Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 3: Bất đẳng thức

Nội dung text: Giáo án Đại số Lớp 10 - Tiết 3: Bất đẳng thức

1. A. PHƯƠNG PHÁP 1. Nhắc lại BĐT Cô-si cho 푛 số không âm 푛 ∀ 1; 2; ; 푛 ≥ 0, ta có: 1 + 2 + + 푛 ≥ 푛. 1 2 푛 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = = 푛 2. BĐT Cô-si ngược dấu cho 푛 số không âm 푛 ∀ ; ; ; ≥ 0, ta có: ≤ 1 2 푛 1 2 푛 1 2 푛 푛 Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 1 = 2 = = 푛 3. Định nghĩa về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: Cho hàm số = ( ) xác định trên tập ( ) ≤ (∀ ∈ ) là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số = ( ) trên tập nếu ∃ 표 ∈ : ( 표) = ( ) ≥ (∀ ∈ ) là giá trị nhỏ nhất GTNN của hàm số = ( ) trên tập nếu ∃ 표 ∈ : ( 표) = B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ 2 Câu 1. (Nhận biết) Tìm GTNN của hàm số = 2 + trên (0; + ∞). Lời giải 2 > 0 2 2 ∀ ∈ (0; + ∞), Ta có: 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: 2 + ≥ 2 2 . = 4 > 0 2 2 Dấu “ = ” xảy ra khi 2 = ⇔ = 1⇒ = 1 ∈ (0; + ∞) Vậy GTNN của hàm số đã cho là 4 khi = 1. Câu 2. (Nhận biết) Tìm GTLN của hàm số = ( + 1)(5 ― ) trên [-1;5]. Lời giải + 1 ≥ 0 ∀ ∈ [-1;5] ta có: 5 ― ≥ 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ngược dấu, ta được: + 1 + 5 ― 2 ( + 1)(5 ― ) ≤ = 9 2 Dấu “ = ” xảy ra khi + 1 = 5 ― ⇔2 = 4⇒ = 2 ∈ [-1;5] Vậy GTLN của hàm số đã cho là 9 khi = 2. 2 Câu 3. (Thông hiểu) Tìm GTNN của hàm số = + trên [2;+∞) Lời giải 2 Nhận xét: Nếu áp dụng BĐT Cô-si ngay, ta có: + ≥ 2 . 2 = 2 2 2 2 Ở đây dấu “ = ” không xảy ra vì = ⇔ = 2⇒ = 2 ∉ [2; + ∞) Do đó ta cần chọn điểm rơi cho bài toán tại = 2. Sau đó giải như sau: ∀ ∈ [2;+∞) ta có: 2 ≥ 1. 2 2 Khi đó: = + = + + ≥ 2. 2 . + = 2 + ≥ 2 + 1 = 3. 2 2 2 2 2 2 = Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi 2⇔ = 2 ∈ [2;+∞) = 1 2 Vậy GTNN của hàm số đã cho là 3 khi = 2. 3 3 Câu 4: (Vận dụng) Tìm GTNN của hàm số = + 2 trên (0;+ ∞).
2. Lời giải 3 3 3 1 1 1 Ta có: 3 = + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 3 > 0 ∀ ∈ (0; + ∞) ta có: 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 5 số dương, ta được 1 > 0 2 3 3 1 1 1 3 3 1 1 1 5 + + + + ≥ 55 . . . . = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 3 3 1 1 1 Dấu xảy ra khi và chỉ khi 5 5 " = " 2 = 2 = 2 = 2 = 2⇔ = 2⇔ = 2 ∈ (0;+∞) 5 5 Vậy GTNN của hàm số đã cho là 5 khi = 2. 4 2 Câu 5: (Vận dụng) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 5 trên khoảng . = 1 (1; + ∞) Lời giải 2 4 Ta có: 2 5 . = 1 = ― 1 + 1 ― 1 > 0 ∀ ∈ (1; + ∞), ta có 4 > 0 . 1 4 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: = ― 1 + ≥ 2 ( ― 1). 4 = 4 1 1 4 2 Vậy GTNN của hàm số đã cho là 4 khi ― 1 = 1⇔( ― 1) = 4⇔ = 3 ∈ (1; + ∞). Câu 6: (Vận dụng cao) Cho ba số thực không âm , , thỏa + + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 푃 = 3 + 3 + 3 . Lời giải Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm ;1;1 ta được: + 2 + 1 + 1 ≥ 33 .1.1 = 33 ⇒3 ≤ (1) 3 Tương tự ta có: + 2 + 1 + 1 ≥ 33 ⇒3 ≤ (2) 3 + 2 + 1 + 1 ≥ 33 ⇒3 ≤ (3) 3 6 3 6 Lấy vế theo vế ta được: 3 3 3 (1) + (2) + (3) 푃 = + + ≤ 3 = 3 = 3 Dấu " = " xảy ra khi = = = 1. Vậy GTLN của biểu thức 푃 là 3 khi = = = 1. Câu 7: (Vận dụng cao) Cho , , là các số thực dương thỏa mãn + + = 1. Tìm GTNN của biểu 3 3 3 thức: 푃 = (1 )2 + (1 )2 + (1 )2 Lời giải
3. 1 Nhận xét: Ta chọn điểm rơi bài toán tại = = = 3. Sau đó giải như sau: 3 1 1 Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số không âm (1 )2; 8 ; 8 ta được: 3 1 ― 1 ― 3 1 ― 1 ― 3 + + ≥ 3.3 . . = (1) (1 ― )2 8 8 (1 ― )2 8 8 4 Tương tự ta có: 3 1 ― 1 ― 3 1 ― 1 ― 3 + + ≥ 3.3 . . = (2) (1 ― )2 8 8 (1 ― )2 8 8 4 3 1 ― 1 ― 3 + + ≥ (3) (1 ― )2 8 8 4 Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế ta được: 6 ― 2 ― 2 ― 2 3 푃 + ≥ ( + + ) 8 4 3 1 3 ⇔푃 + ― ( + + ) ≥ ( + + ) 4 4 4 3 3 1 ⇔푃 ≥ ( + + ) ― = 1 ― = 4 4 4 3 = 1 = 1 (1 )2 8 8 3 1 1 = = 1 Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi (1 )2 8 8 ⇔ = = = 3 3 = 1 = 1 (1 )2 8 8 + + = 1 1 1 Vậy GTNN của biểu thức 푃 là 4 khi = = = 3. Câu 8: (Vận dụng cao) Nhà ông A có một mảnh đất trống, ông muốn rào một mảnh đất nhỏ hình chữ nhật trên mảnh đất trống đó để trồng rau bằng 60 lưới. Biết rằng một mặt của mảnh đất nhỏ đó đã là tường nhà không cần rào, ông A chỉ cần rào 3 mặt còn lại của mảnh đất nhỏ đó. Em hãy tính diện tích lớn nhất của mảnh đất nhỏ mà ông A có thể rào được từ 60 lưới đó? Lời giải y x x Gọi hai cạnh của hình chữ nhật có độ dài là , ( )(như hình vẽ); 0 < , < 60. Vì tấm lưới của ông A dài 60 nên dựa vào hình vẽ ta có: 2 + = 60⇒ = 60 ― 2 . Diện tích mảnh đất nhỏ hình chữ nhật là 푆 = = (60 ― 2 ) = 2. (30 ― ). 2 Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số và 30 ― . Ta có: 푆 ≤ 2. 30 = 2.152 = 450. 2 Dấu " = " xảy ra khi = 30 ― ⇔ = 15⇒ = 30 Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất là 450 2, đạt được khi = 15; = 30.