Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Tiết 1)

Nội dung text: Bài giảng Toán Lớp 11 - Chương III, Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (Tiết 1)

1. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 1) I ĐỊNH NGHĨA II ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG III TÍNH CHẤT III LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
2. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I. Định nghĩa • Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng d (푃) nếu vuông góc với mọi đường thẳng nằm a trong mặt phẳng (푃). P • Kí hiệu: ⊥ (푃). Vậy ⊥ 푃 ⇔ ⊥ , ∀ ⊂ (푃). Nhận xét d ⊥ 푃 • ቊ ⇒ ⊥ a ⊂ (푃) P
3. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng • Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. ⊥ ⊥ d Vậy ⇒ ⊥ 푃 . cắt a ⊂ 푃 , ⊂ (푃) P b Hệ quả • Nếu một đường thẳng vuông d ⊥ góc với hai cạnh của một tam ቊ ⇒ ⊥ A C giác thì nó cũng vuông góc với ⊥ cạnh thứ ba của tam giác đó. B
4. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG III. Tính chất d • Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm O P cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. d O • Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. P Mặt phẳng trung trực M • Mặt phẳng trung trực của đoạn là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn và vuông góc với đường thẳng . A ❖ Chú ý: Điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của I B đoạn thì cách đều hai điểm và .
5. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 1 ∕∕ ⊥ 훼 a) ቊ ⇒ 훼 ⊥ b) a, b phân biệt và ൜ ⇒ ∕∕ 훼 ⊥ ⊥ 훼 b a a b 훼) 훼)
6. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 2 b) Hai mp α ; β phân biệt (훼) ∕∕ (훽) ⊥ (훼) a) ቊ ⇒ ⊥ (훽) và ൜ ⇒ (훼) ∕∕ (훽) ⊥ (훼) ⊥ (훽) a a 훼 훼) ) 훽 훽) )
7. Bài 3.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG IV. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng Tính chất 3 b) Đườngthẳngakhôngnằmtrong ∕∕ 훼 ⊥ 훼 a) ቊ ⇒ ⊥ mp 훼 và ൜ ⇒ ∕∕ 훼 ⊥ 훼 ⊥ b a b a 훼) 훼)
8. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP LÝ THUYẾT Phương pháp • Sử dụng các kiến thức lý thuyết trong bài. • Vẽ hình để tìm ra mối quan hệ của các đại lượng trong đề nếu cần thiết. Câu 1 Trong không gian, mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước. B. Có vô số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với mặt phẳng cho trước. C. Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. D. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
9. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1: CÁC BÀI TẬP LÝ THUYẾT d Trong không gian cho đường thẳng , đường thẳng và mặt phẳng (훼). Khẳng Câu 2 a định nào sau đây đúng? ⊥ , ⊂ (훼) P ⊥ (훼) A. ቊ ⇒ ∕∕ . ⊥ , ⊂ (훼) ⊥ ⊥ (훼) ⊂ (훼) B. ቐ ⇒ ⊥ (훼). C. ቊ ⇒ // . D. ቊ ⇒ ⊥ . // ⊥ ⊂ (훼) Lời giải Một vài hình ảnh minh họa cho các trường hợp sai: d d d a a b a b P P b A sai, D B sai C sai đúng
10. DẠNG 2: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay sử dụng Cách 1: Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường cắt nhau nằm a b trong mặt phẳng . (P) Cách 2: Sử dụng tính chất b a //b ൝ ⇒ ⊥ α . ⊥ α α
11. DẠNG 2: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Câu 1: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông , cạnh bên 푆 vuông góc với đáy ( ) . Khẳng định nào sau đây sai ? AA ⊥ (푆 ). B ⊥ 푆 C ⊥ 푆 D ⊥ (푆 ). S Lời Giải Ta có : 푆 ⊥ ( ⇒ 푆 ⊥ ; 푆 ⊥ . ⊥ Nên ta có : ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ B đúng. ⊥ 푆 D A ⊥ O Tương tự ta có : ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ C đúng. ⊥ 푆 B C ⊥ Ta có: ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⇒ D đúng. ⊥ 푆 Chọn đáp án A.
