Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Phan Ngọc Hiển (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN NĂM CĂN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: Toán 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 18 – 03 – 2018 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 1 trang) Bài 1 (5 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a). x2 7x 10 b). ab(a b) bc(b c) ca(c a) 2abc 9 1 x 3 x Bài 2 (5 điểm): Cho biểu thức P 3 : 2 x 9x x 3 x 3x 3x 9 a). Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức P xác định. b). Rút gọn biểu thức P. c). Tìm giá trị x nguyên để giá trị của biểu thức P là số nguyên. Bài 3 (8 điểm): Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Kẻ Bx vuông góc AB, Cy vuông góc AC, Bx cắt Cy tại F. Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của đoạn thảng AC và BC. Trên tia đối tia OC lấy điểm K sao cho OK = OC. a). Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành. b). Chứng minh KA vuông góc AC. c). Chứng minh tứ giác ACFK là hình chữ nhật. d). Tam giác ABC thỏa điều kiện gì để ba điểm A, H, F thẳng hàng? Bài 4 (2 điểm): Cho ba số a, b, c khác 0 và a b c 0 . a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức Q a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 HẾT
2. PHÒNG GD&ĐT NĂM CĂN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN TRƯỜNG THCS PHAN NGỌC HIỂN KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC: 2017 – 2018 Câu Nội dung Điểm 1.a x2 7x 10 x2 2x 5x 10 x x 2 5 x 2 x 2 x 5 2 1.b ab(a b) abc bc(b c) abc ca(c a) 3 ab a b c bc a b c ca c a b a b c a c ca c a 2 c a ba b bc ca c a b a b c a b a b b c c a 2.a 9 1 x 3 x 1 P : x x 3 x 3 x 3 x x 3 3 x 3 Điều kiện P xác định là x 0, x 3 0, x 3 0 x 0, x 3, x 3 2.b 9 1 x 3 x 2 P : x x 3 x 3 x 3 x x 3 3 x 3 9 x x 3 3 x 3 x2 : x x 3 x 3 3x x 3 x2 3x 9 3x x 3 3  x x 3 x 3 x2 3x 9 3 x 2.c P là số nguyên khi 3 – x là ước của 3. Ö (3) 3, 1,1,3 2  3 x 3 x 6  3 x 1 x 4  3 x 1 x 2  3 x 3 x 0 Kết hợp điều kiện vậy x 2, x 4, x 6 3 A E H I K O B C D J F
3. Câu Nội dung Điểm 3.a Ta có hai đường cao AD, BE cắt nhau tại H, suy ra H là trực tâm 2 CH  AB maø BF  AB (gt) CH / /BF Mặt khác BE  AC (BE laø ñöôøng cao), CF  AC (gt) BE / /CF hay BH / /CF Vậy tứ giác BHCF là hình bình hành. 3.b Kẻ đường trung trực OI và OJ của đoạn thẳng AC và BC 2 => AI = IC, mà OK = OC (gt) Suy ra OI là đường trung bình của tam giác ACK => OI // KA Mặt khác OI ⊥ AC (OI là đường trung trực của AC) Vậy KA ⊥ AC 3.c Chứng minh tương tự câu 3b ta có KB ⊥ BC 2 Ta có KA ⊥ AC, mà BE ⊥ AC => KA // BE hay KA // BH (1) Mặt khác KB ⊥ BC (chứng minh trên), mà AD ⊥ BC (AD là đường cao) => KB // AD hay KB // AH (2) Từ (1) và (2) suy ra AKBH là hình bình hành => KA // BH, KA = BH (3) Do BHCF là hình bình hành (câu a) => BH // CF, BH = CF (4) Từ (3) và (4) suy ra ACFK là hình bình hành Mà A· CF 900 (CF ⊥ AC) Vậy ACFK là hình chữ nhật 3.d Ta có BHCF là hình bình hành (câu a), J là trung điểm BC 2 Suy ra H, J, F thẳng hàng Do đó A, H, F thẳng hàng khi A, H, J, F thẳng hàng Mà AD ⊥ BC Suy ra A, H, J, F thẳng hàng khi AD vuông góc với BC tại J => AD là đường trung trực của BC => tam giác ABC cân tại A Vậy A, H, F thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A. 2 4 Ta có a b c 0 a b c a b c2 c2 a2 b2 2ab 2 Tương tự a2 b2 c2 2bc, b2 c2 a2 2ca a2 b2 c2 a3 b3 c3 Q 2bc 2ca 2ab 2abc Mặt khác với a b c 0 a3 b3 c3 3abc a3 3a2b 3ab2 b3 c3 3abc 3a2b 3ab2 a b 3 c3 3ab(a b c) a b c a b 2 a b c c2 3ab a b c a b c a2 b2 c2 ab bc ca 0 a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3abc 3 Q 2abc 2abc 2 Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn ghi điểm tối đa.
4. Bài 3 học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình phần nào thì không chấm phần đó.