Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức (Tiết 4)

Nội dung text: Bài giảng Đại số Lớp 10 - Chương 4, Bài 1: Bất đẳng thức (Tiết 4)

1. LỚP LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC 10 CHƯƠNG 4 10 ĐẠI SỐ Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1 BẤT ĐẲNG THỨC I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC II CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG ĐỊNH NGHĨA III BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN IV BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI V BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
2. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Biến đổi tương đương CÁC GTLN (Max) Chứng minh DẠNG GTNN (Min) BĐT TOÁN Dùng BĐT phụ (Côsi, Bunhiaxcopki, trị, )
3. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC IV BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI Định lí Tên Nội dung Dấu “=” xảy ra Bất đẳng thức Bunhiacopxki Với hai cặp số thực , và , ta có 2 2 2 2 2 = ≠ 0 đối với 2 cặp + ≤ + + số thực ChứngBất đẳng minh: thức Ta có 1 2 푛 Bunhiacopxki Với hai bộ 푛 số thực 1, 2, , 푛 , 1, 2, , 푛 ta có = =. . . = 2 2 2 2 2 2 1 2 푛 đối với 2 bộ 1 1++ 2 2≤+. . . ++ 푛 푛 + 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1. 2 푛 ≠ 0 n số thực ≤⇔ 1 + +2+2 . . + 푛+ 1 + ≤2 + . . . ++ 푛 + + ⇔ 2 2 − 2 . + 2 2 ≥ 0 ⇔ − 2 ≥ 0 (luôn đúng với ∀ , , , ∈ 푅) Dấu bằng xảy ra khi − = 0⇔ = ⇔ = ≠ 0
4. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , ? A. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 . B. + 2 2 > 5 2 + 2 . C. + 2 2≤ 5 + . D. + 2 ≤ 5 2 + 2 . Lời giải Cách 1: (tự luận) Ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số 1,2 và , ta được: + 2 2 = 1. + 2. 2 ≤ 12 + 22 2 + 2 = 5 2 + 2 Vậy + 2 2 ≤ 5 2 + 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ = Chọn A 1 2 Cách 2: (trắc nghiệm) Lấy thử vài giá trị , , thế vào biểu thức các đáp án ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai. Đáp án còn lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng. Đáp án B: 1 > 5 Chọn = −1, = 0 loại đáp án B,C. Đáp án C: 1 ≤ − 1 1 Chọn = , = loại đáp án D. Vậy đáp án A đúng. Đáp án D: ≤ 5 10 ퟒ
5. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , ? A. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 . B. + 2 2 > 5 2 + 2 . C. + 2 2≤ 5 + . D. + 2 ≤ 5 2 + 2 . Mở rộng Cho + 2 = 2 4 ≤ 5 2 + 2 2 2 2 + 2 ≤ 5 + ∀ , 4 Bài tập 1: Cho + 2 = 2. ⇔ 2 + 2 ≥ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 Dấu bằng xảy ra khi = + . 2 + 2 = 2 = ቐ ⇔ 5 = 4 1 2 = 5 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của = 2 + 2 là 5
6. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , ? A. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 . B. + 2 2 > 5 2 + 2 . C. + 2 2≤ 5 + . D. + 2 ≤ 5 2 + 2 . Mở rộng 2 2 Cho + = 1 Bài tập 1: Cho + 2 = 2. 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của + 2 ≤ 5 = 2 + 2. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 ∀ , ⇔ − 5 ≤ + 2 ≤ 5 Bài tập 2: Cho 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của Dấu bằng xảy ra khi = + 2 . 2 + 2 = 1 5 = 5 = ⇔ 1 2 2 5 = + 2 = 5 5 Vậy giá trị lớn nhất của = + 2 là 5.
7. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , ? A. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 . B. + 2 2 > 5 2 + 2 . C. + 2 2≤ 5 + . D. + 2 ≤ 5 2 + 2 . Mở rộng Gợi ý bài tập 3 Khi 2 + 2 + 2 = 1 Bài tập 1: Cho + 2 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 = + 3 + 3 2 ≤ 12 + 32 + 32 2 + 2 + 2 = 19 = 2 + 2. 2 2 ⇔ − 19 ≤ + 3 + 3 ≤ 19 Bài tập 2: Cho + = 1. 1 Tìm giá trị lớn nhất của = = + 2 . 2 + 2 + 2 = 1 19 3 Bài tập 3: Dấu bằng xảy ra khi = = ⇔ = 2 2 2 1 3 3 19 Cho + + = 1. 3 Tìm giá trị lớn nhất của + 3 + 3 = 19 = 19 = + 3 + 3 . Vậy giá trị lớn nhất của = + 3 + 3 là 19.
8. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với ∀ , ? A. + 2 2 ≤ 5 2 + 2 . B. + 2 2 > 5 2 + 2 . C. + 2 2≤ 5 + . D. + 2 ≤ 5 2 + 2 . Mở rộng Bài tập 1: Cho + 2 = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của = 2 + 2. Bài tập 2: Cho 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của = + 2 . Bài tập 3: Cho 2 + 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của = + 3 + 3 . Bài tập 4: Cho + + = 4. Tìm giá trị lớn nhất của = + + + + + . Gợi ý bài tập 4 2 2 = + + + + + ≤ 12 + 12 + 12 + + + + + = 24
9. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC + +. . . + 풏 풏 ≤ + +. . . + 풏 + +. . . + 풏 Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số = + 5 + 3 − trên −5; 3 . Lời giải 2 2 Nhận xét: + 5 + 3 − = + 5 + 3 − = 8 Cách 1: (tự luận) Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số 1,1 và + 5, 3 − ta được: 2 2 + 5 + 3 − = 1. + 5 + 1. 3 − ≤ 12 + 12 + 5 + 3 − = 16 ⇔ −4 ≤ + 5 + 3 − ≤ 4 + 5 3 − + 5 = 3 − Dấu bằng xảy ra khi ൞ = ⇔ ቊ ⇔ = −1 1 1 + 5 + 3 − = 4 + 5 + 3 − = 4 Vậy giá trị lớn nhất của = + 5 + 3 − là 4 Cách 2: (trắc nghiệm)
10. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3 Cho 2 + 2 ≤ 2 + 4 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 퐹 = 2 + . Lời giải Ta có: 2 + 2 ≤ 2 + 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ⇔ 2 − 2 + 2 − 4 ≤ 0 − 1 − 2 = − 2 = −3 2 2 2 1 2 2 ⇔ − 1 + − 2 ≤ 5 2 2 − 1 + − 2 = 5 − 1 + − 2 = 5⇔ Khi đó: 2 + = −1 퐹 = 2 + = 2 − 1 + − 2 + 4 2 + = −1 ቈ ቈ 2 + = 9 ⇒ 2 − 1 + − 2 = 퐹 − 4 2 + = 9 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số = −1; = 1 2,1 và − 1, − 2 ⇔ ቈ = 3; = 3 퐹 − 4 2 = 2 − 1 + − 2 2 Vậy 퐹 = 2 + đạt giá trị nhỏ nhất bằng −1 ≤ 22 + 12 − 1 2 + − 2 2 ≤ 25 khi = −1, = 1 Vậy 퐹 − 4 2 ≤ 25 ⇔ −5 ≤ 퐹 − 4 ≤ 5 퐹 = 2 + đạt giá trị lớn nhất bằng 9 ⇔ −1 ≤ 퐹 ≤ 9. khi = 3, = 3.
11. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC V BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Định lí Một số bất đẳng thức cơ bản Điều kiện Nội dung Dấu “=” xảy ra ≥ 0, ≥ , ≥ − = ≥ 0, = − ≤ 0 ≤ − ≤ ≤ a > 0 ≥ ≤ − hoặc ≥ − ≤ + ≤ + + = + . ≥ 0 Chứng minh: Ta có + ≤ + + 2 ≤ + 2 2 + 2 + 2 ≤ 2 + 2 + 2 ≤ (bất đẳng thức đúng).
12. . LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 1 Chứng minh 5 − + + 10 ≥ 15 với mọi số thực . Lời giải Áp dụng bđt + ≤ + ta có 5 − + + 10 ≥ 5 − + + 10 = 15. 
13. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 2 Cho các số thực , , thỏa mãn + + ≥ 2025 và 푃 = − 1 + − 2 + − 3 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 푃 < 0 . B. 푃 ≥ 2019. C. 푃 = 3. D. 푃 ≤ 2019. Lời giải Cách 1: (tự luận) − ≤ + Ta có − 1 ≥ − 1 − 2 ≥ − 2 − 3 ≥ − 3 Cộng theo vế ta được 푃 = − 1 + − 2 + − 3 ≥ − 1 + − 2 + − 3 = + + − 6 ≥ 2025 − 6 = 2019. Chọn B Cách 2: (trắc nghiệm) Lấy thử vài giá trị , , thỏa mãn + + ≥ 2025, thế vào biểu thức 푃 ta sẽ loại trừ dần các đáp áp sai. Đáp án còn lại cuối cùng sẽ là đáp án đúng. Chọn = 1, = 2, = 2024 ⇒ 푃 = 2021 loại đáp án A,C,D. Vậy đáp án B đúng.
14. LỚP ĐẠI SỐ BÀI 1 10 CHƯƠNG 4 BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3 Cho hai số thực , thỏa mãn 2 + 2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 푃 = + 2 . Lời giải Nhận xét ( + )2≤ 2 + 2 2 + 2 + ≤ 2 + 2 2 + 2 + ≤ + ≤ 2 + 2 2 + 2 Ta có 푃 ≤ + 2 ≤ 2 + 2 12 + 22 = 5. + 2 ≥ 0 5 = Vậy 푃 = 5 ⇔ ൞ = ⇔ ൞ 5 1 2 2 5 2 2 = + = 1 5