12. DẠNG 2: CM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Câu 2: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình chữ nhật tâm , cạnh 푆 vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi và 퐾 lần lượt là hình chiếu của lên 푆 và 푆 . Hỏi đường thẳng 푆 vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây? A 퐾 . B C 퐾 . D 푆 . Lời Giải ⊥ Ta có : ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ S ⊥ 푆 mà ⊥ 푆 푡 K ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 (1) H D Tương tự có ∶ 퐾 ⊥ 푆 ⇒ 퐾 ⊥ 푆 (2) A Từ (1) và (2) ⇒ 푆 ⊥ 퐾 . O Chọn đáp án A. B C
13. Câu 3: Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy 푪푫 là hình thoi và 푺푶 ⊥ ( 푪푫). Gọi 푰, 푱 lần lượt là trung điểm của , 푪. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A 푰푱 ⊥ (푺 ) B 푪푫 ⊥ 푺 푫 C 푰푱 ⊥ (푺 푫) D 푫 ⊥ (푺 ) Lời Giải S Ta có: 푪 ⊥ 푫 ቊ ⇒ 푪 ⊥ (푺 푫) 푪 ⊥ 푺푶 A D Mà 푰푱// 푪 ⇒ 푰푱 ⊥ (푺 푫) I O B J C
14. Câu 4: Cho hình chóp 푺. 푪푫 có đáy 푪푫 là hình thang vuông tại và 푫, 푫 = 푪푫 = , = , 푺 ⊥ ( 푪푫). Gọi 푬 là trung điểm của . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: AA 푪푬 ⊥ (푺 ) B 휟푺푫푪 vuông tại 푪 C 푪 ⊥ (푺 ) D 푪푬 ⊥ (푺푪푫) Lời Giải S 푫 ⊥ 푺 Ta có: ቊ ⇒ 푫 ⊥ (푺 ). 푫 ⊥ 푪푬// 푫 Mà ቊ A B 푫 ⊥ (푺 ) E ⇒ 푪푬 ⊥ (푺 ) D C
15. Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác 푪. ′ ′푪′. Gọi 푯 là trực tâm 휟 푪 và biết rằng ′푯 vuông góc với mặt phẳng( 푪). Gọi 푴, 푵 lần lượt là trung điểm của ′, 푪푪′. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau. ′ ′ ′ A ′ ⊥ ′푪 B ⊥ 푪 C ⊥ DD ′ ⊥ 푴푵 Lời Giải Ta có: ′푯 ⊥ ( BC) suy ra ′푯 ⊥BC (1) Lại có, H là trực tâm tam giác ABC nên suy ra 푯 ⊥ 푪 ( ) Từ (1) và (2): 푪 ⊥ ′ 푯 . Theo gt 푴푵// 푪 nên suy ra ( ′ 푯) ⊥ 푴푵 ⇒ 푴푵 ⊥ ′A
16. Câu 6: Cho hình hộp 푪푫. ′ ′푪′푫′ có đáy 푪푫 là hình vuông tâm 푶, biết ′푶 vuông góc với mặt phẳng ( 푪푫). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: ′ ′ ′ ′ A 푪푫 ⊥ ( ′푶) B 푫 ⊥ ( 푶) C 푫 ⊥ 푶 D ′ ′ ⊥ ( ′푶) Lời Giải A' D' 푫 ⊥ 푶 ′ B' Ta có ቊ ⇒ 푫 ⊥ ( 푶) C' 푫 ⊥ ′푶 Mà ′푫′// 푫 ′ ′ ′ A nên suy ra 푫 ⊥ ( 푶) D O B C
