Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 1: Bất đẳng thức

Nội dung text: Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 1: Bất đẳng thức

1. Tiết 1: BẤT ĐẲNG THỨC (Mục I trong SGK) 1. Khái niệm Các mệnh đề dạng" "được gọi là Bất đẳng thức. ví dụ : "2 " Chú ý: Ta còn gặp các mệnh đề dạng ≤ hoặc ≥ . Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng là các bất đẳng thức ngặt. 2. BĐT hệ quả, tương đương Nếu mệnh đề " 2 ― 5 có bất đẳng thức tương đương là A. 2 2 B. C. D. ( ― 1) > (2 ― 5) ― > ― 4 ― 1 > 2 ― 5 > 4 Lời giải Chọn B. Câu A và C: Sai. Vì hai vế chưa thỏa điều kiện không âm. Câu B. Đúng. Vì ― 1 > 2 ― 5⇔ ― 2 > ―5 + 1⇔ ― > ―4 Câu D. Sai vì ― > ― 4⇔ > > > Lời giải Chọn A. Bất đẳng thức hệ quả là bất đẳng thức đúng. Ta sẽ xét lần lượt các đáp án. Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: 1 1 (1 )(1 ) ― = = > 0 1 A đúng. ⇔ > ,∀ ∈ (0;1) 1 2 ― 1 ( ― 1)( + 1) • ― = = < 0 1 B sai. ⇔ < ,∀ ∈ (0;1)
2. • ― = ( ― 1) 0) ( 0, > 0) Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy thừa 0). Khai căn hai vế của một bất đẳng thức 0) 3 3 + 4 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 1 1 A. .B. 2 2. C. .D. . ―3 > ―3 > 2 > 2 + 4 ⇔ > ⇔2 > 2 . Ví dụ 4. Cho 4 số , , , khác 0 thỏa mãn < và < . Kết quả nào sau đây đúng nhất? 1 1 A. < .B. < . C. ― < ― . D. ― < ― . Lời giải Chọn C.
3. 0 A. ⇒ > .C. 0 ⇒ ― > ― . Lời giải Chọn C. 0 , ta có thể thực hiện bởi một trong các hướng sau: Hướng 1: chứng minh ― > 0. Hướng 2: thực hiện phép biến đổi đại số để bất đẳng thức ban đầu trở thành bất đẳng thức đúng. Hướng 3: xuất phát từ bất đẳng thức đúng. Chú ý: với hướng 1 và 2, thường là biến đổi ― thành các đại lượng không âm; nếu ― ≥ 0 thì phải chỉ ra " = " xảy ra khi nào Bài 1. Cho , là các số thực, chứng minh a. 2 + 2 ≥ 2 . .( + )2 ≥ 2 Lời giải a) Ta có: ( ― )2 ≥ 0 ⇔ 2 ― 2 + 2 ≥ 0 ⇔ 2 + 2 ≥ 2 Hoặc 2 + 2 ≥ 2 ⇔ 2 + 2 ― 2 ≥ 0 ⇔( ― )2 ≥ 0 (luôn đúng) b) 2 + 2 ≥ 0 ⇔ 2 + 2 +2 ≥ 2 ⇔( + )2 ≥ 2 .
4. Bài 2. Cho , , là các số thực, chứng minh 2 + 2 + 2 ≥ + + . Lời giải Dựa vào Bài 1, ta có: 2 + 2 ≥ 2 2 + 2 ≥ 2 2 + 2 ≥ 2 ⇒2( 2 + 2 + 2) ≥ 2( + + ) ⇔( 2 + 2 + 2) ≥ ( + + ) Dấu" = " xảy ra khi = = . Bài 4. ( SGK – 79) Chứng minh rằng 3 + 3 ≥ 2 + 2,∀ ≥ 0,∀ ≥ 0. Lời giải Ta có 3 + 3 ≥ 2 + 2(1) ⇔ 3 ― 2 + 3 ― 2 ≥ 0 ⇔( ― ) 2 ― 2 ≥ 0 ⇔( ― )2( + ) ≥ 0.(2) Do ≥ 0, ≥ 0 nên (2)luôn đúng. Vậy (1)đúng với mọi ≥ 0, ≥ 0. Bài 5. ( SGK – 79) Chứng minh rằng 4 ― 5 + ― +1 > 0,∀ ≥ 0.(1) Lời giải Đặt 푡 = ,푡 ≥ 0. khi đó (1) trở thành: Chứng minh 푡8 ― 푡5 + 푡2 ― 푡 + 1 ≥ 0,∀푡 ≥ 0.(2)
