định là f (x ) > 0 f (x ) 2. Các ví dụ điển hình. 5 x + 1 Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: a) x + < 1; b) 4 - 2x ³ 4x 2 - 9 x 2 - 2x - 1 9 3 Lời giải: a) Điều kiện xác định của bất phương trình là 4x 2 - 9 ¹ 0 Û x 2 ¹ Û x ¹ ± 4 2 ì ì ì ï 4 - 2x ³ 0 ï x £ 2 ï x £ 2 b) Điều kiện xác định của bất phương trình là: íï Û í Û í ï x 2 - 2x - 1 ¹ 0 ï x ¹ 1 ± 2 ï x ¹ 1- 2 îï îï îï 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình sau: 1 x 1 a) x - 3 x 2 - 6x + 9 x + 2 Bài 2: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó: a) 2x + 2x - 1 ³ 2 1- 2x + 1; b) - x 2 + x - 1 £ 2; 2 c) x + 1- x - 7 . ➢ DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG. 1. Phương pháp giải. Để giải bất phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về bất phương trình tương đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó. Một số phép biến đổi thường sử dụng + Cộng (trừ) cả hai vế của bất phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương bất phương trình đã cho. + Nhân (chia) vào hai vế của bất phương trình với một biểu thức luôn dương(hoặc luôn âm) và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được bất phương trình cùng chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình đã cho. + Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế luôn dương) ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. + Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương với bất phương trình đã cho. Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 2
3. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 3x 1 0 (*) : 1 1 x x a) 3x 1 b) 3x 1 x 3 x 3 3x 1 3x 1 1 Lời giải: Ta có 3x 1 0 x 3 1 1 a) 3x 1 (1) không tương đương 3x 1 0 vì x 3 là nghiệm của bất phương trình (*) x 3 x 3 nhưng không là nghiệm của bất phương trình (1). x x 1 b) 3x 1 3x 1 0 x 3x 1 3x 1 3 x x Do đó 3x 1 tương đương 3x 1 0 . 3x 1 3x 1 3. Các bài tập tự luyên 1 1 x 3 1. Giải các bất phương trình: a. x 2 3 ; b. 0 x 1 x 1 x 2 1 Bài 2: Giải các bất phương trình: x2 2x 3 x 1; b. x2 1 x2 3x 6; 4 x 2 §3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. a) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó. • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , b) Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 3
4. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax by c 0 Bước 2. Xét một điểm M x0 ; y0 không nằm trên (d). • Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 . • Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0. 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: • Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. • Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN. Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: x 2y 2x y 1 a) 2x y 0 b) 2 3 y 2 Lời giải a) Trong mặt phẳng tọa độ, vẽ đường thẳng d : 2x y 0 . Ta có d chia O 1 x mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;0 . Ta thấy (1; 0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng chứa bờ (d) và chứa (d) điểm M 1;0 (Miền không được tô màu trên hình vẽ). Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 4
5. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán x 2y 2x y 1 b) Ta có 3 x 2y 2 2x y 1 0 y 2 3 x 4y 2 0 x 4y 2 0 Trong mặt phẳng tọa độ , vẽ đường thẳng : x 4y 2 0 -2 O 1 x Δ Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ (không kể đường thẳng -2 ) và không chứa điểm O 0;0 (Miền không được tô màu trên hình vẽ). Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: x y 0 x y 2 0 a) b) 2x 3y 6 0 x 3y 3 0 x 2y 1 0 y Lời giải (d') 2 a) Vẽ các đường thẳng d : x y 2 0 , d ' : x 3y 3 0 trên 1 mặt phẳng tọa độ Oxy O Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất -3 -2 1 2 x phương trình x y 2 0 và x 3y 3 0 do đó miền nghiệm (d) cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả hai đường thẳng d và d ' . b) Vẽ các đường thẳng d : x y 0, d ' : 2x 3y 6 0 và y d " : x 2y 1 0 trên mặt phẳng tọa độ Oxy (d') (d) Xét điểm O 0;0 , thấy 0;0 là nghiệm của bất phương trình 2x 3y 6 0 và x 2y 1 0 . Do đó O 0;0 thuộc miền 2 1 nghiệm của bất phương trình 2x 3y 6 0 và x 2y 1 0 . -3 -2 -1 O 1 2 3 x Xét điểm M 1;0 ta thấy 1;0 là nghiệm của bất phương trình (d") x y 0 do đó điểm M 1;0 thuộc miền nghiệm bất phương trình x y 0 . Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trên hình vẽ kể cả đường thẳng d " Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 5
6. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Ví dụ 3: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và 15giờ, đem lại mức lời 30000 đồng. Xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất? Lời giải: Phân tích bài toán: Gọi x ( x 0 ) là số kg loại I cần sản xuất, y ( y 0 ) là số kg loại II cần sản xuất. Suy ra số nguyên liệu cần dùng là 2x 4y , thời gian là 30x 15y có mức lời là 40000x 30000y Theo giả thiết bài toán xưởng có 200kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc suy ra 2x 4y 200 hay x 2y 100 0 , 30x + 15y £ 1200 hay 2x y 80 0 . ïì x + 2y - 100 £ 0 ï ï 2x + y - 80 £ 0 Bài toán trở thành: Tìm x, y thoả mãn hệ íï (*) sao cho L x; y 40000x 30000y ï x ³ 0 ï ï y ³ 0 îï đạt giá trị lớn nhất. y Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng d : x 2y 100 0, d ' : 2x y 80 0 80 50 Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt 40 phẳng(tứ giác) không tô màu trên hình vẽ x O 20 40 100 Giá trị lớn nhất của L x; y 40000x 30000y đạt tại một trong các điểm 0;0 , 40;0 , 0;50 , 20;40 . Ta có L 0;0 0, L 40;0 1600000, L 0;50 1500000, L 20;40 2000000 suy ra giá trị lớn nhất của L x; y là 2000000 khi x; y 20;40 . Vậy cần sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn nhất. Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 6
7. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 3. Bài tập luyện tập. x y Bài 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: a) x 3y 0 ; b) x y 1 2 Bài 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau: x y 2 0 x y 2 0 a) b) 2x 3y 6 0 x y 3 0 x 2y 3 0 Bài 3: Một công ty cần thuê xe vận chuyển 140 người và 9 tấn hàng hóa. Nơi cho thuê xe chỉ có 10 xe hiệu MITSUBISHI và 9 xe hiệu FORD. Một chiếc xe hiệu MITSUBISHI có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng. Một chiếc xe hiệu FORD có thể chở 10 người và 1,5 tấn hàng. Tiền thuê một xe hiệu MITSUBISHI là 4 triệu đồng, một xe hiệu FORD là 3 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thấp nhất? §4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất (đối với x ) là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước với a ¹ 0. b x = - được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất f (x ) = ax + b . 