17. Câu 7: Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 có đáy 퐀퐁퐂 là vuông tại 퐁, 푺 ⊥ 퐀퐁푪 . Gọi 퐌, 퐍 lần lượt là trung điểm của 퐒퐁, 퐒퐂. Khẳng định nào sau đây SAI? A 퐌퐍 ⊥ 퐀퐌. B 퐌퐍 ⊥ 퐒퐀퐁 . C MN ⊥ SB. DD MN ⊥ (SAC). Lời Giải S 퐁퐂 ⊥ 퐀퐁 Ta có ቊ ⇒ 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀퐁 . 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀 N Mà 퐌퐍//퐁퐂. M A C Suy ra 퐌퐍 ⊥ 퐒퐀퐁 퐬퐮퐲 퐫퐚 퐌퐍 ⊥MA, 퐌퐍 ⊥ 퐒퐁 nên ĐÁ A, B, C đều đúng ⇒ D sai B
18. Câu 8: Cho hình chóp 푺. 푪 có đáy là tam giác đều. 푴 là trung điểm của và 푺푴 ⊥ 푪 . Gọi 푰, 푱 lần lượt là trung điểm của 푺푪, 푪푴. Khẳng định nào sau đây đúng? AA 푰푱 ⊥ 푪 . B 푰푴 ⊥ 푪 . C 푺푱 ⊥ 푪 . D 푺 ⊥ 푪 . Lời Giải S 푰푱//푺푴 I 푻 ó: ቊ ⇒ 푰푱 ⊥ 푪 . 푺푴 ⊥ 푪 A C J M B
19. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Bài 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 2) V PHÉP CHIẾU BA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC 1 Phép chiếu vuông góc 2 Định lý ba đường vuông góc 3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 3
20. V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc. 1. Phép chiếu vuông góc Cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (훼). Phép chiếu song A song theo phương d lên mặt phẳng d (훼) được gọi là phép chiếu vuông B góc lên mặt phẳng (훼). A B’ A’B’ là hình chiếu vuông góc 훼) ’ của AB trên mặt phẳng (훼).
21. V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc. 2. Định lí ba đường vuông góc Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (훼) và b là đường thẳng không thuộc (훼) đồng thời không vuông góc với (훼). b Gọi b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (훼). a Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ b’ khi a vuông góc với b’. 훼)
22. V. Phép chiếu vuông góc và định lí ba đường vuông góc. 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng d Cho đường thẳng d và mặt phẳng (훼). d 휑 - TH d ⊥ mp(훼) thì ta nói góc giữa đường thẳng d và mp(훼) bằng 900 . d’ KH: ෣, 훼 = 90° - Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mp(훼) thì góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mp(훼) gọi là góc giữa đường thẳng d và mp(훼). KH: ෣, 훼 = ෣, ′ = 휑 Lưu ý: 0° ≤ 휑 ≤ 90°
23. Bài 1: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm , cạnh 푆 ⊥ . Chứng minh ⊥ 푆 , ⊥ 푆 . Lời Giải S Gt 푆 ⊥ nên là hình chiếu của 푆 lên ( ) Mà ⊥ (do là hình vuông) Vậy ⊥ 푆 (theo đl 3 đường vuông góc). Tương tự 푆 ⊥ nên là hình chiếu A D của 푆 lên ( ) Mà ⊥ (do là hình vuông) O Vậy ⊥ 푆 (theo đl 3 đường vuông góc). B C