5. TH1. Nếu 푡 ≥ 1 Ta có 푡8 ― 푡5 + 푡2 ― 푡 + 1 ≥ 0 ⇔푡5(푡3 ― 1) + (푡2 ― 푡 + 1) ≥ 0(3) 2 1 3 Do 푡2 ― 푡 + 1 = 푡 ― + ≥ 0,∀푡 2 4 푡5(푡3 ― 1) ≥ 0,∀푡 ≥ 1. Nên (3)luôn đúng với ∀푡 ≥ 1. TH2. Nếu 0 ≤ 푡 < 1 Ta có 푡8 ― 푡5 + 푡2 ― 푡 + 1 ≥ 0 ⇔푡8 + 푡2(1 ― 푡3) + (1 ― 푡) ≥ 0(4) Do 0 ≤ 푡 < 1 nên 푡8 ≥ 0,∀푡. 푡2(1 ― 푡3) ≥ 0 với mọi 0 ≤ 푡 < 1. 1 ― 푡 ≥ 0 với mọi 0 ≤ 푡 < 1. Nên (4)luôn đúng với mọi 0 ≤ 푡 < 1. Vậy (2)đúng với mọi 푡 ≥ 0. Vậy (1)được chứng minh. 2. Tìm GTLN-GTNN bằng định nghĩa và tính chất Phương pháp 1: dựa vào tính đơn điệu của hàm số. Xét = ( ) có tập xác định . ( ) ≤ ,∀ ∈ là GTLN của ( ) trên ⇔ ∃ 0 ∈ , ( 0) = ( ) ≥ ,∀ ∈ là GTNN của ( ) trên ⇔ ∃ 0 ∈ , ( 0) = Phương pháp 2: dùng tam thức bậc hai 푃 = + [ ( )]2 ≥ ⇒ 푖푛 푃 = ⇔ ( ) = 0. 푃 = ― [ ( )]2 ≤ ⇒ 푃 = ⇔ ( ) = 0. Bài 1. Hàm số = ( ) có bảng biến thiên sau. Hãy nhận xét tập giá trị của hàm số, từ đó cho biết GTNN của hàm số. a) Hãy nhận xét tập giá trị của hàm số, từ đó cho biết GTNN của hàm số.
6. b) Hãy nhận xét tập giá trị của hàm số, từ đó cho biết GTLN của hàm số. Lời giải a) Tập giá trị của hàm số là = 0; + ∞), nên ( ) ≥ 0 với ∀ . GTNN của hàm số là: 푖푛 ( ) = 0. b) Tập giá trị của hàm số là = ―∞; ― 9, nên ( ) ≤ ―9 với ∀ . GTLN của hàm số là: ( ) = ― 9. 2 2 Bài 2. Cho các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . > 0 푃 = 2 ― ― 1 Lời giải Ta có 2 2 푃 = ― ― 1 2 2 2 = ― + 1 ― 2 2 2 = ― 1 ― 2 ≥ ―2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = 1⇔ = ≠ 0. Vậy 푖푛 푃 = ―2 khi = ≠ 0 2 2 2 Bài 3. Cho các số thực , thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức > 0 푃 = 2 + 2 ― ― 2 . ― 1 A.3.B. ―1.C. 1.D. ― 3.
7. Lời giải Chọn D. Ta có 2 2 2 2 푃 = + ― ― ― 1 2 2 2 2 2 2 = ― 1 + ― 1 ― 3 ≥ ― 3. 2 2 = ― + 1 + ― + 1 ― 3 2 2 = 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ⇔ = ≠ 0. = 1 Vậy 푖푛 푃 = ―3 khi = ≠ 0. Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số ( ) = + 3 + 6 ― . A. = 2, = 3 .B. = 3, = 3 2. C. = 2, = 3 2. D. = 3, = 3. Lời giải Chọn B. + 3 ≥ 0 Hàm số xác định khi 6 ― ≥ 0⇔ ― 3 ≤ ≤ 6 nên TXĐ = [ ―3;6]. Ta có 2( ) = 9 + 2 ( + 3)(6 ― ). • Vì (3 + )(6 ― ) ≥ 0,∀ ∈ [ ―3;6] nên suy ra 2( ) ≥ 9 ( ) ≥ 3. Dấu ′′ = ′′ xảy ra ⇔ = ―3 hoặc = 6. Vậy = 3. • Lại có 2 (3 + )(6 ― ) ≤ 3 + + 6 ― = 9 nên suy ra 2( ) ≤ 18 ( ) ≤ 3 2. 3 Dấu xảy ra Vậy ′′ = ′′ ⇔ + 3 = 6 ― ⇔ = 2. = 3 2. Vậy = 3, = 3 2. Bài 5 . Cho hai số thực , thỏa mãn 2 + 2 + = 3. Tập giá trị của biểu thức 푆 = + là: A.[0;3]. B.[0;2].C. [ ―2;2]. D.{ ―2;2}. Lời giải
8. Chọn C. Ta có ( + )2 = 2 + 2 +2 ≥ 2 . 2 + 2 + = 3 ( )2 2 ⇔( + ) ― 3 = ≤ 4 Suy ra ( + )2 ≤ 4⇔ ― 2 ≤ + ≤ 2.