0 a b) Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí: Nhị thức bậc nhất f (x ) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Một số ứng dụng a) Giải bất phương trình tích • Dạng P(x) > 0 (1) (trong đó P (x ) là tích các nhị thức bậc nhất.) • Cách giải: Lập bảng xét dấu củaP (x ) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P(x) • Dạng > 0 (2) (trong đó P (x ), Q (x ) là tích những nhị thức bậc nhất.) Q(x) P(x) • Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q(x) Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 7
8. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu. 2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) • Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. éA < - B Chú ý: Với B > 0 ta có A B Û ê . êA > B ëê B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) - 2x + 3 b) 4x - 12 c) x 2 - 4 d) - 2x 2 + 5x - 2 Lời giải 3 a) Ta có - 2x + 3 = 0 Û x = , a 2 0 . 2 Bảng xét dấu x 3 2 2x 3 + 0 b) Ta có 4x - 12 = 0 Û x = 3, a 4 0 . Bảng xét dấu x 4 4x 12 0 + c) Ta có x 2 - 4 = (x - 2)(x + 2), x - 2 = 0 Û x = 2, x + 2 = 0 Û x = - 2 Bảng xét dấu x 2 2 x 2 0 + | + x 2 | 0 + x2 4 + 0 0 + éx = 2 2 ê d) Ta có- 2x + 5x - 2 = 0 Û ê 1 êx = ëê 2 æ 1ö Suy ra - 2x 2 + 5x - 2 = - 2(x - 2)çx - ÷= (x - 2)(1- 2x ) èç 2ø÷ Bảng xét dấu x 1 2 2 1 2x + 0 | x 2 | 0 + - 2x 2 + 5x - 2 0 + 0 Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 8
9. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau - 2x + 3 4x - 12 4x 2 a) b) c) x 4 - x 2 (x + 2) d) 1- 2 ( ) 2 x - 2 x - 4x (x + 1) Lời giải a) Bảng xét dấu x 3 2 2 2x 3 + 0 | x 2 | 0 + - 2x + 3 x - 2 0 + || 4x - 12 4x - 12 b) Ta có = x 2 - 4x x (x - 4) Bảng xét dấu x 0 3 4 4x 12 | 0 + | + x 0 + | + | + x 4 | | 0 + 4x - 12 x 2 - 4x || + 0 || + 2 c) Ta có x (4 - x 2 )(x + 2) = x (2 - x )(x + 2) Bảng xét dấu x 2 0 2 x | 0 + | + 2 x + | + | + 0 x 2 0 + | + | + x (4 - x 2 )(x + 2) 0 0 + 0 2 4x 2 (x + 1) - 4x 2 (3x + 1)(1- x ) d) Ta có 1- = = 2 2 2 (x + 1) (x + 1) (x + 1) Bảng xét dấu x 1 1 1 3 3x 1 | 0 + | + 1 x + | + | + 0 x 1 0 + | + | + 4x 2 1- 2 || 0 + 0 (x + 1) Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 9
10. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán - 2x + m Ví dụ 3: Tùy vào m xét dấu các biểu thức sau . x - 2 Lời giải m a) Ta có x 2 0 x 2, 2x m 0 x 2 m TH1: 2 m 4: 2 Bảng xét dấu x m 2 2 2x m + | + 0 x 2 0 + | + - 2x + m || + 0 x - 2 - 2x + m æ m ö - 2x + m æm ö Suy ra > 0 Û x Î ç2; ÷ và < 0 Û x Î (- ¥ ;2) È ç ;+ ¥ ÷ x - 2 èç 2 ø÷ x - 2 èç 2 ø÷ m - 2x + m - 2x + 2 TH2: 2 m 4: Ta có = = - 2 2 x - 2 x - 2 - 2x + m Suy ra < 0 Û x Î ¡ \ {2} x - 2 m TH3: 2 m 4 : 2 Bảng xét dấu x m 2 2 2x m + 0 | x 2 | 0 + - 2x + m || + 0 x - 2 - 2x + m æm ö - 2x + m æ m ö Suy ra > 0 Û x Î ç ;2÷ và < 0 Û x Î ç- ¥ ; ÷È (2;+ ¥ ) x - 2 èç 2 ø÷ x - 2 èç 2 ø÷ 2. Bài tập luyện tập. Bài 1: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau a) - 4x + 8 b) 3x + 9 c) x 2 + 4x + 3 d) - 3x 2 + 10x - 3 Bài 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức sau - 2x + 4 4x - 8 a) b) x - 3 x 2 - 3x x 2 c) x 9 - x 2 (x + 3) d) - 1 ( ) 2 (x + 1) Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 10
11. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán ➢ DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau a) (x - 1)(2 - 3x ) ³ 0 b) (x - 2)(x 2 - 5x + 4) < 0 c) (2x - 1)(x 3 - 1) £ 0 d) x ( 3x - 3)(3 - x 2 ) £ 0 Lời giải éx = 1 ê a) Ta có (x - 1)(2 - 3x ) = 0 Û ê 2 êx = ëê 3 Bảng xét dấu x 2 1 3 x 1 | 0 + 2 3x + 0 | (x - 1)(2 - 3x ) 0 + 0 2 Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S ;1 . 3 b) Ta có (x - 2)(x 2 - 5x + 4) = (x - 2)(x - 1)(x - 4) Bảng xét dấu x 1 2 4 x 1 0 + | + | + x 2 | 0 + | + x 3 | | 0 + (x - 2)(x 2 - 5x + 4) 0 + 0 0 + Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S ;1  2;4 . c) Ta có (2x - 1)(x 3 - 1) £ 0 Û (2x - 1)(x - 1)(x 2 + x + 1) £ 0 2 æ 1ö 3 Û (2x - 1)(x - 1) £ 0(vì x 2 + x + 1 = çx + ÷ + > 0) èç 2ø÷ 4 Bảng xét dấu x 1 1 2 x 1 | 0 + 2x 1 0 + | + (x - 1)(2 - 3x ) + 0 0 + 1 Suy ra bất phương trình có tập nghiệm là S ;1 . 2 Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 11
12. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán d) Ta có x ( 3x - 3)(3 - x 2 ) £ 0 Û x 3(x - 3)( 3 - x )( 3 + x ) £ 0 é 2 ê x = 3 Û - 3x (x - 3) (x + 3) £ 0 Û ê x x + 3 ³ 0 ëê ( ) Bảng xét dấu x 3 0 x | 0 + x 3 0 + | + (x - 1)(2 - 3x ) + 0 0 + Suy ra x (x + 3) ³ 0 Û x Î (- ¥ ;- 3] È [0;+ ¥ ) Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ¥ ;- 3] È [0;+ ¥ ) Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau - 2x + 4 (x - 3)(x + 2) 1 1 a) £ 0 b) < 1 c) £ 2 2 (2x - 1)(3x + 1) x - 1 (x - 2) x + 4 Lời giải a) Bảng xét dấu x 1 1 2 3 2 3x 1 0 + | + | + 2x 1 | 0 + | + 2x 4 + | + | + 0 - 2x + 4 (2x - 1)(3x + 1) + || || + 0 1 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ; ) È [2;+ ¥ ) 3 2 (x - 3)(x + 2) (x - 3)(x + 2) x + 5 b) Ta có 0 Û > 0 x 2 - 1 x 2 - 1 (x - 1)(x + 1) Bảng xét dấu x 5 1 1 x 5 0 + | + | + x 1 | 0 + | + x 1 | | 0 + x + 5 (x - 1)(x + 1) 0 + || || + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 5;- 1) È (1;+ ¥ ) x 2 c) ĐKXĐ: x 4 Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 12
13. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 1 1 1 1 Ta có £ Û - ³ 0 2 2 (x - 2) x + 4 x + 4 (x - 2) x2 4x x x 4 x x 4 0 0 0 x 4 x 2 2 x 4 x 2 2 x 4 Bảng xét dấu x 4 0 4 x 4 0 + | + | + x | 0 + | + x 4 | | 0 + x x 4 x 4 || + 0 0 + Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 4;0] È [4;+ ¥ ) Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) 2x + 1 3 c) x 1 x 2 3 Lời giải 1 a) Với x ta có bất phương trình tương đương với 2x + 1 1 2 1 Kết hợp với điều kiện x suy ra bất phương trình có tập nghiệm là 1; 2 1 1 Với x ta có bất phương trình tương đương với - 2x - 1 - 2 5 1 Kết hợp với điều kiện x suy ra bất phương trình vô nghiệm 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 1; . é 2x - 1 - 4 > 3 é2x - 1 > 7 b) Ta có 2x - 1 - 4 > 3 Û ê Û ê ê2x - 1 - 4 < - 3 ê2x - 1 < 1 ëê ëê 2x 1 7 x 4 2x 1 7 x 3 1 2x 1 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- ¥ ;- 3) È (0;1) È (4;+ ¥ ). c) Bảng xét dấu x 1 2 x 1 0 + | + x 2 | 0 + Từ bảng xét dấu đó ta chia ra các trường hợp sau Với x 1 ta có bất phương trình tương đương với x 1 x 2 3 3 3 (vô nghiệm) Với 1 x 2 ta có bất phương trình tương đương với Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 13
14. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán x 1 x 2 3 x 2 Kết hợp với điều kiện 1 x 2 suy ra bất phương trình vô nghiệm Với x 2 ta có bất phương trình tương đương với x 1 x 2 3 3 3 Kết hợp với điều kiện x 2 suy ra bất phương trình có nghiệm là x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [2;+ ¥ ) . 3. Bài tập luyện tập Bài 1: Giải các bất phương trình sau: a) 3x2 10x 3 0 b) 2 x x2 2 2x 4 0 1 1 1 2 3 c) d) x 9 x 2 1 2x x 1 2x - 1 - x 2 x 2 e) > 1 f) 0 2x x2 1 x 4 2 x2 2x 3 g) 2 0 h) 0 4 9x 3 3x 1 3 4 5x Bài 2: Giải các bất phương trình sau: x a) x - 2 < b) 4x 2x 1 3 2 c) 3x - 2 - 1 > 4 c) 2x 3 3x 4 5 §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a,b,c là nhứng số cho trước với a ¹ 0. Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c ; D = b2 - 4ac và D ' = b'2- ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c . 2. Dấu của tam thức bậc hai Định li (SGK) Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 14
15. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán ïì a > 0 • ax 2 + bx + c > 0, " x Î R Û íï ï D < 0 îï ïì a > 0 • ax 2 + bx + c ³ 0, " x Î R Û íï ï D £ 0 îï ïì a < 0 • ax 2 + bx + c < 0, " x Î R Û íï ï D < 0 îï ïì a < 0 • ax 2 + bx + c £ 0, " x Î R Û íï ï D £ 0 îï B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau • Phân tích đa thức P (x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) • Lập bảng xét dấu củaP (x ) . Từ đó suy ra dấu của nó . P(x) * Đối với phân thức (trong đó P (x ), Q (x ) là các đa thức) ta làm như sau Q(x) • Phân tích đa thức P (x ), Q (x ) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) P(x) • Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra dấu của nó. Q(x) 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau a) 3x 2 - 2x + 1 b) - x 2 + 4x + 5 c) - 4x 2 + 12x - 9 d) 3x 2 - 2x - 8 e) 25x 2 + 10x + 1 f) - 2x 2 + 6x - 5 Lời giải a) Ta có D ' = - 2 0 suy ra 3x 2 - 2x + 1 > 0, " x Î ¡ éx = - 1 b) Ta có - x 2 + 4x + 5 = 0 Û ê êx = 5 ëê Bảng xét dấu x - ¥ - 1 5 + ¥ - x 2 + 4x + 5 - 0 + | - Suy ra - x 2 + 4x + 5 > 0 Û x Î (- 1;5) và - x 2 + 4x + 5 < 0 Û x Î (- ¥ ;- 1) È (5;+ ¥ ) ïì 3ïü c) Ta có D ' = 0, a < 0 suy ra - 4x 2 + 12x - 9 < 0 " x Î ¡ \ íï ýï îï 2þï Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 15
16. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán é x = 2 2 ê d) Ta có 3x - 2x - 8 = 0 Û ê 4 êx = - ëê 3 Bảng xét dấu x 4 - ¥ - 2 3 + ¥ 3x 2 - 2x - 8 + 0 - | + æ 4ö æ 4 ö Suy ra 3x 2 - 2x - 8 > 0 Û x Î ç- ¥ ;- ÷È (2;+ ¥ ) và 3x 2 - 2x - 8 < 0 Û x Î ç- ;2÷ èç 3ø÷ èç 3 ø÷ ïì 1ïü e) Ta có D ' = 0, a > 0 suy ra 25x 2 + 10x + 1 > 0 " x Î ¡ \ íï - ýï îï 5þï f) Ta có D ' = - 1 < 0, a < 0 suy ra - 2x 2 + 6x - 5 < 0 " x Î ¡ Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c . Xét nghiệm của tam thức, nếu: * Vô nghiệm khi đó tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x b * Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x ¹ - 2a * Có hai nghiệm f (x ) cùng dấu với a khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;x1 ) È (x2;+ ¥ ) (ngoài hai nghiệm) và f (x ) trái dấu với a khi và chỉ khi x Î (x1;x2 ) (trong hai nghiệm)(ta có thể nhớ câu là trong trái ngoài cùng). Ví dụ 2: Xét dấu của các biểu thức sau x 2 - x - 2 x 2 - x + 6 a) (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1); b) ; c) x 3 - 5x + 2; d) x - - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 1 1 Lời giải: a) Ta có - x 2 + x - 1 = 0 vô nghiệm, 6x 2 - 5x + 1 = 0 Û x = hoặc x = 2 3 Bảng xét dấu x 1 2 - ¥ + ¥ 3 3 - x 2 + x - 1 - 0 - | - 6x 2 - 5x + 1 + | - 0 + (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) - 0 + 0 - æ1 1ö Suy ra (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x Î ç ; ÷ èç3 2ø÷ æ 1ö æ1 ö (- x 2 + x - 1)(6x 2 - 5x + 1) âm khi và chỉ khi x Î ç- ¥ ; ÷È ç ;+ ¥ ÷ èç 3ø÷ èç2 ø÷ Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 16
17. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán éx = - 1 éx = - 1 b) Ta có x 2 - x - 2 = 0 Û ê , - x 2 + 3x + 4 = 0 Û ê êx = 2 êx = 4 ëê ëê Bảng xét dấu x - ¥ - 1 2 4 + ¥ x 2 - x - 2 + 0 - 0 + | + - x 2 + 3x + 4 - 0 + | + 0 - x 2 - x - 2 - x 2 + 3x + 4 - || - 0 + || - x 2 - x - 2 x 2 - x - 2 Suy ra dương khi và chỉ khi x Î (2;4), âm khi và chỉ khi - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 x Î (- ¥ ;- 1) È (- 1;2) È (4;+ ¥ ). c) Ta có x 3 - 5x + 2 = (x - 2)(x 2 + 2x - 1) Ta có x 2 + 2x - 1 = 0 Û x = - 1 ± 2 Bảng xét dấu x - ¥ - 1- 2 - 1 + 2 2 + ¥ x - 2 - 0 - 0 - | + x 2 + 2x - 1 + 0 - | + 0 + x 3 - 5x + 2 - 0 + 0 - 0 + Suy ra x 3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1 + 2) È (2;+ ¥ ), x 3 - 5x + 2 âm khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 1- 2) È (- 1 + 2;2). x 2 - x + 6 - x 3 + 2x 2 + 5x - 6 (x - 1)(- x 2 + x + 6) d) Ta có x - = = - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 éx = - 2 éx = - 1 Ta có - x 2 + x + 6 = 0 Û ê , - x 2 + 3x + 4 = 0 Û ê êx = 3 êx = 4 ëê ëê Bảng xét dấu x - ¥ - 2 - 1 1 3 4 + ¥ x - 1 - | - | - 0 + | + | + - x 2 + x + 6 - 0 + | + | + 0 - | - - x 2 + 3x + 4 - | - 0 + | + | + 0 - x 2 - x + 6 x - - x 2 + 3x + 4 - 0 + || - 0 + 0 - || + x 2 - x + 6 x 2 - x + 6 Suy ra x - dương khi và chỉ khi x Î (- 2;- 1) È (1;3) È (4;+ ¥ ), x - âm - x 2 + 3x + 4 - x 2 + 3x + 4 Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 17
18. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 2) È (- 1;1) È (3;4). Ví dụ 3: Giải các bất phương trình sau: a) - 3x 2 + 2x + 1 < 0 b) x 2 + x - 12 < 0 c) 5x 2 - 6 5x + 9 > 0 d) - 36x 2 + 12x - 1 ³ 0 Lời giải 1 a) Tam thức f (x) = - 3x 2 + 2x + 1 có a = - 3 < 0 và có hai nghiệm x = - ; x = 1 1 3 2 ( f (x) cùng dấu với hệ số a ). 1 Suy ra - 3x 2 + 2x + 1 1 3 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (- ¥ ;- ) È (1;+ ¥ ) . 