24. Bài 2: Cho hình chóp 푆. có SA vuông góc với mặt đáy và H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên BC. Chứng minh ⊥ 푆 . Lời Giải S Gt 푆 ⊥ nên là hình chiếu của 푆 lên ( ) Mà ⊥ (gt) Vậy ⊥ 푆 (theo đl 3 đường vuông góc) . A C H B
25. Bài 3: Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông tại C, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 푆 = = , = 2. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy . Lời Giải S Gt 푆 ⊥ nên là hình chiếu của 푆 lên ( ) nên góc giữa đường thẳng SB và ෣ mặt phẳng đáy ( ) chính là góc 푆 a Áp dụng Pytago trong ∆ vuông tại ta có = 2 2 + 2 = 3 a A C 1 표 푡 푛 푆 ෣ = = ⇒ 푆 ෣ = 30 3 3 2 B
26. Bài 4: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông cạnh a, 푆 = 2 và SA vuông góc với . a) Tính góc giữa SC và . Lời Giải S Vì 푆 ⊥ nên ⇒ 푆 , ෣ = 푆 ෢ . Trong hình vuông ABCD có: = 2 Theo giả thiết: 푆 = 2 2 ⇒ 훥푆 vuông cân tại A 0 ⇒ 푆 ෢ = 45 . A a D O B C
27. Bài 4: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông cạnh a, 푆 = 2 và 푆 vuông góc với . b) Tính góc giữa 푆 và 푆 . Lời Giải S 푆 ⊥ Vì ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⊥ Vậy 푆 là hình chiếu của 푆 lên (푆 ) 2 ⇒ 푆 ෣, 푆 = 푆 ෣. Mà 훥푆 vuông cân tại ( = 푆 = 2) A a D ⇒ 푆 = 2 . 훥푆 vuông tại và 푆 = 2 nên là nửa tam O giác đều, suy ra 푆 ,෣푆 = 푆 ෣ = 30표 B C
28. Bài 4: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông cạnh a, 푆 = 2 và 푆 vuông góc với . c) Tính góc giữa 푆 và 푆 . Lời Giải S 푆 ⊥ Vì ቊ ⇒ ⊥ (푆 ) ⊥ Vậy 푆 là hình chiếu của 푆 lên (푆 ) 2 ⇒ 푆 ෣, 푆 = 푆 ෣. 2 2 10 Mà 푆 = 푆 + = A a D 2 2 10 1 푡 푛 푆 ෣ = = : = 푆 2 2 5 O ෣ 표 B suy ra 푆 , 푆 = 푆 ෣ ≈ 24 C
29. LỚP 11 HÌNH HỌC Chương 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN LUYỆN TẬP BÀI 3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG (TIẾT 3) D1. Thiết diện vuông góc với một đường thẳng D2. CM hai đường thẳng vuông góc D3. CM đường thẳng vuông góc với mặt phẳng D4. CM hai mặt phẳng song song D5. CM đường thẳng song song với mặt phẳng
30. ba Câu 1: Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào sai? Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau A thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Lời Giải ⊥ Nhìn hình vẽ dễ thấyቊ Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng 푷 và đường // 푃 B thẳng vuông góc với mặt phẳng 푷 thì vuông góc với . nhưng không vuông góc với a Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng 푷 và đường 푃 . A CC thẳng vuông góc với thì vuông góc với mặt phẳng 푷 . b Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng 푷 và đường B C D thẳng vuông góc với thì vuông góc với mặt phẳng 푷 .
31. Câu 2: Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A Nếu ⊥ 휶 và ⊥ thì // 휶 . B Nếu // 휶 và // thì // 휶 . C Nếu // 훼 và ⊥ thì ⊥ 훼 . D Nếu a // (α) và b ⊥ (α) thì b ⊥ a. Lời Giải // 훼 Ta có: ቊ ⇒ ⊥ . ⊥ 훼
32. ba Câu 3: Cho 퐚, 퐛, 퐜 là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau. AA Nếu 퐚 ⊥ 퐛 và 퐛 ⊥ 퐜 thì 퐚//퐜. B Nếu 퐚 ⊥ 훂 và 퐛// 훂 thì 퐚 ⊥ 퐛. C Nếu 퐚 / / b và 퐛 ⊥ 퐜 thì 퐜 ⊥ 퐚. D Nếu 퐚 ⊥ 퐛, 퐜 ⊥ 퐛 và 퐚 cắt 퐜 thì 퐛 ⊥ 퐚, 퐜 . Lời Giải Chọn A
33. Câu 4: Cho hai đường thẳng phân biệt , và mặt phẳng 푃 , trong đó ⊥ 푷 .Chọn mệnh đề Sai trong các mệnh đề sau: A Nếu // thì ⊥ 푷 . B Nếu ⊥ 푷 thì // . C Nếu // 푷 thì ⊥ . D Nếu ⊥ thì // 푷 . Lời Giải ⊥ 푷 Ta thấy ቊ ⇒ // 푷 hoặc ⊂ 푃 . ⊥
34. Câu 5: Cho hình chóp 푺. 푪 có đáy 푪 là tam giác đều cạnh , 푺 ⊥ 푪 và 푺 = . Gọi 휶 là mặt phẳng đi qua và vuông góc với 푺푪. Thiết diện của 휶 và hình chóp là hình gì? A Tam giác đều. B Tam giác vuông. C Tam giác cân. D Hình vuông. Lời Giải Gọi 푰 là trung điểm của 푪. Dựng 푰푯 ⊥ 푺푪, 푯 ∈ 푺푪. 푰 ⊥ 푪 Ta có ቊ ⇒ 푰 ⊥ 푺 푪 ⇒ 푺푪 ⊥ 푰 ( ). 푰 ⊥ 푺 Mặt khác 푰푯 ⊥ 푺푪 . 퐓ừ 퐯à 퐬퐮퐲 퐫퐚 푺푪 ⊥ 푰푯 . 푰 ⊥ 푺 푪 Do ቊ ⇒ 푰 ⊥ 푰푯 ⇒ 휟 푰푯 vuông tại 푰 푰푯 ⊂ 푺 푪
35. Câu 6 : Cho hình chóp 푺. 푪푫, có đáy 푪푫 là hình vuông tâm 푶, 푺 ⊥ ( 푪푫). Gọi 푴 là trung điểm của 푶, (푷) là mặt phẳng qua 푴 và (푷) ⊥ 푪. Thết diện là hình gì? A Hình thang cân. BHình thang vuông. C Hình bình hành. D Tam giác vuông. Lời Giải S Trong ( 푪푫), qua 푴 kẻ 푰푱// //푪푫, 푰 ∈ 푪 và 푱 ∈ 푫 E ⇒ 푰푱 ⊥ 푪 (1) F Trong (푺푪푫) kẻ 푱푬//푺 với 푬 ∈ 푺푫. Vì 푺 ⊥ ( 푪푫) nên 푱푬 ⊥ ( 푪푫) ⇒ 푱푭 ⊥ 푪 (2) A D Từ (1) và (2) suy ra 푪 ⊥ (푬푰푱). J Xét (푬푰푱) và (푺푪푫). O 푬푰푱 ∩ 푺푪푫 = 휟, mà 푪푫//푰푱 nên giao tuyến M 휟 qua 푬, 퐯à 휟//푪푫, 휟 cắt 푺푪 tại 푭. B I C Suy ra thiết diện là hình thang 푰푱푬푭 vuông.