3 2 b) Tam thức f (x ) = x + x - 12 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm x1 = - 4; x2 = 3 ( f (x) trái dấu với hệ số a ). Suy ra x 2 + x - 12 < 0 Û - 4 < x < 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (- 4;3) c) Tam thức f (x ) = 5x 2 - 6 5x + 9 có a = 5 > 0 và D = 0 ( f (x) cùng dấu với hệ số a ). 3 5 Suy ra 5x 2 - 6 5x + 9 > 0 Û x ¹ 5 ïì 3 5ïü Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ¡ \ íï ýï ï ï îï 5 þï d) Tam thức f (x ) = - 36x 2 + 12x - 1 có a = - 36 < 0 và D = 0 1 æ1ö f (x) trái dấu với hệ số a nên f (x ) âm với " x ¹ và f ç ÷= 0 6 èç6ø÷ 1 Suy ra - 36x 2 + 12x - 1 ³ 0 Û x = 6 ïì 1ïü Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = íï ýï îï 6þï Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 18
19. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Xét dấu các tam thức sau 1 a) f (x) = - 2x 2 + 3x - 1 b) g(x) = x 2 - x + 1 c) h(x) = - 2x 2 + x - 1. 4 Bài 2: Xét dấu các biểu thức sau 8 a) f (x) = (x 2 - 5x + 4)(2 - 5x + 2x 2) b) f (x) = x 2 - 3x - 2 - . x 2 - 3x Bài 3: Xét dấu các biểu thức sau 1 1 1 3x + 7 a) - - ; b) x 4 - 4x + 1; c) + 5; d) x 3 - 3x + 2. x + 9 x 2 x 2 - x - 2 Bài 4: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của biểu thức g(x) = (m - 1)x 2 + 2(m - 1) + m - 3 ➢ DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU. 1. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình mx 2 - (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm b) Phương trình (m2 + 5)x 2 - ( 3m - 2)x + 1 = 0 luôn vô nghiệm 1 Lời giải: a) Với m = 0 phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = suy ra phương trình có nghiệm 2 2 Với m ¹ 0, ta có D = (3m + 2) - 4m = 9m2 + 8m + 4 2 2 Vì tam thức 9m + 8m + 4 có am = 9 > 0, D 'm = - 20 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . 2 b) Ta có D = ( 3m - 2) - 4(m2 + 5) = - m2 - 4 3m - 16 2 2 Vì tam thức - m - 4 3m - 8 có am = - 1 < 0, D 'm = - 4 < 0 nên - m - 4 3m - 8 < 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn vô nghiệm với mọi m . 3. Bài tập luyện tập. Bài 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình x 2 - 2(m + 2)x - (m + 3) = 0 luôn có nghiệm b) Phương trình (m2 + 1)x 2 + ( 3m - 2)x + 2 = 0 luôn vô nghiệm Bài 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm a) f (x ) = - x 2 - 2x - m b) g(x ) = 4mx 2 - 4(m - 1)x + m - 3 Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 19
20. Trường THPT Mạc Đĩnh Chi Tổ Toán BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Bất phương trình nào tương đương với bất phương trình 2x 1 ? 1 1 A. 2x x 2 1 x 2 B. 2x 1 x 3 x 3 C. 4x2 1 D. 2x x 2 1 x 2 Câu 2: Tập nghiệm của bất phương trình x(x – 6) + 5 – 2x > 10 + x(x – 8) là A. (– ; 5) B.  C. (5;+ ) D. ¡ 1 Câu 3: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là : x 1 A. 1;2 B. ;1  2; C. ;1 D. 1; x 1 Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là x 3 A. ¡ B.  C. ;5 D. 3; Câu 5: Nhị thức f(x) = 2x – 3 dương khi và chỉ khi x thuộc 3 3 3 3 A. ; B. ; C. ; D. ; 2 2 2 2 x 1 Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình 5x 4 2x 7 là 5 A.  B. R C. ; 1 D. 1; x 1 Câu 7: Nghiệm của bất phương trình 0 là x2 4x 3 A. (–3;–1)  [1;+ ) B. (– ;1) C. (– ;–3)  (–1;1) D. (–3;1) Đại số 10_Ôn tập chương IV_Bất phương trình 20