36. Câu 7: Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 có đáy 퐀퐁퐂 là tam giác vuông cân tại 퐁, 퐀퐁 = 퐚, 퐒퐀 = 퐚 và 퐒퐀 ⊥ (퐀퐁퐂). Gọi 퐌 là điểm trên cạnh 퐀퐁 và 퐀퐌 = 퐱, ( < 퐱 < 퐚) mặt phẳng (훂) đi qua 퐌 và vuông góc với 퐀퐁. Giả sử thiết diện của hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂 với (훂) là tứ giác 퐌퐍퐏퐐. Tìm 퐱 để thiết diện 퐌퐍퐏퐐 lớn nhất? 퐚 퐚 퐚 A 퐱 = . B 퐱 = . C 퐱 = D 퐱 = 퐚. Lời Giải S Ta tìm được 푴푵푷푸 là hình chữ nhật P 푴푵 푴 푴푸 = 푴 = 풙, = ; 푴푵 = − 풙. N 푺 푺푴푵푷푸 = 풙 − 풙 = 풙 − 풙 A C Q = − 풙 − − ≤ . ퟒ ퟒ M Vậy 풙 푺 = khi 풙 = B 푴푵푷푸 ퟒ
37. Câu 8 : Cho tứ diện đều 푪푫. Thiết diện của hình tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm 푰 của đoạn và vuông góc là A Hình vuông. B Tam giác cân. C Tam giác đều. D Tam giác vuông. Lời Giải A Do tứ diện 퐀퐁퐂퐃 đều nên các 횫퐀퐁퐂 và 횫퐀퐁퐃 I là các tam giác đều bằng nhau và CI = DI. 퐂퐈 ⊥ 퐀퐁 Mặt khác: ቊ ⇒ 퐀퐁 ⊥ (퐈퐂퐃). 퐃퐈 ⊥ 퐀퐁 B D Thiết diện cần tìm là tam giác 퐈퐂퐃 cân tại 퐈. C
38. Câu 9: Cho hình chóp 퐒. 퐀퐁퐂퐃 trong đó 퐀퐁퐂퐃 là hình chữ nhật, 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂퐃 . Trong các tam giác sau tam giác nào không phải là tam giác vuông. A 횫 퐒퐁퐂. B 횫 퐒퐂퐃. C 횫 퐒퐀퐁. DD 횫 퐒퐁퐃. Lời Giải S Ta có 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂퐃 suy ra 퐒퐀 ⊥ AB nên tam giác SAB vuông tại A. Lại có, BC ⊥ AB; BC ⊥ SA suy ra BC ⊥ SB D nên tam giác SBC vuông tại B. A Tương tự tam giác SCD vuông tại D. B C Chọn D
39. Câu 10: Cho tứ diện 퐒. 퐀퐁퐂 có 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂 và 퐀퐁 ⊥ 퐁퐂. Số các mặt của tứ diện 퐒. 퐀퐁퐂 là tam giác vuông là A . B . C . DD 4. Lời Giải S Ta có 횫퐀퐁퐂 vuông tại 퐁. 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁 퐒퐀 ⊥ 퐀퐁퐂 ⇒ ቊ , suy ra tam 퐒퐀 ⊥ 퐀퐂 giác 퐒퐀퐁, 퐒퐀퐂 vuông tại 퐒. A C 퐁퐂 ⊥ 퐀퐁 ቊ ⇒ 퐁퐂 ⊥ 퐒퐁. Do đó 횫퐒퐁퐂 퐁퐂 ⊥ 퐒퐀 vuông tại 퐁. B
40. Câu 11: Cho hình lăng trụ 퐀퐁퐂퐃. 퐀′퐁′퐂′퐃′có đáy 퐀퐁퐂퐃 là hình thoi, biết 퐀′퐎 ⊥ 퐀퐁퐂퐃 . Đường thẳng 퐀퐂 vuông góc với đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây A 퐀퐀′. B 퐂퐃. C 퐁′퐃′. D 퐁퐃′. Lời Giải A' D' 퐁퐃 ⊥ 퐀퐎 ′ B' ቊ ⇒ 퐁퐃 ⊥ 퐀퐀 퐎 . C' 퐁퐃 ⊥ 퐀′퐎 ′ ′ Mà 퐁 퐃 // 퐁퐃 A D ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ 퐁 퐃 ⊥ 퐀퐀 퐎 ⇒ 퐁 퐃 ⊥ 퐀퐂. O B C
41. Bài 12: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm O, 푆 ⊥ . a) Gọi là trung điểm của 푆 . Chứng minh ⊥ . Lời Giải S a) Tam giác 푆 có là đường trung bình nên ∕∕ 푆 . Theo giả thiết 푆 ⊥ ⇒ ⊥ M (theo tính chất 1a). A D O B C
42. Bài 12: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm O, 푆 ⊥ . b) Gọi 푃 là mặt phẳng qua và vuông góc với 푆 . Chứng minh ∕∕ 푃 . Lời Giải S Giả sử 푃 cắt hình chóp 푆. theo thiết diện là tứ giác 퐹 . Ta có 푆 ⊥ 푃 (1). G F ⊥ Do ൜ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 (2). ⊥ 푆 E D Từ (1), (2) và dễ thấy không thuộc 푃 suy ra A ∕∕ 푃 (theo tính chất 3b). O B C
43. Bài 13: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình vuông tâm O, 푆 ⊥ và 푆 = . là trung điểm của 푆 . Gọi là hình chiếu của lên 푆 , 퐾 là hình chiếu của lên 푆 . Chứng minh ∕∕ 퐾 . Lời Giải S ⊥ Do ൜ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ ⊥ 푆 Lại có ⊥ 푆 , suy ra ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 . Tam giác 푆 vuông cân tại có là trung điểm 푆 M nên ⊥ 푆 . Từ đó có 푆 ⊥ (1). H 푆 ⊥ 퐾 Mặt khác, do ቊ ⇒ 푆 ⊥ 퐾 (2). D 푆 ⊥ A O Từ (1), (2) và phân biệt với 퐾 nên K ∕∕ (theo tính chất 2b). B C
44. Bài 14: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình thang vuông tại và , = = . 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . 2 a) Chứng minh: ⊥ 푆 . Lời Giải S ⊥ a) Do ቊ ⇒ ⊥ 푆 (1). ⊥ 푆 Mặt khác, từ giả thiết dễ thấy tứ giác là hình vuông nên ∕∕ (2). Từ (1) và (2) suy ra ⊥ 푆 . E A B D C
45. Bài 14: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình thang vuông tại và , = = . 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . 2 b) Gọi 1 và 2 lần lượt là trọng tâm của tam giác 푆 và 푆 . Chứng minh: 1 2 ⊥ 푆 . Lời Giải S b) Trong , ∩ = . 푆 푆 2 Tam giác 푆 có 1 = 2 = ⇒ ∕∕ (3). 푆 푆 3 1 2 G ⊥ 1 Do ቊ ⇒ ⊥ 푆 (4). G ⊥ 푆 A 2 E B Từ (3) và (4) ⇒ 1 2 ⊥ 푆 . O D C
46. Bài 14: Cho hình chóp 푆. có đáy là hình thang vuông tại và , = = . 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . 2 c) Gọi , 퐽 lần lượt là trung điểm của và 푆 . Chứng minh: 퐽 ⊥ 푆 . Lời Giải c) Gọi là trung điểm của 푆 , ∆ 푆 có 퐽 là S 1 đường trung bình nên 퐽 ∕∕ và 퐽 = . 2 1 Mặt khác ∕∕ và = . Suy ra, 퐽 là 2 hình bình hành ⇒ 퐽 ∕∕ (5). M ⊥ J Do ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ I E ⊥ 푆 A B Tam giác 푆 vuông cân tại , là trung điểm 푆 nên ⊥ 푆 . Từ đó có ⊥ 푆 (6). Từ (5) và (6) ⇒ 퐽 ⊥ 푆 . D C
47. Bài 15: Cho hình chóp 푆. có đáy là tam giác vuông tại , 푆 ⊥ và 푆 = . Gọi là trung điểm của . Xác định thiết diện của hình chóp khi bị cắt bới mặt phẳng 푃 qua điểm và vuông góc với 푆 . Lời Giải S Thiết diện thu Gọi là trung điểm của 푆 , ∆ 푆 vuông cân tại được là tứ giác nên ⊥ 푆 . 푞 푃푄. 푃 ∩ 푆 = ቊ , ∩ 푆 = 푄 là trung điểm . ⊥ 푆 ⊥ Ta có ቊ ⇒ ⊥ 푆 ⇒ ⊥ 푆 , P ⊥ 푆 E do 푆 ⊥ 푃 ⇒ // 푃 . 푞 A 푃 ∩ = ′ ቊ , ′ ∩ = Q N C // M 푞 푃 ∩ 푆 = ′′ ቊ , ′′ ∩ 푆 = 푃. // B